Теорія вектора

Теория вектора Зміст:

1. Що таке вектор?

2. Складання векторов.

3. Рівність векторов.

4. Скалярне твір двох векторів та її свойства.

5. Властивості операцій над векторами.

6. Докази і рішення задач.

Одним з фундаментальних понять сучасної математики є вектор і його узагальнення — тензор. Еволюція поняття вектора здійснювалася завдяки широкого використання цього поняття на різних галузях математики, механіки, а також у техніці.

Кінець минулого й початок нинішнього століття ознаменувалися широким розвитком векторного обчислення та її додатків. Було створено векторна алгебра і векторний аналіз, загальна теорія векторного простору. Ці теорії було використано при побудові спеціальної і загальної теорії відносності, котрі грають винятково важливу роль сучасної физике.

Відповідно до вимогами нової програми з математиці поняття вектора стала однією з провідних понять шкільного курсу математики.

Хто ж вектор? Хоч як дивно, у відповідь це запитання представляє відомі труднощі. Є різноманітні підходи до визначення поняття вектора; у своїй навіть якщо обмежитися лише найцікавішим тут нам элементарно-геометрическим підходом до поняття вектора, і тоді будуть матись різні погляди цього поняття. Зрозуміло, хоч би яке визначення ми взяли, вектор — з элементарно-геометрической погляду — є геометричний об'єкт, характерне напрямом (тобто. заданої з точністю до паралельності прямий і напрямом у ньому) і. Але такий визначення є надто загальним, яке викликає конкретних геометричних уявлень. Відповідно до цього загальному визначенню паралельний перенесення вважатимуться вектором. І це дійсно, можна було б взяти таке визначення: «Вектором називається всякий паралельний перенесення». Цю ухвалу логічно бездоганно, і вкриваю його основі то, можливо побудована вся теорія дій над векторами і розвинені докладання цієї теорії. Але це визначення, попри повну конкретність, нас тут теж може задовольнити, оскільки уявлення про векторі як «про геометричному перетворення здається нам недостатньо наочним і далеких від фізичних поглядів на векторних величинах.

Отже, векторомназивається сімейство всіх паралельних між собою однаково спрямованих і має однакову довжину відрізків (мал.1).

Вектор зображують на кресленнях відрізком зі стрілкою (тобто. зображують в повному обсязі сімейство відрізків, що було вектор, а лише з цих відрізків). Для позначення векторів у книжках і статтях застосовують жирні латинські літери а, в, с тощо, а зошитах і дошці - латинські літери з рисочкою сверху, .

Тій-таки буквою, але з жирною, а світлої (а зошити й на дошцітієї ж буквою без рисочки) позначають довжину вектора. Довжину іноді позначають також вертикальними рисками — як модуль (абсолютну величину) числа. Отже, довжина вектора а обозначается через, а чи IаI, а рукописному тексті довжина вектора позначається через, а чи IаI. У зв’язку з зображенням векторів як відрізків (мал.2) слід, що кінці відрізка, який зображує вектор, неравноправны: одного кінця відрізка до іншого.

Различают початок і поклала край вектора (точніше, відрізка, який зображує вектор).

Дуже часто поняттю вектора дається інше визначення: вектором називається спрямований відрізок. У цьому вектори (тобто. спрямовані відтинки), мають однакову довжину, і один і той ж напрям (рис.3), умовляються вважати равными.

Векторы називаються однаково спрямованими, якщо їх полупрямые однаково спрямовані.

Складання векторів.

Все сказане поки що це не дає поняття вектора досить змістовним і корисним. Велику змістовність й найбагатшу можливість додатків поняття вектора отримує тоді, коли ми вводимо своєрідну «геометричну арифметику» — арифметику векторів, що дозволить складати вектори, вичитати їх і виробляти з них чимало інших операцій. Зазначимо у зв’язку з цим, що й поняття числа стає цікавим лише за запровадження арифметичних дій, а чи не саме по себе.

Суммой векторів і з координатами а1, А2 і в1, в2 називається вектор з координатами а1 + в1, А2 + в2, тобто.

