Використання поняття визначеного інтегралу в економіці (реферат)

Реферат на тему:

Використання поняття визначеного інтегралу в економіці.

1. Визначення загального обсягу випущеної продукції.

Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q (x), де x — затрати ресурсу, а q — обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x (t).

Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу.

$$Q=\underset{T_0}{\overset{T_1}{}}q(x(t))\text{dt}$$ .

При $$q(x)=\sqrt{x}$$, x (t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції.

$$Q=\underset{0}{\overset{5}{}}\sqrt{\text{100}{e}^{\mathrm{0,2}t}}\text{dt}=\underset{0}{\overset{5}{}}\text{10}{e}^{\mathrm{0,1}t}\text{dt}=\text{10}\frac{1}{\mathrm{0,1}}{e}^{\mathrm{0,1}t}{|}_0^5=\text{100}(e^{\mathrm{0,5}}-e^0)=\text{64},\text{872}(\text{одиниці})$$.

2. Визначення коефіцієнта Джинні.

Нехай y=y (x) — частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.

Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня ­ 35% капіталу, і 85% ­ 60% капіталу, маємо таке:

y (0,3)=0,1;

y (0,6)=0,35;

y (0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y (0)=0 та y (1)=1.

На рис. 7.6 зображена відповідна крива (крива Лоренца).

y.

0,6.

0,1.

x.

0,3 0,85 1.

Рис. 7.6.

Очевидно, що у разі абсолютно рівномірного розподілу багатства в країні крива Лоренца є бісектрисою прямого кута (прямою y = x). Зі збільшенням нерівності збільшується площа між кривою y=y (x) та прямою y = x. Числове значення цієї площі K (0<K<½) називають коефіцієнтом Джинні.

Приклад. Крива Лоренца деякої країни має вигляд $$y=x\sqrt{x}$$ .Знайти коефіцієнт Джинні цієї країни.

Із визначення коефіцієнта Джинні випливає, що для кривої Лоренца $$y=x\sqrt{x}$$.

$$K=\mathrm{0,5}-\underset{0}{\overset{1}{}}{x\sqrt{x}\text{dx}=\mathrm{0,5}-\frac{2}{5}{x}^{5/2}|}_0^1=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,1}$$.

Для кривої Лоренца y=x2 маємо такий коефіцієнт Джинні:

$$K=\mathrm{0,5}-\underset{0}{\overset{1}{}}{x^2\text{dx}=\mathrm{0,5}-\frac{1}{3}{x}^3|}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$ .

3. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків Як відомо з теми 3, теперішню вартість майбутніх грошей обчислюють за формулою.

$$\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+r{)}^t}$$ ,.

де r — ставка відсотка.

Останню формулу для невеликих значень можна записати у вигляді.

$$\text{PV}=\text{FV}\frac{\text{FV}}{(e^{\text{ln}(1+r)}{)}^t}\frac{\text{FV}}{(e^r{)}^t}=\text{FV}{e}^{-\text{rt}}$$ ,.

оскільки ln (1+r)справді, ln1,03=0,0296- ln1,05=0,0488- ln1,08=0,077).

Нехай деяка фірма здійснює потік інвестицій FV1, FV2,…, FVn в моменти часу t1, t2,…, tn=T. Тоді дисконтована (чиста) теперішня вартість NPV потоку інвестицій представляє собою суму.

$$\text{NPV}=\frac{{\text{FV}}_1}{(1+r{)}^{t_1}}+\frac{{\text{FV}}_2}{(1+r{)}^{t_2}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{\text{FV}}_n}{(1+r{)}^{t_n}}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{{\text{FV}}_i}{(1+r{)}^{t_i}}\underset{i=1}{\overset{n}{}}{\text{FV}}_i{e}^{-{\text{rt}}_i}$$.

У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі ti-ti-1 -малі, де t0=0- i=1,…, n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку (nвсі послідовність значень FV1=FV (t1), FV2=FV (t2),…, FVn=FV (T) описує деяка функція FV (t), 0 перетворюється в інтеграл.

$$\text{NPV}=\underset{0}{\overset{T}{}}\text{FV}(t)e^{-\text{rt}}\text{dt}$$ .

Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV (t)=100−10t. Ставка відсотка r=10% (r=0,1). Довжина періоду інвестування T=5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку (рис. 7.7,б):

$$\begin{array}{c}\text{NPV}=\underset{0}{\overset{5}{}}(\text{100}-\text{10}t)e^{-\mathrm{0,1}t}\text{dt}=\text{100}\underset{0}{\overset{5}{}}{e}^{-\mathrm{0,1}t}\text{dt}-\text{10}\underset{0}{\overset{5}{}}{\text{te}}^{-\mathrm{0,1}t}\text{dt}\begin{array}{c}{e}^{-\mathrm{0,1}t}\text{dt}=\text{dv}-t=u\\ \\ \end{array}-\text{1000}{e}^{-\mathrm{0,1}t}{|}_0^5-\\ \end{array}$$.

$$-\text{10}(-\text{10}{\text{te}}^{-\mathrm{0,1}t}{|}_0^5-\underset{0}{\overset{5}{}}{(\text{10}{e}^{-\mathrm{0,1}t})\text{dt})=(-\text{1000}{e}^{-\mathrm{0,1}t}\text{100}{e}^{-\mathrm{0,1}t}+\text{1000}{e}^{-\mathrm{0,1}t})|}_0^5=$$.

$$=\text{100}(5e^{-\mathrm{0,5}}-0)=\frac{\text{500}}{\sqrt{e}}\text{303}$$.

Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку (рис 7.7,а):

$$V=\underset{0}{\overset{5}{}}{(\text{100}-\text{10}t)\text{dt}=\text{100}t|}_0^5-\text{10}\frac{t^2}{2}{|}_0^5=\text{100}(5-0)-5(\text{25}-0)=\text{375}$$ .

100 100.

(5−50).

(5−30,3).

5 5.

а б.

Рис. 7.7.

4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача З курсу мікроекономіки відомо, що в умовах досконалої конкуренції ринкова (рівноважна) ціна на кожен товар відповідає точці перетину кривої попиту D=D (Q) та кривої пропозиції S=S (Q) (рис. 7.8).

Кожна точка (P-Q) на кривій попиту визначає кількість товару Q, який був би проданий за ціни P. Незважаючи на те, що на ринку весь товар реально продають за ціною Pдеяка i-та (i=1,…, n) частина споживачів згідна була б купити свою частку товару заплативши і дещо вищу ціну Pi>Pщоправда, за ціни Pi всього буде продано тільки Qi одиниць товару). Отже, кожна i-та частина споживачів завдяки ринковому механізмові виграє в ціні на (Pi-P Вважаючи, що за деякої досить високої ціни P0овар не купуватимуть взагалі, маємо такий загальний виграш (надлишок) усіх споживачів:

$$\underset{i=1}{\overset{n}{}}(P_i(Q_i)-P^{}){\mathit{}}_i$$ ,.

де i=1 відповідає ціні P0а i=n — ціні Pp>

Очевидно, що в неперервному випадку надлишок (виграш) споживачів дорівнює площі S1 фігури P0рис.7.8).

Кожна точка (Q-P) на кривій пропозиції визначає кількість товару Q, яка була б продана на ринку за ціни P. Оскільки деяка j-та (j=1,…, m) частина виробників згідна виробляти та постачати на ринок частку товару і за ціни Pj<Pоднак не нижчою від P то завдяки ринковому механізму (який визначив ціну Pзагальний надлишок (виграш) усіх виробників дорівнює (де j=1 відповідає ціні P0а j=m — ціні Pp>

$$\underset{j=1}{\overset{m}{}}(P^{}-P_j(Q_j)){\mathit{}}_j$$ ,.

тобто площі S2 фігури Pдив. рис. 7.8).

P (ціна).

P S (Пропозиція).

Pi S1.

PS2 E D (Попит).

P/div>

Q (Кількість).

Q0 Qi Q>

Рис. 7.8.

