Шпаргалка по геометрії і алгебре

Т.Сумма суміжних кутів = 180(Т.Вертикальные кути рівні (загальна вершина, стороны одного сост. продолжение сторін друг.) Дві прямі наз-ся параллельн., якщо лежать в 1-ї площини і не перетинаються. Акс. (осн.св-во паралл. прямых) Через точку, не леж. на даної прямий можна провести на площині лише 1 пряму, паралельну даної. Сл.: 1. Якщо пряма перетинає 1 з паралл. Прямих, то перес-ет і той. 2. Якщо дві прямі | | 3-ей, то | | одна одній. Ознаки паралельності прямих. Е.

А У У, А А В С Д Д.

Д З З (ВАС (ДСА внутр. бічний. (1рис) (ВАС (ДСА внутр. навхрест лежащ. (2) (ЕАВ (АСД соответств. (3) Т 1. Якщо за пересіч. 2-х прямих на площині внутр. накрест лежащ. (=, то прямі рівнобіжні. Т 2. Якщо за пересіч 2-х прямх січною відповідні кути равны,(прямые| |. Док-во Нехай (чи (b) обр-т до січною АВ рівні соотв. (1=(2 Але (1=(3 (вертикальные)((3=(2.Но (2 і (3-накрестлежщие.(По Т 1 a | | b (Т3. Якщо за пересіч. 2-х прямих січною на площині, сума внутр. одност. (=180(, то прямі | |(Для ТТ 1−3 є обратыные. Т4. Якщо 2 паралл. прямые пересечны 3-й прямий, то внутр. накрестлеащие (=, зіответств.(=, сума внутр. одност (=180(. Перпедикулярные пр-е пересек-ся (90(. 1. Через кажд. тчку прямий можна навести (їй пряму, і лише 1. 2. Із будь-якої тчки ((даної прямий) можна опустити перпендикуляр (цю прямцю і лише 1. 3. дві прямі (3-й рівнобіжні. 4. Якщо пряма (1-ї з | | прямих, вона (і той. Багатокутник (n-угольник) Т. Будь-який правильний опуклий мн-к можна вписати у окружність і описати близько окружності. (Rопис., rвпис.) R = a / 2sin (180(/n); r = a / 2 tg (180() Трикутник NB! 1. Усі 3 висоти кожного (перетнув. один тчке (ортоцентр). 2. Усі 3 медіани перетнув. один тчке (центр тяжкості) — ділить кажд. Медіану в отн 2:1 (счит. Від вершини). 3. Усі 3 биссектр. (перетнув. один тчке — центр впис. Кола. 4. Усі 3 (, відновлені з середин сторін (, пересу. один тчке — центр опис. кола. 5. Середня лінія | | і = (підстави H (опущ. на стор. a) = 2(p (p-a)(p-b)(p-c) a M (опущ на стор a) = ((2b2+2c2 -a2 B (-‘'-)= 2(bcp (p-a) / b+c p — полупериметр a (=b (+c (-2bx, х-проекция 1-ї з сторон.

Ознаки рівності (: 2(=, якщо = сотв. 1. 2 сторони, і (з-поміж них. 2. 2 (і сторона з-поміж них. 3. 2 (і сторона, противолеж. 1-му з (4. три боку 5. 2 сторони, і (, що лежить проти більшої їх. Прямокутний (C=90(a (+b (=c (NB! TgA= a/b; tgB =b/a; sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c Рівносторонній (H= (3 * a/2 P. S (= (h a =(a b sin З Паралелограм d (+d`(=2a (+ 2b (P.S =h a=a b sinA (между чи b) = (d d` sinB (між d d`) Трапеція P. S= (a+b) h/2 =(uvsinZ= Mh Ромб S=a h =a (sinA= (d d` Окружність L= (Rn (/ 180(, n (-центр (Т.Впис.(= (L, L-дуга, на ктрую опир (S (cектора)= (R ((= (R (n (/ 360(Вектори. Скалярне твір (а (b=|(a| |(b| co ((a ((b),.

