Метод хорд

Министерство освіти та РФ.

Рязанська Державна Радіотехнічна Академия.

Кафедра САПР ВС.

Пояснювальна записка до курсової роботу з дисципліни, Информатика".

Тема:, Метод хорд".

Виконав: студент 351 группы.

Литвинов Е.П.

Проверил:

Скворцов С.В.

Рязань 2004 р. Контрольний приклад до курсової роботі студента 351 групи Литвинова Евгения.

Завдання: Розробити програму, що виконує уточнення кореня нелінійного рівняння від'єднаного на заданому інтервалі [a, b], заданим методом.

Вирішити нелінійне рівняння з допомогою розробленої програми і коштів системи MathCAD. Порівняти отримані результаты.

Визначити кількість необхідних ітерацій до таких значень похибок результату: Eps=[pic]; [pic];[pic];[pic];[pic].

Використовуваний метод: метод хорд.

Контрольний приклад: [pic] ;

Інтервал [a, b]: [0,1].

Вариант: 2.2 Завдання прийняв: Кількість видачі завдання: Кількість виконання завдання: Перевірив: Скворцов С.В.

Метод хорд.

Нехай дано рівняння [pic], де [pic] - безперервна функція, має в інтервалі (a, b) похідні першого і другого порядків. Корінь вважається відокремленим і залишається на відрізку [a, b].

Ідея методу хорд у тому, що у досить малому проміжку [a, b] дугу кривою [pic]можно замінити хордою і як наближеного значення кореня прийняти точку перетину з віссю абсцис. Розглянемо випадок (мал.1), коли перша й інша похідні мають однакові знаки, тобто. [pic].

Рівняння хорди — це рівняння прямий, що проходить за два точки (a, f (a)) і (b, f (b)).

Загальний вид рівняння прямий, що проходить за два точки:

[pic].

Підставляючи у цю формулу значення, одержимо рівняння хорди AB:

[pic].

Нехай x1 — точка перетину хорди з віссю x, оскільки y = 0, то.

[pic] x1 можна вважати наближеним значенням корня.

Аналогічно для хорди, що проходить через точки [pic] і [pic], обчислюється таке наближення корня:

[pic].

У випадку формулу методу хорд має вид:

[pic] (1).

Якщо перша й інша похідні мають різні знаки, тобто. [pic][pic], то ми все наближення до корені [pic] виконуються із боку правої кордону відрізка [pic] (мал.2) і обчислюються по формуле:

[pic] (2).

Вибір формули у кожному даному випадку залежить від виду функції [pic] здійснюється за правилом: нерухомій є така кордон відрізка [pic] ізоляції кореня, на яку знак функції збігається з знаком другий похідною. Формула (1) використовують у тому випадку, коли [pic]. Якщо справедливо нерівність [pic], то доцільно застосовувати формулу (2).

Итерационный процес методу хорд триває до того часу, доки отримають наближений корінь із заданої ступенем точності. Оцінюючи похибки наближення можна скористатися соотношением.

Якщо позначити через m найменше значення |f «(x)| на проміжку [a, b], який можна окреслити заздалегідь, одержимо формулу з оцінки точності обчислення корня:

[pic] чи [pic] де [pic]- задана похибка вычислений.

Список ідентифікаторів. a — початок відрізка, b — кінець відрізка, eps — похибка обчислень, x — дані значення кореня, min — модуль значення похідною функції на початку відрізка, d — модуль значення похідною функції наприкінці відрізка, x0 — точка, у якій шукаємо производную.

**************************************************************** Program kursovaia; uses crt; Var a, b, eps, x, min: real;

{Вычисление даної функції} Function fx (x:real): real; begin fx:=exp (x)-10*x; end; ———————————————————————————————— {Функція обчислення похідною й визначення точності обчислень} {Для визначення точності обчислення беремо значення 2-ї похідною у точці x*=[pic]} Function proizv (x0,eps: real): real; var dx, dy, dy2: real; begin dx:=1;

Repeat dx:=dx/2; dy:=fx (x0+dx/2)-fx (x0-dx/2); dy2:=fx (5*x0/4+dx)-2*fx (5*x0/4); dy2:=dy2+fx (5*x0/4-dx);

Until abs (dy2/(2*dx))1; utoch:=k; end; ———————————————————————————————— {Процедура визначення найменшого значення похідною на заданому проміжку} Procedure minimum (a, b, eps: real; var min: real); var d: real; begin a:=a-eps; b:=b+eps;

Repeat a:=a+eps; b:=b-eps; min:=abs (proizv (a, eps)); d:=abs (proizv (b, eps));

If min>d Then min:=d.

Until min 0 end; ———————————————————————————————— {Процедура уточнення кореня методом хорд} Procedure chord (a, b, eps, min: real; var x: real); Var x1: real; begin x1:=a;

Repeat x:=x1-((b-x1)*fx (x1))/(fx (b)-fx (x1)); x1:=x.

Until abs (fx (x))/mind.

Да.

Начало.

chord (a, b, eps, min).

Конец Нет.

t:=k.

Нет Да.

min=0.

x1:=a.

x:=x1-((b-x1)*fx (x1))/(fx (b)-fx (x1)).

x1:=x.

Abs (fx (x))/min>=eps.

Да Нет.

Конец.

abs (dy/2(2*dx))>=eps.

dy2:=dy2+fx (5*x0/4-dx).

dy2:=fx (5*x0/4+dx)-2*fx (5*x0/4).

dy:=fx (x0+dx/2)-fx (x0-dx/2).

dx:=dx/2.

dx:=1.

Да Нет.

Начало.

proizv (x0,eps).

Конец.

fx (x).

Нет Да.

eps.