Вступ. 
Дослідження задачі про випадкові блукання

Якщо в склянку з чистою водою додати краплю фарби, то через деякий час вся вода в склянці буде рівномірно забарвлена, навіть якщо ми не будемо її перемішувати. Це явище називається дифузією. В основі цього явища лежить хаотичний рух частинок фарби під дією молекул води.

Хаотичний рух маленьких частинок речовини можна спостерігати в мікроскоп. Першим таке спостереження зробив Р. Броун в 1827 році, тому такий рух називається броунівским. Повна теорія броунівського руху була побудована А. Ейнштейном і М. Смолуховским в 1905 — 1906 рр. .

Молекули рідини при скінченій температурі перебувають у безперервному русі, який отримав назву теплового руху. Стороннє тіло в рідині зазнає поштовхів від молекул. Для великого тіла ці хаотичні поштовхи врівноважуються, але, якщо розміри й маса тіла невеликі, то зіткнення з молекулами носять випадковий характер, а за час між зіткненнями частинка встигає зміститися на певну відстань.

В даній роботі ми будемо перевіряти закономірності випадкових блукань саме на русі броунівських частинок.

ЗАГАЛЬНА ЧАСТИНА

Теоретична частина

Випадкові блукання — це випадковий процес спеціального виду, історично пов’язаний з моделлю переміщення частинки під дією деякого випадкового механізму в довільному фазовому просторі.

Задача про випадкові блукання — одна із най досліджуваних задач теорії ймовірностей. Одна з найбільш відомих задач з цього розділу — задача про п’яного моряка (Моряк зійшов з корабля, зайшов в паб, напився, впав, встав і пішов навмання. В результаті такого пересування моряк робить кроки, розмірами не залежними один від одного, та в довільну сторону. Невідомим буде те, на яку відстань від корабля відійде моряк за певну кількість часу.), цю задачу можна вирішувати різними методами, один з яких — метод Монте-Карло. Іншим важливим додатком методі випадкового блукання використовують для моделювання довгих полімерних ланцюгів. В дійсності - дуже багато задач можна сформулювати на мові випадкових блукань, наприклад розв’язання рівняння Шредингера. Але в даній роботі нас буде цікавити рух броунівських частин, який також добре ілюструє випадкові блукання.

Для того, щоб зрозуміти закономірності випадкових блукань ми розглянемо модель руху частинок, що імітують рух броунівської частинки в рідині.

N частинок, що в початковий момент знаходяться на осі y) зміщуються послідовно на крок вздовж осі. Кожен крок кожної частинки обирається навмання, незалежно від інших кроків. Проте, розподіл ймовірностей залишається незмінним. броунівський блукання квадрат молекула.

Приймемо, що зміщення в протилежні сторони однаково ймовірне. Тоді значення середнього зміщення.

.

Сенс цієї рівності в тому, що середнє арифметичне зсувів Дx дуже великого числа частинок наближається до нуля зі зростанням цього числа. Такі величини називають апріорними.

Після кожного кроку частинки будуть «розповзатися» від осі y. Позначимо x (k) координату деякої частки через k кроків, тоді.

.

Усереднивши цю рівність отримаємо:

.

Для середнього зміщення великої кількості частинок отримаємо:

.

що буде близьким до нуля.

Ширина смуги, по якій йде розподіл частинок після-го кроку будемо характеризувати величиною. Для того щоб визначити залежність цієї величини від кількості кроків треба піднести в квадрат і усереднити:

Так як незалежні, маємо:

.

Позначимо тому.

Отримане значення.

.

Змінюється пропорційно кількості кроків.

Розподіл часток у зайнятої ними смузі більш детально характеризується функцією розподілу f (x), яка визначає концентрацію частинок; dW = f (x) dx — ймовірність того, що координата j-й частинки після k-го кроку потрапить в інтервал x ? ? x + dx. Теорія випадкових блукань для досить великого числа кроків k дає розподіл Гауса:

.

Функція розподілу яку ми спостерігаємо отримується шляхом розбиття осі x на кінцеві інтервали і підрахунку числа частинок в кожному з них.

Рис 1.1.

Результат підрахунку представляється графічно ступінчастою кривою — гістограмою.

Рис1.2 Розподіл частинок при дифузії (гістограма і теоретична крива)

Теоретична крива на рис 1.2 являє собою щільність розподілу для нормального закону. Формула (1.8). Вона може бути різного вигляду (більш гостра, або більш розтягнута вздовж осі абсцис, але площа під цією кривою завжди дорівнює одиниці, так як це значення повної ймовірності. Приклади таких кривих можна побачити на рис 1.3.

Рис 1.3.