|(a| |(b| - довжина векторів Скалярне твір |(a|(x`; y`(і |(b|(x``; y``(, заданих своїми коорди-натами, = |(a| |(b| = x` (y` + x`` (y`` Перетворення постатей 1. Центр. Симетрія 2. Осьова симетрія (() 3. Симм. Отн-но площині (() 4. Гомотетия (точки Х Про Х`` лежать на 1 прямий і расст. ОХ``=k OX, k (0 — це гомотетия отн-но Про з коэфф. До. 5. Рух (сохр расст. Між точками постаті) 6. Поворот 7. Обертання — навколо осі - преобр. Простору, коли: — всі крапки осі переходять самі у собі - будь-яка точка А (осі р А (А` отже Проте й А` ((, ((р, (АОА` = (= const, Проточка пересіч. (і р. Результвт 2-х рухів= композиції. 8. Паралeн. перенос (x, y, z)((x+a, y=b, x=c) 9. Перетворення подобюием — расст. Між тчками измен-ся в k раз К=1 — рух. Св-ва подоби. 1. АВС ((а); A`B`C` ((a`) 2. (p) ((p`); [p)([p`); (((`; (A ((A` 3. Не всяке подобугомотетия NB! P. S` = k (P.S``; V ` = k 3 V `` Площині. Т. Якщо пряма, (к.-л. площині (, | | к.-л. прямий, ((, вона | | (Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести площину, то лінія їх пересіч.| | (а)и (b) T. (Ознака парал. 2-х плоск.).Если 2 перетнув. прямі 1-ї (| | двом перетнув. прямим інший (, то (| | (. Т. Якщо 2 парал. Плоск-ти пересіч. 3-й, то лінії перетину | |. Т. Через тчку поза площиною можна навести плоск-ть | | даної і лише 1. Т. Відтинки парал. Прямих, ув’язнені між 2-мя площинами, =. Т. Ознака (прямий і пл-сти.Если пряма, перек-ая плос-ть, (кожної з 2-х перек-ся прямих, то пряма і пл-сть (. Т. 2 (до пл-сти | |. Т. Якщо 1 з 2-х паралл. прямих (, те й інша (площині. Т. Ознака (2-х плос-тей. Якщо пл-сть проходить через (до ін. п-сти, він (цієї л-сти. Дано [a)((,[a) ((,(((= (p).Д-ть: (((Док-во. [a)((=(М. Проведемо (b) через М, (b)((p). (a)((b) — лінійний (двугранного кута між (і (. Оскільки [a)((((a)((b)((a)((b)=90((((((Т. Якщо 2 пл-сти взаємно (, то пряма 1-ї пл-сти (лінії пересіч. пл-стей, (2-ї пл-сти. Т. Про 3-х (. А, щоб пряма, леж-я в пл-сти, була (похилій, необх-мо і, щоб ця пряма була (проекції похилій. Багатогранники Призма. V = P. S осн (a — пряма призма a — бічне ребро, P. S псP.S (-го перерізу V = P. S пс (а — похила призма V = Sбок. пов-сти призми + 2Sосн. Якщо підставу ін. = паралелограм, ця призма — паралелепіпед. V=h Sосн.; Vпрямоуг. параллел-да = abc S=2(ab+ac+bc) Піраміда V= 1/3 * НS осн. S=S всіх (. Постаті обертання Циліндр V=(R (H; P. S= 2(R (R+H) Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * (R (H P. S= Sосн+ Sбок= (R (r + L); L-образующая Сфера «оболонка» P. S= 4(R (Куля М= 4/3 (R3.

ARCSIN a -(/2(arcsin a ((/2 sin (arcsin a)=a arcsin (-a)= -arcsin a |a |0|1/|(2|(3|1 | | | |2 |/2|/2| | |arcs|0|(/|(/|(/|(/| |in a| |6 |4 |3 |2 |.

SIN X= A x=(-1)n arcsin a +(k |sin |x=(k | |x=0 | | |sin |x=(/2+2| |x=1 |(k | |sin |x=-(/2+| |x=-1 |2(k |.

ARCCOS a 0 (arccos a ((cos (arccos a)=a arccos (-a)=(-arccos a |a |0 |1/|(2|(3|1| | | |2 |/2|/2| | |arcco|(/|(/|(/|(/|0| |p.s a |2 |3 |4 |6 | |.

CO X= A x=(arccos a +2(k |co |x=(/2+| |x=0 |(k | |co |x=2(k | |x=1 | | |co |x=(+2(| |x=-1 |k |.

ARCTG a -(/2(arctg a ((/2 tg (arctg a)=a arctg (-a)= -arctg a |a |0|(3|1 |(3| | | |/3| | | |tg|0|(/|(/|(/| |a | |6 |4 |3 |.

TG X= A x=(arctg a +(k.

sin (*cos (=½[sin ((-()+sin ((+()] sin (*sin (=½[cos ((-()-cos ((+()] cos (*cos (=½[cos ((-()+cos ((+b)].

sin (*cos (=½[sin ((-()+sin ((+()] sin (*sin (=½[cos ((-()-cos ((+()] cos (*cos (=½[cos ((-()+cos ((+b)] sin (+sin (=2sin ((+()/2 * cos ((-()/2 sin (-sin (=2sin ((-()/2 * cos ((+()/2 cos (+cos (=2cos ((+()/2 * cos ((-()/2 cos (-cos (=-2sin ((+()/2 * sin ((-()/2.