.

.

Следствие:

Для докази коммутативности складання векторів на площині необхідно розглянути пример.

і  — вектори (див. мал.5).

.

Пусть.

1. Будуємо паралелограм ОАСВ: ГАМ II ВВ, ВН II ОА.

.

Для докази асоціативності ми відкладемо від довільній точки Про вектор , от точки, А вектор і південь від точки в — вектор з. Тогда маємо: .

.

откуда і треба равенство Зауважимо, що наведене доказ не використовує креслення. Це характерно (попри деякий навичці) вирішення завдань з допомогою векторів.

Зупинимося тепер у разі, коли вектори і направлені на протилежні сторони, і мають рівні довжини; такі вектори називають протилежними. Наше правило складання векторів призводить до того, сума дві протилежні векторів представляє собою «вектор», має нульову довжину, і яка має ніякого напрями; цей «вектор» змальовується «відрізком нульової довжини», тобто. точкою. Але це теж вектор, що називається нульовим і позначається символом 0. Рівність векторів.

Два вектора називаються рівними, якщо вони поєднуються паралельним перенесенням. Це означає, що існує паралельний перенесення, який переводить початок і поклала край одного вектора відповідно початок і поклала край іншого вектора.

З цієї визначення рівності векторів слід, що різні вектори однаково спрямовані зусилля й рівні по абсолютну величину.

І назад: якщо вектори однаково спрямовані зусилля й рівні по абсолютну величину, всі вони равны.

Действительно, нехай вектори и  — однаково спрямовані вектори, рівні по абсолютну величину (див. мал.6). Паралельний перенесення, переводить точку З в точку А, поєднує полупрямую СD з полупрямой АВ, оскільки вони однаково спрямовані. Оскільки відтинки АВ і CD рівні, то точка D поєднується до точки У, тобто паралельний перенесення переводить вектор в вектор . Значит, вектори і рівні, що потрібно було довести.

Скалярне твір двох векторів та її властивості.

Скалярным твором двох нульових векторів називається число, однакову твору числових значень довжин цих векторів на косинус кута між векторами.

Обозначение:.

Властивості скалярного произведения:

1. x = х..

2. А, щоб два нульових вектора а и в були перпендикулярні, необхідне й досить, щоб скалярне твір цих векторів було одно нулю, тобто. x = 0..

3. Вислів x будемо позначати 2 і називати скалярним квадратом вектора. Властивості операцій над векторами.

Имеют місце такі теореми про операції над векторами, заданими в координатної формі.

1. Нехай дано = (ох, аy, аz) і = (вx, ву, вz), тоді сума цих векторів є вектор , координати якого рівні сумі однойменних координат доданків векторів, тобто. = + = (ох + вx; аy + ву; аz + вz).

Пример 1. = (3; 4; 6) і = (-1; 4; -3), тоді = (3 + (-1); 4 + 4; 6 + (-3)) = (2; 8; 3).

2. = (ох, аy, аz) і = (вx, ву, вz), тоді різницю цих векторів є вектор , координати якого рівні різниці однойменних координат даних векторів, тобто. = - = (ох — вx; аy — ву; аz — вz).

Приклад 2.

= (-2; 8; -3) и = (-4; -5; 0), тоді з =  — = (-2 — (-4); 8 — (-5); -3 -0) = (2; -13; -3).

3. При множенні вектора = (ох, аy, аz) на число м все його координати множаться цього число, тобто. м = (мах, маy, маz).

Пример 3.

= (-8; 4; 0) і м = 3, тоді 3 = (-8×3; 4×3; 0×3) = (-24; 12; 0).

Поняття вектора, яке знайшло стала вельми поширеною в прикладних науках, стало плідним й у геометрії. Апарат векторної алгебри дозволив спростити виклад деяких складних геометричних понять, докази деяких теорем шкільного курсу геометрії, дозволив створити особливий метод розв’язання різноманітних геометричних задач.

Розглянемо доказ деяких теорем з допомогою векторов.

Теорему 1.

Діагоналі ромбу взаємно перпендикулярны.