Приклад. В умовах досконалої конкуренції крива попиту має вигляд D (Q)=(Q-10)2+200, а крива пропозиції - S (Q)=Q2+100. Знайти загальний надлишок споживача та загальний надлишок виробника, якщо максимальна ціна споживача — 225 одиниць, а виробника — 125 одиниць.

Точку рівноваги знаходимо з рівняння.

D (Q)= S (Q);

(Q-10)2+200=Q2+100;

Q;

P0.

Цінам P05 та P05 відповідає мінімальна кількість товару в обсязі Q0=5.

Надлишок (виграш) споживача дорівнює площі фігури S1, тобто його обчисдюють за допомогою визначеного інтеграла.

$$S_1=\underset{Q_0}{\overset{Q^{}}{}}D(Q)\text{dQ}-P^{}(Q^{}-Q_0)=$$.

$$=\underset{5}{\overset{\text{10}}{}}(Q^2-\text{20}Q+\text{300})\text{dQ}-\text{1000}=(\frac{Q^3}{3}-\text{10}{Q}^2+\text{300}Q){|}_5^{\text{10}}-\text{1000}=$$.

$$=\frac{\text{875}}{3}-\text{10}\text{75}+\text{300}5-\text{1000}=\text{41},\text{67}$$ .

Надлишок (виграш) виробника дорівнює площі фігури S2, тобто знаходиться зи допомогою визначеного інтеграла.

$$S_2=P^{}(Q^{}-Q_0)-\underset{Q_0}{\overset{Q^{}}{}}S(Q)\text{dQ}=$$.

$$=\text{1000}-\underset{5}{\overset{\text{10}}{}}(Q^2+\text{100})\text{dQ}=\text{1000}-(\frac{Q^3}{3}+\text{100}Q){|}_5^{\text{10}}=$$ $$\text{1000}-\frac{\text{875}}{3}-\text{100}5=\text{208},\text{33}$$ .

5. Дослідження функцій густини розподілу ймовірностей.

У курсі «Теорія ймовірності і математична статистика» буде з’ясовано, що ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини x в інтервал [a-b] дорівнює інтегралу $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$, де f (x) — диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей величини x.

Знайдемо невласні інтеграли від деяких таких функцій.

1. 1.Диференціальна функція (густина) рівномірного розподілу ймовірностей (рис. 7.9,а) $$f(x)=\{\begin{array}{c}0x<a\\ 1/(b-a)a<=x<=b\\ 0x>b\end{array}$$ дорівнює.

$$\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}f(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}\frac{1}{b-a}\text{dx}=\frac{1}{b-a}x{|}_a^b=\frac{1}{b-a}\left(b-a\right)=1$$ .

1. 2.Диференціальна функція (густина) показникового розподілу ймовірностей (рис. 7.9,б) f (x)=kxe-kx $$$$ дорівнює.

$$\begin{array}{c}\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}f(x)\text{dx}=\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{kxe}}^{-\text{kx}}\text{dx}\begin{array}{c}(t=-\text{kx})\\ \\ \end{array}\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}(-e^t)\text{dt}=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ a->\mathrm{}\end{array}\underset{0}{\overset{a}{}}(-e^t)\text{dt}=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ a->\mathrm{}\end{array}(-e^{-\text{kx}}){|}_0^a=\\ \end{array}$$.

$$=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ a->\mathrm{}\end{array}(e^0-e^{-\text{ka}})=1-\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ a->\mathrm{}\end{array}{e}^{-\text{ka}}=1-0=1$$ .

1. 3.Диференціальна функція (густина) нормального закону (закону Гауса) розподілу (рис. 7.9,в) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{}^2}}$$ .

За допомогою спеціальних методів можна показати, що.

$$\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}f(x)\text{dx}=\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{}^2}}\text{dx}=1$$ ;

$$\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}\text{xf}(x)\text{dx}=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}x\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{}^2}}\text{dx}=a$$ — $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}{x}^{2}f(x)\text{dx}=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^2\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{}^2}}\text{dx}={}^2$$ .

1/(b-a).

а б в.

Рис. 7.9.

Ці інтеграли широко застосовуються в курсі «Економетрія» .

.