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2+2ab+b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc a2-b2=(a-b)(a+b) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3−3a2b+3ab2-b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2).

|0 |(/6 |(/4 |(/3 |(/2 |(|2/3(|¾(|5/6(|3/2(| | |0 |30(|45(|60(|90(|180 |120(|135(|150(|270(| |sin |0 |½ |(2/2 |(3/2 |1 |0 |(3/2 |(2/2 |½ |-1 | |co |1 |(3/2 |(2/2 |½ |0 |-1 |-½ |-(2/2 |-(3/2 |0 | |tg |0 |1/(3 |1 |(3 |(|0 |-(3 |-1 |-1/(3 |(| |ctg |(|(3 |1 |1/(3 |0 |(|- 1/(3 |-1 |-(3 |0 | |sin2+cos2=1 sin=±(1-cos2 sin (-()=-sin (tg (- ()=-tg (tg (ctg=1 cos=±(1-sin2 cos (-()=cos (ctg (-g)=-ctg (tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2 sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2(=2sin ((cos (cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2(=cos2 (-sin2 (cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin (cos tg2(=2tg (/1-tg (cos ((+()=cos ((cos (-sin ((sin (sin3(=3sin (-4sin3(cos ((-()=cos ((cos (+sin ((sin (cos3(=4cos3(-3cos (sin ((+()=sin ((cos (+cos ((sin (tg ((+()=tg (+tg (sin ((-()=sin ((cos (-cos ((sin (1-tg ((tg (2cos2(/2=1+cos (2sin2(/2=1-cos (.

|0 |(/6 |(/4 |(/3 |(/2 |(|2/3(|¾(|5/6(|3/2(| | |0 |30(|45(|60(|90(|180 |120(|135(|150(|270(| |sin |0 |½ |(2/2 |(3/2 |1 |0 |(3/2 |(2/2 |½ |-1 | |co |1 |(3/2 |(2/2 |½ |0 |-1 |-½ |-(2/2 |-(3/2 |0 | |tg |0 |1/(3 |1 |(3 |(|0 |-(3 |-1 |-1/(3 |(| |ctg |(|(3 |1 |1/(3 |0 |(|- 1/(3 |-1 |-(3 |0 | |sin2+cos2=1 sin=±(1-cos2 sin (-()=-sin (tg (- ()=-tg (tg (ctg=1 cos=±(1-sin2 cos (-()=cos (ctg (-g)=-ctg (tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2 sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2(=2sin ((cos (cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2(=cos2 (-sin2 (cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin (cos tg2(=2tg (/1-tg (cos ((+()=cos ((cos (-sin ((sin (sin3(=3sin (-4sin3(cos ((-()=cos ((cos (+sin ((sin (cos3(=4cos3(-3cos (sin ((+()=sin ((cos (+cos ((sin (tg ((+()=tg (+tg (sin ((-()=sin ((cos (-cos ((sin (1-tg ((tg (.

sin (2(-()=-sin (sin (3(/2-()=-cos (cos (2(-()=cos (cos (3(/2-()=-sin (tg (2(-()=-tg (tg (3(/2-()=ctg (sin ((-()=sin (ctg (3(/2-()=tg (cos ((-()=-cos (sin (3(/2+()=-cos (sin ((+()=-sin (cos (3(/2+()=sin (cos ((+()=-cos (tg ((/2+()=-ctg (sin ((/2-()=cos (ctg ((/2+()=-tg (cos ((/2-()=sin (sin (+sin (=2sin ((+()/2cos ((-()/2 tg ((/2-()=ctg (sin (-sin (=2sin ((-()/2*cos ((+()/2 ctg ((/2-()=tg (cos (+cos (=2cos ((+b)/2cos ((-()/2 sin ((/2+()=cos (cos (-cos (=-2sin ((+b)/2sin ((-()/2 cos ((/2+()=-sin (.

Y = P. S I N x 1).ООФ D (y)=R 2).ОДЗ E (y)=[-1;1] 3).Периодическая з періодом 2(4).Нечётная; sin (-x)=-sin x 5).Возрастает на відтинках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k (Z Убуває на відтинках [(/2+2(k;3(/2+2(k], k (Z 6).Наибольшее значение=1 при х=(/2+2(k, k (Z Найкоротший значение=-1 при х=-(/2+2(k, k (Z 7).Ноли функції х=(k, k (Z 8).MAX значение=1 х=(/2+2(k, k (Z MIN значение=-1 х=-(/2+(+2(k, k (Z 9).x>0 на відтинках [2(k;(+2(k], k (Z x0 на відтинках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k (Z x0 на відтинках ((k;(/2+(k), k (Z x.