0,a<1)> q2:=simplify (q2,assume (a>0,a<1));
Перемножуємо вирази q1 та q2
> q3:=q1*q2;
Розкладаємо на множники вираз q3
> q3:=factor (q3);
Розкриваємо дужки в останньому виразі
> q3:=expand (%);
Відповідь: -1.
2. Завдання № 2
2.1 Задача 2.1 (вар. № 6)
Спростити вираз, а потім знайти чисельні значення при, а =2
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
expand-розкрити скобки,
factor-розкласти на множники
normal-привести к спільному знаменнику
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібні члени
> ((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1)/(1/sqrt ((a+1)^(-2))));
Позначимо через r1 першу частину виразу
> r1:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1));
Позначимо через r2 другу частину виразу
> r2:=sqrt ((a+1)^(-2));
Позначимо через r3 чисельник виразу r1
> r3:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2)));
Приводимо вираз r3 до спільного знаменника
> r3:=normal (r3);
Розкладаємо на множники вираз r3
> r3:=factor (r3);
Позначимо через r4 знаменник виразу r1
> r4:=(a2-a+1);
Скорочуємо чисельник r3 та знаменник r4 першої частини виразу
> r5:=r3/r4;
Залишилося r5 помножити на r2
> r6:=r5*r2;
Спрощуємо вираз r6, припускаючи, що a>-1
> simplify (r6,assume (a>-1));
Підставляємо a=2 в останній вираз %
> subs (a=2,%);
Відповідь: 1.
2.2 Задача 2.2 (вар. № 6)
Спростити вираз, а потім знайти чисельні значення при, а = 4; b = 1.
Розв’язання.
> (a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a3+8*b3)/(a3+3*a2*b-2*a*b2);
Чисельник вихідного дробу позначимо через t1
> t1:=(a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a3+8*b3);
Приводимо вираз, що стоїть в чисельнику t1, до спільного знаменника
> t1:=normal (t1);
Знаменник вихідного дробу позначимо через t2
> t2:=a3+3*a2*b-2*a*b2;
Розкладаємо знаменник t2 на множники
> t2:=factor (t2);
Скорочуємо чисельник t1 та знаменник t2
> t3:=t1/t2;
Виділяємо повний квадрат в чисельнику за допомогою оператора completesquare (попередньо підключивши пакет student)
> with (student):completesquare (t3,a);
Підставляємо в останній вираз % числа a=4, b=1
> subs (a=4,b=1,%);
Відповідь: 3/2.
3. Завдання № 3
3.1 Задача 3.1 (вар. № 6)
Скоротити слідуючи дроби Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
factor-розкласти на множники
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібні члени Розв’язання.
> (x4−10*x2+9)/(x4−13*x2+36);
Чисельник вихідного дробу позначимо через u1
> u1:=x4−10*x2+9;
Розкладаємо чисельник u1 на множники
> u1:=factor (u1);
Знаменник вихідного дробу позначимо через u2
> u2:=x4−13*x2+36;
Розкладаємо знаменник u2 на множники
> u2:=factor (u2);
Скорочуємо чисельник u1 та знаменник u2
> u3:=u1/u2;
Відповідь:
3.2 Задача 3.2 (вар. № 6)
Скоротити слідуючи дроби Розв’язання.
> (a5+a4+a3+a2+a+1)/((a2+a+1)*(a+1));
Чисельник вихідного дробу позначимо через v1
> v1:=a5+a4+a3+a2+a+1;
Розкладаємо чисельник v1 на множники
> v1:=factor (v1);
Знаменник вихідного дробу позначимо через v2
> v2:=(a2+a+1)*(a+1);
Скорочуємо чисельник v1 та знаменник v2
> v3:=v1/v2;
Відповідь:
4. Завдання № 4
4.1 Задача 4.1 (вар. № 6)
Розв’язати рівняння 1-й степені
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE: solve (рівняння або нерівність, змінна),
> ((x/a)-1)/(1-a2/b2)=1/(a/b-b/a);
Задаємо рівняння eq
> eq:=((x/a)-1)/(1-a2/b2)-1/(a/b-b/a)=0;
Розв’язуємо рівняння eq відносно змінної x
> solve (eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв’язок x і одержуємо тотожність
> subs (x=-(-b+a)*a/b,((x/a)-1)/(1-a2/b2)-1/(a/b-b/a));
Спрощуємо останній вираз (останній результат Maple зберігає під ім'ям %)
> simplify (%);
Відповідь:
4.2 Задача 4.2 (вар. № 6)
Розв’язати рівняння 1-й степені
Розв’язання.
