Интегралы, дифуры, матриці

Интегралы, дифуры, матрицы

Інтегральне числення Невизначений інтеграл.

1. Поняття первісної.

Означення: Функція F (x) називається первісною для ф-ії f (x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f (x) чи dF (x)=f (x)dx.

Із означення виходить, що первісна F (x) — диференційована, а означати неперервна функція на проміжку І, й її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вон розглядається.

Теорема про множину первісних Якщо F (x) — первісна для функції f (х) на проміжку І, то:

F (x)+С — також первісна для f (x) на проміжку І;

будь-яка первісна Ф (х) для f (x) може біти представлена у вигляді Ф (х)= F (x)+С на проміжку І. (Тут С=const називається довільною сталою).

2. Невизначений інтеграл. Завдання інтегрування Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f (x) називається інтегруванням.

Задача інтегрування функції на проміжку полягає до того, щоб знайти усі первісні функції на цьому проміжку. Для розв’язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F (x), тоді (за теоремою про множину первісних) F (x)+С — загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення: Ф-ія F (x)+С, зо являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для ф-ії f (x) на проміжку І й позначається.

.

де f (x) — підінтегральна ф-ія; f (x)dx — підінтегральний вираз; dx — диференціал змінної інтегрування.

Теорема Коші. Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f (x) на певному проміжку достатньо, щоб f (x) був неперервною на цьому проміжку.

Неінтегровні інтеграли — котрі неможливо записати через основні елементарні ф-ії.

3. Властивості невизначеного інтеграла Властивості, що випливають з означення невизн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

.

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо смердоті існують.

4. Інтегрування розкладом Базується на 5-ї властивості невизначеного інтеграла. Мета — розкласти підінтегральну ф-ію на такі доданки, котрі простіше інтегрувати.

5. Інтегрування частинами Теорема: Якщо функції u (x) та v (x) мають неперервні похідні, то: .

На практиці ф-ії u (x) та v (x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f (x)dx розбивають на два множники типу udv, тобто f (x)dx=udv; при цьому ф-ія u (x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а й за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, чи може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів й їхні заміни:

v (x): .

.

де Р (х) — багаточлен, Q (x) — алгебраїчна ф-ія.

6. Метод підстановки Мета — перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f (x) — неперервна, а x=j (t) має неперервну похідну, то:

.

Наслідок.

.

7. Метод безпосереднього інтегрування В цьому методі використ. формула.

.

варіанту заміни змінної, але й саму змінну не записують (роблять усно) При цьому використовують операцію внесення ф-ії под знак диференціала.

Через це, якщо: , то:

.

Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок — значення диференціалу від цого не зміниться.

8. Інтегрування раціональних ф-ій Означення: Ставлення двох многочленівназивається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь багаточлена в чисельнику менший степеня багаточлена в знаменнику, тобто na, то: .

9) Якщо f (x) — інтегровна та m£f (x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то .

10) (Теорему про середнє): Якщо ф-ія f (x) — неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= cÎ [a;b], що: .

3. Поняття визначеного інтеграла з змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца.

Теорема: Якщо ф-ія f (x) неперервна для будь-якого xÎ[a;b], то похідна від інтеграла з змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:

.

Наслідки: 1) Визначений інтеграл з змінною верхньою межею від ф-ії f (x) є одна з первісних для f (x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, якої, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла з змінною верхньою межею.

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f (x) — неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f (x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f (x) на цьому проміжку, тобто:

де F'(x)=f (x).

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну з первісних підінтегральної ф-ії й виконати над нею подвійну підстановку.

4. Метод підстановки у визначеному інтегралі.

Теорема: Якщо: 1) f (x) — неперервна для xÎ[a;b]; 2) j (a)=а, j (b)=b; 3) x=j (t) та j‘(t) — неперервні для tÎ [a;b]; 4) при tÎ [a;b]èxÎ [a;b], то.

.

Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування й тому немає потреби повертатись до початкової змінної.

5. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі.

Теорема: Якщо ф-ії u (x) та v (x) мають неперервні похідні для xÎ[a;b], то .

