Экзаменационные і питання квитки по лінійної алгебрі за весняний семестр 2001 года

приблизний перелік екзаменаційних вопросов.

ЛИНЕЙНАя АЛГЕБРА.

1. Прямокутна матриця, її порядок, головна і побічна диагонали.

Одинична, нульова, трикутна, симетрична, транспонированная матриці. Приклади. 2. Складання матриць, множення матриці на число, множення матриць. Властивості асоціативності і коммутативности матриць. Приклади. 3. Приведення матриць до ступенчатому виду методом Гаусса. Елементарні перетворення над рядками матриці. Приклад. Ранг матриці. 4. Система з «m» лінійних рівнянь з «n» невідомими. Векторно-матричная форма записи. Розширена матриця системи. Приклад. 5. Однорідні і неоднорідні системи рівнянь. У випадку вони теж мають єдине рішення? Приклад. 6. Рішення однорідної і неоднорідною систем методом Гаусса. Приклад. 7. Однорідні системи та їх властивості. Еквівалентні системи. 8. Вільні і невільні перемінні однорідної системи. Приватне й загальне рішення. Приклад. 9. Спільні системи рівнянь. Теорему Кронекера-Капелли. Приклад. 10. Вектор рішення лінійної системи рівнянь. Загальне і приватне рішення неоднорідною системи рівнянь. Основні властивості рішень. 11. Модель Леонтьєва міжгалузевого балансу. Її математична модель. 12. Визначник матриці. Його порядок. Поняття означника стосовно матрицями другого і третього порядків. Алгебраїчне доповнення елемента. Розпад означника по рядку чи стовпцю. 13. Сформулювати властивості означника. 14. Яку матрицю називають зворотної? Умова її існування. 15. Обчислення означника з допомогою методу Гаусса. 16. Побудова зворотної матриці з допомогою алгебраїчних доповнень і методом Гаусса. 17. Дани матриці А=[pic]и В=[pic]. Знайти АВ — ВА. 18. Знайти ранг матриці: [pic]A =[pic]. 19. Знайти ранг матриці [pic][pic]. 20. Досліджувати скільки рішень може мати система рівнянь: [pic]. 21. Знайти спільне рішення однорідної системи: [pic]. 22. Досліджувати і вирішити у разі спільності систему рівнянь: [pic]. 23. Обчислити визначник матриці det A, де, А = [pic] методом Гаусса. 24. Як мовиться лінійним простором? Елемент лінійного пространства.

Яке безліч функцій на відрізку [a, b] утворює простір C[a, b]? 25. Властивості коммутативности і асоціативності складання векторів. 26. Арифметичне простір Rn. Що називають компонентами вектора? 27. Визначте поняття підпростору М у просторі V. Наведіть приклади лінійних підпросторів в лінійному просторі V, у просторі Rn. 28. Визначте поняття лінійної комбінації векторів u і v лінійного простору. Яка система векторів називається лінійно незалежної? 29. Запишіть властивості лінійно залежною системи векторів і лінійно незалежної системи векторів. 30. Наведіть приклади лінійно незалежних векторів та зняття функцій в лінійному просторі. 31. Базис лінійного простору, розкладання вектора по базису, координати вектора u в базисі е1, е2 … еn. Приклади стандартних базисів в прстранстве Rn. 32. Розмірність лінійного простору. Лінійна оболонка системи векторов.

Розмірність лінійного підпростору W лінійного простору V. 33. Лінійні операції над вільними векторами в координатної формі в довільному лінійному просторі. 34. Як визначається матриця переходу від старої базису b до нового з? 35. Якими властивості має матриця переходу від старої базису b до нового з? 36. Сформулюйте теорему про розкладанні будь-якого вектора лінійного простору по базису. 37. Запишіть формули перетворення координат вектора x лінійного простору L під час переходу від старої базису b до нового з. 38. Як визначається скалярне твір двох векторів? Яке простір називається евклидовым? Нерівність Коши-Буняковского. 39. Ортогональные вектори лінійного простору. 40. Поняття норми вектора. Яким аксіомам підпорядковується норма вектора? 41. Ортогональна система векторів. Чи є вона лінійно залежною? 42. Поняття ортогонального і ортонормированного базисів лінійного простору. 43. Яку матрицю називають матрицею Грама як і обчислюються її елементи? 44. Як мовиться процесом ортогонализации? 45. Сформулюйте необхідну й достатню умова лінійної залежності векторів. 46. Складіть матрицю Грама системі векторів е1=(1, -1, 2), е2=(1, 1,.