Доказательство.

Пусть АВСD — даний ромб (див. мал.7). Введемо позначення: З визначення ромбу: .

За визначенням суми і різниці векторів .

Рассмотрим .

Оскільки боку ромбу рівні, то =. Отже, З останнього отримуємо .

Ч.т.д.

Розглянемо тепер вирішення завдань з допомогою векторов.

Завдання 1..

Дани два вектора і , причому А (-1; 2; 4), У (-4; 5; 4), З (-1; -2; 2) і D (2; 1;5).

Визначити, перпендикулярні вони одне одному або нет.

Решение..

Найдем спочатку координати векторів. = (-3; 3; 0) і = (3; 3; 3).

Вычислим тепер скалярне твір цих векторів:

x = (-3) x 3 + 3×3 + 0×3 = 0.

Останнє і означає, що

Задача 2..

Дан довільний трикутник АВС. Довести, які можна побудувати трикутник, боку якого рівні й рівнобіжні медианам трикутника АВС.

Решение..

Означимо медіани трикутника АВС через ВЕ, СF і позначимо вектори, що йдуть вздовж сторін трикутника АВС, через а, в, с:

= а, = в, = с.

(рис.8). Тогда АD =AB+ ВD =AB+= з + .

аналогично визначаються та інші медианы:

= а + , = в + .

Оскільки, з умови замкнутості.

+ + = а + в + з =0,.

то ми имеем:

+ + = (з + ) + (а + ) + (в + ) = (а + в + з) = x 0 = 0.

Следовательно, відклавши від точки У, вектор і зажадав від точки С1 — вектор , ми получим.

І це отже (з умови замкнутості), що ламана А1В1С1D1 є замкнутої, тобто. точка D1 збігаються з А1.

Отже, ми маємо трикутник А1В1С1 (див. мал.9), боку якого рівні й рівнобіжні медианам АD, ВЕ, СF вихідного треугольника.

Задача 3..

Довести, що з будь-якого трикутника має місце формула.

с2 = А2 + в2 — 2ав x соs З (теорема косинусов).

Решение..

Положим: а = СВ, в = ,.

с = (рис.10).

Тоді з = а — в, і ми имеем.

(учитывая, що кут між векторами й у дорівнює С):

с2 = (а — в)2 = А2 — 2ав + в2 = а2 — 2ав x соs З + в2.

Завдання 4..

Доведіть, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторон.

Решение..

Нехай чотирикутник АВСD — паралелограм (рис.11). Маємо векторні равенства.

.

Зведемо Кобзареву ці рівності в квадрат. Получим:

Додаймо ці рівності почленно. Получим:

.

Оскільки у паралелограма противолежащие боку рівні, це рівність і означає, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін, що потрібно було доказать.

Завдання 5..

Дани трикрапку: А (1; 1), У (-1; 0), З (0; 1). знайдіть цієї точки D (x; y), щоб вектори і були рівні.

Решение..

Вектор має координати -2, -1. Вектор має координати x — 0, y -1. Так как = , то x — 0 = -2, y -1 = -1. Звідси знаходимо координати точки D: x = -2, y = 0.

Задача 6..

Даны два вектора і , причому, А (-1; 2; 4), У (-4; 5; 4), З (-1; -2; 2), D (2; 1; 5).Определить, перпендикулярні вони одне одному або немає.

Рішення..

Знайдемо спочатку координати векторів. = (-3; 3; 0) і (3; 3; 3).

Вычислим тепер скалярне твір цих векторів:

x = (-3) x 3 + 3×3 + 0×3 = 0.

Останнє озночает, що .

Розглянуті вище приклади завдань показують, що векторний метод є дуже потужних засобом рішення геометричних і багатьох фізичних (і технічних) задач.

Використовувана література.

1. «Вектори в шкільному курсі геометрії». (1976 р.) В. А. Гусев. Ю. М. Колягин. Г. Л. Луканкин.

2. «Вектори знає геометрії середньої школи. (1962г.) В. Г. Болтянский. И. М. Яглом.