Рішення транспортної задачі за методом ПЗК і в Excel

Зміст Моделювання економіки. Транспортна задача.

Список використаної літератури

Моделювання економіки. Транспортна задача

Опишемо як вирішуються транспортні задачі та наведемо приклад рішення за допомогою надбудови «Поиск решения» у MS Excel.

Нехай існує [m] пунктів, у яких зосереджено деякий однорідний вантаж. Номер пункту зосередження [i] = 1, m. Нехай відома кільккість вантажу, що знаходиться у кожному пункті зосередження [a_i]. Цей вантаж треба доставити до [n] пунктів споживання. Номер пункту споживання [j]=1,n. Нехай відома потреба [b_ij] у цьому вантажі у кожному пункті споживання. Також відомі питомі витрати на перевезення вантажу з i-того пункту зосередження до j-того пункту споживання [c_ij]. Треба визначити, скільки вантажу треба везти з кожного з пунктів зосередження до кожного з пунктів споживання таким чином, щоб з кожного пункту зосередження загалом вивозилоси не більше, ніж там є, а до кожного пункту споживання не менше від потреби (), і загальна вартість перевезень була якомога меншою.

Розв’язок:

Позначимо невідомі обсяги перевезень з кодного пункту зосередження до кожного пункту споживання [x_ij]. Отже, умова про те, що загальна кількість вантажу, вивезена з кожного пункту зосередження, не перевищує кільксітвантажу в ньому:

Умова про те, що потреба кожного пункту споживання має задовільнятися:

Обсяги перевезень між кожним пунктом зосередження і споживання — невід'мні величчини:

Розглянуті нерівності визначають деяку множину, до якої належить багато варіантів перевезень. Серед цих варіантів треба обрати такі, що мінімізували б функцію:

(пошук умовного мінімуму для функції багатьох змінних).

Приклад

Заводи деякої автомобільної фірми розміщено у містах А, В, С та D. Основні центри розподілення продукції сконцентровано у містах 1, 2, 3 та 4. Обсяги виробництва заводів наведено у таблиці, так само як величини попиту у центрах розподілення. Вартість перевезення автомобілів залізницею по кожному із маршрутів або час перевезення по кожному із маршрутів наведено у таблиці.

Побудуйте математичну модель, яка дозволить визначити кількість автомобілів, що перевозиться з кожного заводу у кожен розподільчий центр, та оптимальний план перевезень таким чином, щоб загальні транспортні витрати були мінімальними.

Для рішення задачі побудуємо її математичну модель.

Невідомими є обсяги перевезень. Нехай x_ij — обсяги перевезень з і-го постачальника до j-го продавця. Цільовою функцією є залежність вартості від розміру партії постачання:

(1),

де c_ij — вартості перевезень с i-го постачальника до j-го продавця.

Цільова функція

F = 150x₁₁ + 95x₁₂ + 100x₁₃ +50x₁₄ + 65x₂₁ +45x₂₂ +55x₂₃ +130x₂₄ +65x₃₁ + 80x₃₂ +75x₃₃ +65x₃₄ +55x₄₁ +80x₄₂ +60x₄₃ +40x₄₄ > min.

Крім цього, невідомі повинні задовольняти таким обмеженням:

— ненегативність обсягів постачань

x_ij?0.

— розглянемо модель типу:

Розмістимо дані ситуаційної задачі в спеціальній таблиці:

У клітинах, що стоять на перетині постачальника й покупця, ставимо довільні цифри, відстань від споживача до постачальника.

Перевіримо ситуацію на баланс:

Виробництво = 1000 + 1300 + 1400 + 800 = 4500

Попит = 1300 + 1500 + 500 + 1200 = 4500

Баланс виконується, тому не треба додавати фіктивні пункти споживання чи попиту.

Побудуємо план перевезень методом північно-західного кута:

Розрахуємо середню вартість, на яку перевозиться вантаж:

Ще раз побудуємо план:

Розрахуємо середню вартість:

Як бачимо, другий план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 18,89 $.

Для перевірки оптимальності складеного плану перевезень скористаємося надбудовою «Поиск решения» MS Excel (рис. 1.1 і.1.3).

До комірки F10 внесено формулу =СУММ (B10:E10) і простягнуто її до комірки F13, до комірки В14 внесено формулу =СУММ (B10:B13) і простягнуто її до комірки Е14. До цільовій комірці G14 введено формулу (1) у вигляді виразу =СУММПРОИЗВ (B4:E7;B10:E13).

Рис. 1.1.

На рис. 1.2. наведено внесення обмежень моделі у діалоговому вікні надбудови «Поиск решения».

Рис. 1.3.

Розрахуємо середню вартість:

Як бачимо, останній план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 23,11 $.

Список використаної літератури

Николин В. И. Автотранспортный процесс и оптимизация его элементов. — М.: Транспорт, 1990.

Боборыкин В. А. Математические методы решения транспортных задач. — Л.: СЗПИ, 1986.

Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. — М.: Транспорт, 1982.

Аникин Б.А., Тяпухин А. П. Коммерческая логистика // Издательство Велби. М.: — 2005. — 432 с.