1), е3=(1, 0, 1) тривимірного простору. 47. Доведіть, що з будь-яких двох векторів чи з векторное рівняння a + x = з щодо x має рішення, і навіть єдине. 48. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1=-2с1−3с2−2с3, b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3. 49. З’ясуйте, утворює чи лінійне простір безліч всіх векторів даної площині, не паралельних даної прямий, якщо для операцій взято операції складання векторів і множення вектора на число. 50. З’ясуйте, утворює чи безліч функцій виду, а co t +b sin t, t ((;

(,(), a, b (R, лінійне простір щодо звичайних операцій складання функцій і множення функції на число. 51. Утворює чи лінійне простір безліч багаточленів ступеня n щодо звичайних операцій складання багаточленів і множення багаточлена на число? 52. Утворює чи лінійне простір безліч функцій, безперервних на відрізку [a, b], щодо операцій складання функцій і множення функції на число? 53. Доведіть, що багато матриц-столбцов висоти n утворює лінійне простір щодо матричних операцій складання і множення на число. 54. Доведіть, що dim V2 = 2, dim V3 = 3. 55. Не проводячи обчислень, з’ясуйте, чи є система векторів а1=(-4,.

2, 3), А2= (-3, 5, 1), а3 = (1,-7, 3), а4= (12,-5,4) лінійно незалежної? 56. З’ясуйте, утворюють чи вектори а1=(1, 0, 0, 0), А2= (1, 1, 0, 0), а3 =.

(1,1, 1, 0), а4= (1,1,1, 1) базис в лінійному арифметическом просторі R4? 57. Чи може матриця, А =[pic]быть матрицею переходу від однієї базису тривимірного простору до іншого? 58. Який вигляд має матриця переходу від старої базису до нового, якщо матриця переходу від нового базису до старого є треугольной?

Симетричної? 59. Для яких векторів евклидова простору нерівність Коши-Буняковского перетворюється на рівність? 60. Дайте поняття лінійного оператора, чинного в лінійному пространстве.

L. Наведіть приклади. 61. Яка матриця називається матрицею лінійного оператора? 62. Яку матрицю має нульової оператор, який діє у просторі L?

Який вид у матриці тотожний образу оператора, чинного у просторі L? 63. Сформулюйте теорему зв’язок координат вектора-прообраза з координатами вектора-образа оператора А, чинного у просторі L? 64. У випадку збігаються матриці двох різних лінійних операторів? 65. Яке відповідність між квадратними матрицями порядку n і лінійними операторами, що діють у n-мерном лінійному просторі? 66. Напишіть залежність, яка б пов’язала матриці Аb і Ае у різних базисах b і e лінійного простору. 67. Визначення характеристичного рівняння матриці А. 68. Дайте визначення поняття власне число лінійного оператора А.

Який вектор називається власним вектором оператора? Як його знайти? 69. Це означає поняття «власне підпростір», відповідальна даному власному значенням? 70. Складіть характеристичний рівняння для оператора Якщо ж його матриця А=[pic]. Знайдіть власні значення й власні вектори лінійного оператора А. 71. Скільком власним значенням може відповідати і той ж власний вектор? 72. Відомо, що власні значення (1, (2,.,(n лінійного оператора попарно різні. Що сказати про лінійної залежності відповідної їм системи власних векторів? 73. Відомо, що базис е складається з власних векторів оператора А. Що сказати про матриці оператора у тому базисі? 74. Коли матриця оператора, А подібна деякою діагональної? 75. Нехай (1, (2,., (n — власні значення оператора А. Знайдіть власні значення лінійного оператора, матрицею якого є матриця А2, А-1. 76. Дайте визначення оператора, сполученого до цього лінійному оператору.

