Метод Ейлера з півкроком

Метод Эйлера — найбільш простий чисельний метод рішення систем звичайних диференціальних рівнянь [1, 2]. Уперше описаний Леонардом Ейлером в 1768 році в роботі «Інтегральне вирахування». Метод Ейлера є явним, однокроковим методом першого порядку точності, заснованому на апроксимації інтегральної кривої кусочно-лінійною функцією, т.зв. ламаної Ейлера.

Ламана Ейлера (червона лінія) — наближене рішення в п’яти вузлах задачі Коші й точне рішення цієї задачі (виділено синім кольором, рис. 2.1).

Розглянемо диференціальне рівняння.

(2.1).

с початковою умовою.

. (2.2).

Рисунок 2.1 Метод Ейлера.

Вибравши крок інтегрування, покладемо .

Відповідно до методу Ейлера послідовні значення шуканого рішення обчислюються по наближеній формулі.

.

Більше точним є метод Ейлера з півкроком, при якому спочатку обчислюють проміжні значення і находять значення напрямку поля інтегральних кривих у середній крапці, тобто, а потім знаходять (рис. 2.2): .

Рисунок 2.2 Метод Ейлера з півкроком.

Алгоритм метода Эйлера с полушагом:

Вводимо цілу змінну, где, і крок інтегрування за часом.

Для виробляємо обчислення в циклі по :

(2.3).

Результати інтегрування виводимо через кожні кроків.