> (9*sqrt (x)+1)/(6*(6*sqrt (x)-1))=sqrt (x)/(4*sqrt (x)-1);
Задаємо рівняння eq
> eq:=(9*sqrt (x)+1)/(6*(6*sqrt (x)-1))-sqrt (x)/(4*sqrt (x)-1)=0;
Розв’язуємо рівняння eq відносно змінної x
> solve (eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв’язок x і одержуємо 0
> subs (x=1,(9*sqrt (x)+1)/(6*(6*sqrt (x)-1))-sqrt (x)/(4*sqrt (x)-1));
Відповідь: 1.
5. Завдання № 5
5.1 Задача 5.1 (вар. № 6)
Розв’язати системи рівнянь з двома невідомими Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE: solve (рівняння або нерівність, змінна).
> (7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2;3*(x-1)=5*(y+1);
Задаємо систему рівнянь з двома невідомими
> sistema:={(7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2, 3*(x-1)=5*(y+1)};
Розв’язуємо систему рівнянь відносно x, y
> s:=solve (sistema,{x, y});
Зробимо перевірку: підставляємо у вихідну систему розв’язок і одержуємо дві тотожності
> eval (sistema, s);
Відповідь: (1; 1).
5.2 Задача 5.2 (вар. № 6)
Розв’язати системи рівнянь з двома невідомими Розв’язання.
> (x+2*y-7)/(2*y-x+15)/(2*x+y+19)=½/3;(3*x+y-3)/(4*x-2*y+1)/(5*x-3*y+8)= 6/3/5;
Задаємо систему рівнянь
> sistema:={(x+2*y-7)/(3*x+y-3)=t/6, (2*y-x+15)/(4*x-2*y+1)=2*t/3, (2*x+y+19)/(5*x-3*y+8)=3*t/5};
Розв’язуємо систему рівнянь відносно змінних x, y, t
> s:=solve (sistema,{x, y, t});
Для подання результів розв’язання системи рівнянь Maple використовує спеціальну функцію RootOf (), яка застосовується для позначення будь-якого кореня виразу, заданого як її параметр. Змінна _Z — системна змінна, згенерована Maple, яка набуває цілих значень. За допомогою функції eval () можна отримати наближені числові значення функції RootOf ().
> evalf (s);
6. Завдання № 6
6.1 Задача 6.1 (вар. № 6)
Побудувати графіки наступних функцій Розв’язання.
> f:=x2−3*abs (x)+2;
Будуємо графік функції f, обираємо проміжок для змінної x від -3 до 3, колір — синій, товщина лінії - 3
> plot (f, x=-3.3,color=blue, thickness=3);
6.2 Задача 6.2 (вар. № 6)
Побудувати графіки наступних функцій Розв’язання.
> y-x2-y2+2-abs (y-x2)=0;
Будуємо графік функції, заданої неявно за допомогою пакету plots
> with (plots):implicitplot (y-x2-y2+2-abs (y-x2), x=-3.3,y=-1.2, color=black, thickness=2);
7. Завдання № 7
7.1 Задача 7.1 (вар. № 6)
Зобразити наступні геометричні фігури згідно ескізу рис. 7.1 вихідних даних.
Розв’язання.
Використаємо пакет plottools — пакет для створення та роботи з графічними об'єктами. Команда curve ([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn, yn], options) задає криву координатами своїх точок. Крива відображається лінійними сегментами, що з'єднують сусідні точки. Команда display відображає вивід графічних команд на екран.