Узагальнення поняття інтеграла.

1. Невластиві інтеграли з нескінченним проміжком інтегрування Нехай f (x) інтегровна для будь-якого скінченного bÎ[a;+¥), так що існує.

Означення: Границя при bà+¥ називається невластивим інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+¥) й позначається:

.

Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а чи не існує (до того числі нескінченна), — розбіжним.

Вважаючи, що f (x) — інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

.

де с=const.

Теорема: Якщо при x ³ a має місце нерівність 0£f (x)£g (x) то з збіжності інтеграла виходить збіжність інтеграла , чи з розбіжності випливає розбіжність .

2. Обчислення невластивих інтегралів від розривних (необмежених) функцій Нехай f (x) неперервна на проміжку (a;b] та при x=a має розрив 2-го роду.

Означення: називається невластивим інтегралом від розрізненої (необмеженої) функції f (x).

Якщо ця границя існує - інтеграл збіжний, якщо ані - розбіжний.

Для обчислення таких невластивих інтегралів використовують такі формули:

1) x = a — точка розриву f (x),.

.

2) x = b — точка розриву f (x),.

.

3) x=cÎ(a;b) -точка розриву f (x),.

.

Зауваження: до невластивих інтегралів, котрі мають точку розриву, що є внутрішньою для [a;b] не можна застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца.

3. Поняття подвійного інтеграла Означення: Якщо існує та не залежить ані від способу розбиття області D на частини, ані від вибору точок Mi, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції трьох змінних u=f (x, y, z) в тривимірній області D, який позначається так:

За такою схемою можна побудувати n-кратний інтеграл від функції n змінних u=f (M), M (x1, x2,…, xn,) у відповідній області D.

Властивості подвійного інтеграла:

1. .

2. .

3. якщо D=D1ÈD2 D1ÇD2= Æ.

4. P.S — площа області D.

4. Обчислення подвійного інтеграла зведенням до повторного інтеграла Означення: Область D називається правильною по відношенню до деякої осі, якщо будь-яка пряма паралельна цій осі перетинає між області не більше, ніж у двох точках.

5. Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі.

Теорема: Якщо ф-ія f (x;y) неперервна в області D, а ф-ії x=j (u;v), y=y (u;v) диференційовні й встановлюють взаємно-однозначну в системі Ouv, й при цьому їхній якобіан зберігає незмінним свій знак в області D, то має місце формула: .

6. Поняття криволінійних інтегралів Першого та іншого роду Криволінійний інтеграл Першого роду Означення: .

називається криволінійним інтегралом Першого роду, якщо ця границя існує й не залежить ані від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ані від вибору ними точок Mi.

Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, цей інтеграл можна обчислити за такою формулою:

.

В тривимірному випадку для ф-ії u=f (x;y;z), коли дуга кривої L задана параметричними рівняннями x=x (t), y=y (t), z=z (t), a £ t £ b. Формула має вигляд:

Зауваження: Криволінійний інтеграл Першого роду не залежить від напряму шляху інтегрування.

Криволінійний інтеграл Першого роду Якщо P (x;y) та Q (x;y) — неперервні ф-ії, а y=j (x) — рівняння дуги гладкої кривої L, Яка пробігається при зміні x від, а до b, то криволінійний інтеграл іншого роду має такий вигляд:

Криволінійний інтеграл іншого роду змінює свій знак на протилежний при зміні напряму шляху інтегрування (тобто обходу дуги кривої L).

Криволінійний інтеграл іншого роду можна розглядати як інтеграл від вектор-функції по диференціалу радіус-векторадуги кривої лінії L, тобто:

.

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ Основні поняття.

1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі.

Множина точок називається зв «язною, якзо будь-які її дві точки можна із «єднати ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії належали цій множині.

Множина точок називається обмеженою, якщо її точки належати множині точок кола скінченного радіуса.

Множина точок, координати які задовольняють нерівність (x1-x10)2+(x2-x20)2+…+(xn-xn0)20 таке, що при виконанні нерівності 0.