А. Скільки пов’язаних операторів може бути оператора На евклідовому просторі? 77. Яка матриця є матрицею оператора сполученого лінійному оператору, А матрицею На ортонормированном базисі? 78. Дайте визначення самосопряженного оператора. Наведіть приклад самосопряженного оператора. 79. Яка матриця самосопряженного оператора в ортонормированном базисі? 80. Що сказати про оператора Якщо ж відомо, що його матриця у певному ортонормированном базисі є симетричної? 81. Які коріння характеристичного рівняння самосопряженного оператора? 82. Скільки власних значень має симметрическая матриця порядку n? 83. Яким властивістю мають власні вектори самосопряженного оператора? 84. Коли евклідовому просторі існує ортонормированный базис, у якому матриця лінійного оператора має діагональний вид? 85. Доведіть, що (А+ У)* = А* + У* і (АВ)* = У* А*. 86. У ортонормированном базисі оператор, А має матрицю, А = [pic]. Знайдіть матрицю сполученого йому оператора у тому ж базисі. 87. Яка матриця називається ортогональної матрицею і чому дорівнює її визначник? 88. Властивості ортогональних матриць. 89. Що таке квадратична форма? Дайте поняття матриці квадратичной форми. 90. Запишіть квадратичную форму в координатах у певному базисі. 91. Що таке канонічний вид квадратичной форми? Знайти її для x2 + xy + y2. 92. Яка квадратична форма називається позитивно определенной?

Неотрицательно певної? 93. Сформулюйте критерій Сильвестра. 94. Запишіть закон інерції для квадратичной форми. 95. Що таке метод ітерацій? 96. Дайте визначення Гессиана. 97. Складіть Гессиан для функції f (x1,…, xn)= x12 +x 1×2+ … + x.

1x n. 98. Наведіть квадратичную форму х12 — 4×1×2 до канонічного виду методом виділення квадратів. 99. Яку квадратичную форму можна навести до канонічного виду? 100. Як змінюється характеристичне рівняння матриці при ортогональном перетворення квадратичной форми? 101. З’ясуйте, чи є квадратична форма з матрицею, А = [pic] позитивно певної? 102. Коли діагональні елементи симетричної матриці - позитивні числа? 103. Знайдіть ранг квадратичной форми три змінні 2ху + 2уz +2хz. 104. Який ранг може мати позитивно певна форма від n змінних? 105. Запишіть матрицю переходу від базису е до базису е (, якщо е (1= е1+ е2+7е3, е (2=(7/6) е1- е2, е (3=- е1+ е2+ е3. 106. Чи є лінійним перетворення О = (6×1 — 5×2,-2×2, х3 — х1)? 107. Чому одно скалярне твір векторів в арифметическом просторі Rn? 108. Що сказати свої вектори, якщо вони відповідають різним власним значенням? 109. Визначте, яким є базис а=(1/[pic], 1/[pic], 1/[pic]), b=(1/[pic], -1/[pic], 0), з =(1/[pic], 1/[pic],-2/[pic]). 110. Нормируйте вектор x = 3i + 4j + 5k + 7m.

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 1.

1. Описати модель Леонтьєва міжгалузевого баланса.

2. Знайти рішення однорідної системи: [pic].

3. Як записується властивість асоціативності складання векторов?

4. Коли евклідовому просторі існує ортонормированный базис, у якому матриця лінійного оператора має діагональний вид?

5. У ортонормированном базисі оператор, А має матрицю, А =[pic]. Знайдіть матрицю сполученого йому оператора у тому ж базисе.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 2.

1. Які прямокутні матриці можна навести до ступенчатому виду? Метод приведення матриці до ступенчатому виду. Пример.