> with (plottools): w:=curve ([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]], color=black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);
7.2 Задача 7.2 (вар. № 6)
Зобразити наступні геометричні фігури згідно ескізу рис. 7.2 вихідних даних.
Розв’язання.
> with (plottools): u:=curve ([[0,0],[1,-1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,1],[0,0]], color=green, linestyle=1, thickness=2): plots[display](u);
8. Завдання № 8
8.1 Задача 8.1 (вар. № 6)
Розвязати рівняння 2-ї степені
Розв’язання.
> x-7+(x-6)^2/3=(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4;
Задаємо рівняння eq
> eq:=x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4=0;
Розв’язуємо рівняння eq відносно змінної x
> s:=solve (eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо розв’язок у вихідне рівняння й одержуємо 0
> evalf (subs (x=-54/5−6/5*sqrt (71), x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));
Далі підставляємо розв’язок у вихідне рівняння, одержуємо 0
> evalf (subs (x=-54/5+6/5*sqrt (71), x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));
Відповідь:
8.2 Задача 8.2 (вар. № 6)
Розв’язати рівняння 2-ї степені
Розв’язання.
> (20+x)/(2*x-2)-(9*x2+x+2)/(6*x2−6)=(5−3*x)/(x+1)-(10−4*x)/(3*x+3);
Задаємо рівняння eq
> eq:=(20+x)/(2*x-2)-(9*x2+x+2)/(6*x2−6)-(5−3*x)/(x+1)+(10−4*x)/(3*x+3)=0;
Розв’язуємо рівняння eq відносно змінної x
> s:=solve (eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо розв’язок у вихідне рівняння й одержуємо 0
> subs (x=-2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x2+x+2)/(6*x2−6)-(5−3*x)/(x+1)+(10−4*x)/(3*x+3));
Підставляємо розв’язок у вихідне рівняння й одержуємо 0
> subs (x=-17/2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x2+x+2)/(6*x2−6)-(5−3*x)/(x+1)+(10−4*x)/(3*x+3));
Відповідь: -2; -17/2.
9. Завдання № 9
9.1 Задача 9.1 (вар. № 6)
Привести наступні вирази к простішому виду Розв’язання.
> a/(sqrt (a*c)+c)+c/(sqrt (a*c)-a)-(a+c)/sqrt (a*c);
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
> rationalize (%);
Спрощуємо останній вираз
> simplify (%);
Відповідь:
9.2 Задача 9.2 (вар. № 6)
Привести наступні вирази к простійшому виду Розв’язання.
> (a-b)/(a^(¾)+a^(½)*b^(¼))-(a^(½)-b^(½))/(a^(¼)+b^(¼));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках
> rationalize ((a-b)/(a^(¾)+a^(½)*b^(¼)))-rationalize ((a^(½)-b^(½))/(a^(¼)+b^(¼)));
Спрощуємо останній вираз
> simplify (%);
Відповідь:
10. Завдання № 10
10.1. Задача 10.1 (вар. № 6)
Привести к раціональному виду наступні вирази
.
Розв’язання.
> n/(a^(2/3)+a^(1/3)*b^(1/3)+b^(2/3));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
> rationalize (%);
Відповідь:
10.2 Задача 10.2 (вар. № 6)
Привести к раціональному виду наступні вирази
Розв’язання.
> 1/(sqrt (2)-sqrt (3)+sqrt (5));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
> rationalize (%);
Розкриваємо дужки
> expand (%);
Відповідь:
11. Завдання № 11
Скласти програму, яка видає на печать таблицю значень для
Розв’язання.
> for n from 1 to 50 do sqrt (10*n) end do;
Список використаної літератури
1. Аладьев В. З., Богдявичюс М. А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. — 686 с.
2. Васильев А. Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. — 352 с.
3. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. — 688 с.
4. Дьяконов В. П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. — 656 с.
5. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. — СПб.: БХВ-Петербург, 2001. — 528 с.
6. Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. — 176с.