6. Знайти матрицю [pic]А-1, зворотний до матриці Проте й з її допомогою вирішити систему А[pic] = [pic], де, А = [pic], [pic]= [pic], [pic].

7. Утворює чи лінійне простір безліч багаточленів ступеня n щодо звичайних операцій складання багаточленів і множення багаточлена на число?

8. Яка матриця називається ортогональної матрицей?

9. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1=3с1-с2+2с3, b2=-6с1+5с2 -2с3, b3=4с1+с2-с3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 3.

2. Дати визначення системи з «m» лінійних рівнянь з «n» неизвестными.

Векторно-матричная форма записи системи лінійних рівнянь. 10. Досліджувати і вирішити у разі спільності систему рівнянь: [pic]. 11. Дайте визначення поняття арифметичного простору Rn. 12. Який матрицею є матриця, транспонированная до ортогональної? 13. Доведіть, що з будь-яких двох векторів чи з векторное рівняння а+х = з відносно x має рішення, до того ж единственное.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 4.

3. Який метод використовується під час вирішення системи лінійних рівнянь (з прикладу)? 14. Досліджувати і вирішити у разі спільності систему рівнянь: [pic]. 15. Запишіть властивості лінійно залежною системи векторів. 16. Дайте визначення Гессиана. 17. Складіть Гессиан для функції f (x1,…, xn)= x12 +x 1×2+ … + x 1x n .

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 5.

4. Неоднорідні системи рівнянь. Основні властивості рішень. 18. Знайти матрицю [pic]А-1, зворотний до матриці Проте й з її допомогою вирішити систему А[pic] = [pic], де, А = [pic],[pic]=[pic], [pic]. 19. Сформулюйте теорему зв’язок координат вектора-прообраза з координатами вектора-образа оператора А, чинного в пространстве.

L. 20. Яка матриця є матрицею оператора сполученого лінійному оператору, А матрицею На ортонормированном базисі? 21. З’ясуйте, чи є квадратична форма з матрицею, А = [pic] позитивно определенной.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 6.

5. Правило побудови зворотної матриці з прикладу матриці 2-го порядку з допомогою алгебраїчних доповнень. 22. Совместна чи система уравнений:[pic]? 23. З’ясуйте, утворює чи лінійне простір безліч всіх векторів даної площині, не паралельних даної прямий, якщо для операцій взято операції складання векторів і множення вектора на число. 24. Скільком власним значенням може відповідати і той ж власний вектор? 25. Складіть Гессиан для функції f (x1,…, xn)= x12 + 2×22+ … + nxn2 .

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 7.

6. Що називають визначником матриці. Порядок означника. Поняття означника стосовно матриці другого порядку. Приклад. 26. Знайти ранг матриці [pic][pic]. 27. Як записується властивість коммутативности складання векторів? 28. Яку квадратичную форму можна навести до канонічного виду? 29. Знайдіть ранг квадратичной форми три змінні х2 + у 2 +2хz.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 8.

7. Підпорядковується чи множення матриць властивості асоціативності і перестановки сомножителей? Привести приклад некоммунитативных матриц.

Приклад перестановочных матриць. 30. Знайти рішення однорідної системи: [pic]. 31. Як мовиться лінійним простором? 32. Чому дорівнює визначник ортогональної матриці? 33. У ортонормированном базисі оператор, А має матрицю, А =[pic]. Знайдіть матрицю сполученого йому оператора у тому ж базисе.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 9.

8. Дати визначення рангу матриці. Приклад. 34. Переконатися, що систему [pic]имеет єдине рішення, і знайти це рішення методом Гаусса:

[pic], [pic], [pic]. 35. Яка система векторів називається лінійно незалежної? 36. Який матрицею буде матриця, зворотна до ортогональної? 37. Доведіть, що (А+ У)* = А* + В*.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 10.

9. Які перетворення можна виконати над рядками матриці? Приклад. 38. Знайти рішення однорідної системи рівнянь [pic]. 39. Який базис лінійного простору називається ортогональным? 40. Скільки пов’язаних операторів може бути оператора На евклідовому просторі? 41. Чому одно скалярне твір векторів в арифметическом просторі Rn?

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 11.

10. За позитивного рішення однорідної системи які перемінні називають вільними, а які невільними? Чому одно число вільних змінних? 42. Досліджувати і вирішити у разі спільності систему рівнянь: [pic]. 43. Доведіть, що багато матриц-столбцов висоти n утворює лінійне простір щодо матричних операцій складання і множення на число. 44. Скільки власних значень має симметрическая матриця порядку n? 45. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1=-2с1−3с2;

2с3, b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 12.

11. Елементарні перетворення над рядками матриці. Приклад. 46. Переконатися, що систему [pic], має єдине рішення, і знайти це рішення методом Гаусса:

[pic]. 47. Для яких векторів евклидова простору нерівність Коші -.

Буняковского перетворюється на рівність? 48. Чому дорівнює матриця, зворотна до ортогональної? 49. Знайдіть ранг квадратичной форми три змінні 2ху + 2уz +2хz.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 13.

12. Рішення однорідної системи методом Гаусса. Приклад. 50. Знайти матрицю [pic]А-1, зворотний до матриці Проте й з її допомогою вирішити систему А[pic] = [pic], де, А = [pic],[pic]=[pic], [pic]. 51. Визначте поняття підпростору М у просторі V. 52. Дайте поняття матриці квадратичной форми. 53. Який нормований вектор відповідає вектору x = -5i + 3j + 7k?

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 14.

13. Яку систему рівнянь називають неоднорідною? У випадку вона не має єдине рішення? 54. Знайти матрицю А-1, зворотний до матриці [pic]. 55. Як мовиться розкладанням вектора по базису? 56. Коли діагональні елементи симетричної матриці - позитивні числа? 57. Доведіть, що (АВ)* = У* А*.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 15.

14. Яку систему рівнянь називають однорідної? У випадку вона не має єдине рішення? 58. Скільки рішень може мати система рівнянь: [pic]? 59. Що називають координатами вектора u в базисі е1, е2 … еn. 60. Запишіть закон інерції для квадратичной форми. 61. У ортонормированном базисі оператор, А має матрицю, А =[pic]. Знайдіть матрицю сполученого йому оператора у тому ж базисе.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 16.

15. Сформулювати теорему Кронекера-Капелли. Проілюструвати її прикладом. 62. Обчислити визначник матриці det A, де, А = [pic] методом Гаусса. 63. Визначте поняття лінійної комбінації векторів u і v лінійного простору. 64. Яким властивістю мають власні вектори самосопряженного оператора? 65. З’ясуйте, утворює чи безліч функцій виду, а co t +b sin t, t ((;

(,(), a, b (R, лінійне простір щодо звичайних операцій складання функцій і множення функції на число.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 17.

16. Рішення неоднорідною системи методом Гаусса (з прикладу). 66. Совместна чи наступна система:[pic]? Знайти його виконання. 67. Дайте визначення розмірності лінійного підпростору W лінійного простору V. 68. Який багаточлен називається характеристичним многочленом матриці? 69. Чи є лінійним перетворення О = (6×1 — 5×2,-2×2, х3 — х1)?

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 18.

17. Які матриці називають рівними? Складання матриць. Приклад. Множення матриці на число. Приклад. 70. Скільки лінійно незалежних рішень має система:[pic]? 71. Які вектори лінійного простору називаються ортогональными? 72. Що таке канонічний вид квадратичной форми? 73. Доведіть, що dim V2 = 2, dim V3 = 3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 19.

18. У чому полягає прямий і зворотний хід методу Гаусса під час вирішення системи рівнянь (з прикладу)? 74. Чи є матриця А-1, зворотна [pic]? 75. Як визначається матриця переходу від старої базису b до нового з? 76. Яка матриця називається симетричної? 77. Складіть Гессиан для функції f (x1,…, xn) = x12 + x 2+ … + x n;

1+xn2 .

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 20.

19. Які системи лінійних рівнянь називають спільними? У випадку система є несовместной? 78. Совместна чи система уравнений:[pic]? Знайти його виконання. 79. Як називається елемент лінійного простору? 80. Відомо, що базис е складається з власних векторів оператора А. Що сказати про матриці оператора у тому базисі? 81. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1=-с1−7с2+2с3, b2=-9с1+ 8с2-с3, b3=с1+2с2+5с3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 21.

20. Яке рішення неоднорідною системи лінійних рівнянь називають общим?

Яке — приватним? 82. Скільки рішень може мати система уравнений:[pic]? 83. Запишіть властивості лінійно незалежної системи векторів. 84. Що сказати про оператора Якщо ж відомо, що його матриця у певній ортонормированном базисі є симетричної? 85. Що сказати свої вектори, якщо вони відповідають різним власним значениям?

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 22.

21. Побудова зворотної матриці з допомогою методу Гаусса (з прикладу). 86. Обчислити визначник матриці det A, де, А = [pic] методом Гаусса. 87. У випадку збігаються матриці двох різних лінійних операторів? 88. У якій базисі матриця лінійного оператора, А є діагональної? 89. Чи є лінійно залежною система векторів а=(5,4,3), b=(3,3,2), с=(8,1,3)?

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 23.

22. Основні властивості означника. 90. Скільки рішень може мати система рівнянь: [pic]? 91. Який вигляд має матриця переходу від старої базису до нового, якщо матриця переходу від нового базису до старого є трикутною? 92. Запишіть квадратичную форму в координатах у певній базисі. 93. Чи може матриця, А =[pic]быть матрицею переходу від однієї базису тривимірного простору до другому?

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 24.

23. Чому дорівнює визначник трикутною матриці? Змінюють чи елементарні перетворення величину означника? У випадку визначник матриці не нульовий? 94. Досліджувати і вирішити у разі спільності систему рівнянь: [pic]. 95. Запишіть формули перетворення координат вектора x лінійного простору L під час переходу від старої базису b до нового з. 96. Яка матриця самосопряженного оператора в ортонормированном базисі? 97. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1= 4с1−5с2.

+с3, b2=с1−3с2−2с3, b3=5с1+с2+с3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 25.

24. Яке рішення однорідної системи рівнянь називають загальним, частным?

Приклад. 98. Знайти матрицю [pic]А-1, зворотний до матриці Проте й з її допомогою вирішити систему А[pic] = [pic], де, А = [pic], [pic]= [pic], [pic]. 99. Яке безліч функцій на відрізку [a, b] утворює простір С[a, b].

? 100. Дайте визначення поняття власного числа лінійного оператора А. 101. Визначте, яким є базис а=(1/[pic], 1/[pic], 1/[pic]), b=(1/[pic], -1/[pic], 0), з =(1/[pic], 1/[pic],-2/[pic]).

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 26.

25. Приведення матриці до ступенчатому виду методом Гаусса. Приклад. 102. Обчислити визначник матриці det A, де, А = [pic] методом Гаусса. 103. Утворює чи лінійне простір безліч функцій, безперервних на відрізку [a, b], щодо операцій складання функцій і множення функції на число? 104. Яка квадратична форма називається неотрицательно певної? 105. Знайдіть ранг квадратичной форми три змінні х2 + 2ху +z2.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 27.

26. Який вектор називають рішенням лінійної системи рівнянь? Що означає вирішити систему лінійних рівнянь? Які системи називають еквівалентними? 106. Знайти матрицю [pic]А-1, зворотний до матриці Проте й з її допомогою вирішити систему А[pic] = [pic], де, А = [pic], [pic]= [pic], [pic]. 107. Дайте визначення розмірності лінійного простору. 108. При якому умови існує базис, у якому матриця лінійного оператора є діагональної? 109. У ортонормированном базисі оператор, А має матрицю, А = [pic]. Знайдіть матрицю сполученого йому оператора у тому ж базисе.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 28.

27. Яку матрицю називають невырожденной? При якому значенні означника рядки матриці є залежними, а у якому — незалежними? 110. Знайти ранг матриці: A = [pic]. 111. Сформулюйте необхідну й достатню умова лінійної залежності векторів. 112. Який вектор називається власним вектором оператора? 113. Складіть характеристичне рівняння для оператора Якщо ж його матриця А=[pic]. Знайдіть власні значення оператора А.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 29.

28. Яку матрицю називають матрицею системи рівнянь? Яка матриця називається розширеній матрицею системи? Як записуються вектор невідомих і вектор правих частин рівнянь? 114. Скільки рішень може мати система рівнянь: [pic]? 115. Напишіть залежність, яка б пов’язала матриці Аb і Ае у різних базисах b і e лінійного простору. 116. Скільки власних значень має самосопряженный оператор, який діє у n-мерном евклідовому просторі? 117. Не проводячи обчислень, з’ясуйте, чи є система векторів а1=(-4,.

2, 3), А2= (-3, 5, 1), а3 = (1,-7, 3), а4= (12,-5,4) лінійно независимой.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 30.

29. Яку матрицю називають одиничної, нульової, трикутною? Приклад. 118. Скільки рішень може мати система рівнянь: [pic]? 119. Який вид у матриці тотожний образу оператора, чинного у просторі L? 120. Дайте визначення оператора, сполученого до цього лінійному оператору А. 121. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1=с1−3с2+2с3, b2=-2с1+с2 — с3, b3=с1+2с2−2с3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 31.

30. Як записується формула розкладання означника по рядку чи стовпцю? Приклад. 122. Знайти матрицю [pic], зворотний до матриці Проте й з її допомогою вирішити систему [pic], де [pic], [pic], [pic]. 123. Запишіть нерівність Коші - Буняковского. 124. Дайте визначення самосопряженного оператора. 125. Наведіть квадратичную форму х12 + 4×1×2 + x2x3 + x32 до канонічного виду методом виділення квадратов.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 32.

31. Неоднорідна система лінійних рівнянь. Її загальне та приватне решения.

Приклад. 126. Знайти ранг матриці: [pic]A =[pic]. 127. Дайте поняття ортонормированного базису лінійного простору. 128. Як перебувають власні вектори лінійного оператора? 129. Нехай (1, (2,., (n — власні значення оператора А. Знайдіть власні значення лінійного оператора, матрицею якого є матриця А2.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 33.

32. Однорідні системи рівнянь та його основні властивості. 130. Скільки рішень може мати система рівнянь: [pic]? 131. Яким аксіомам підпорядковується норма вектора? 132. Яка квадратична форма називається позитивно певної? 133. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b1= 4с1- с2+9с3, b2 =-с1+6с2−11с3, b3=5с1+3с2−2с3.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 34.

33. Поняття «визначник» стосовно матриці третього порядку. Яку величину називають алгебраїчним доповненням елемента? Приклад. 134. Дани матриці [pic] і [pic]. Знайти АВ-ВА. 135. Яке простір називається евклидовым? 136. Коли матриця оператора, А подібна деякою діагональної? 137. З’ясуйте, утворюють чи вектори а1=(1, 0, 0, 0), А2= (1, 1, 0, 0), а3.

= (1,1, 1, 0), а4= (1,1,1, 1) базис в лінійному арифметическом просторі R4.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;

Екзаменаційний квиток по предмету.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.

Квиток № 35.

34. Завдання міжгалузевого балансу. Її математична модель. 138. Досліджувати і вирішити у разі спільності систему рівнянь: [pic]. 139. Це означає запис dim V? 140. Що таке квадратична форма? 141. Нехай (1, (2,., (n — власні значення оператора А. Знайдіть власні значення лінійного оператора, матрицею якого є матриця А-1.

Зав. кафедрой.

————————————————————————-;