Научная контрреволюція у математиці

Научная контрреволюція в математике

Александр Зенкин.

" Левополушарная злочинність «які вже понад століття править бал у володіннях «королеви всіх наук «.

Не дуже давно офіційному друкованому органі Російської Академії Наук («Вісник РАН », 1999, № 6, з. 553−558) було опубліковано статтю відомого математика, віце-президента Міжнародного математичного союзу, академіка Володимира Ігоровича Арнольда. Назва цієї статті була досить незвичним, б сказав, провокаційним — «Антинаукові революція, і математика ». У звичайних людей, звикли ставитися до науки, а тим паче до математики з майже уродженим пієтетом, одне це назва викликає «законне почуття «тривоги й здивування.

Карл Фрідріх Гаусс (1777−1855):

" Я заперечую… проти вживання безкінечною величини як чогось завершеного, що не дозволено у математиці… «.

Ситуация справді ні звичайна. Одне з провідних математиків звинувачує математику у небезпечній схильність до абстрактного мислення, чи так званому левополушарном абстракционизме. «У двадцятого століття, — пише, в частковості, Володимир Арнольд, — обладавшая великий вплив мафія «левополушарных математиків «зуміла виключити геометрію з математичної освіти (спочатку мови у Франції, і потім та інших країнах), замінивши всю змістовний бік цієї дисципліни тренуванням в формальному маніпулюванні абстрактними поняттями… Таке «абстрактне «опис математики непридатне ні на навчання, ні на будь-яких практичних додатків «і більше, створює «сучасне різко негативне ставлення суспільства та урядів до математики » .

Логика на будь-який вкус

Диагноз, безсумнівно, вірний, але застрашливий і… не новий. Понад три століття тому знаменитий (колишнього СРСР особливо, оскільки з «легкої руки «В.І. Леніна було включено в «чорного списку «класових ворогів діалектичного та історичного матеріалізму) єпископ Дж. Беркли писав: «Якщо розум людини з дитинства повантажений у абстракції, то зрілому віці він втрачає здатність адекватно реагувати на навколишню його дійсність ». Понад те, одне із творців саме абстрактно-теоретичних, формальних основ сучасної інформатики, Дж. фон Нойман, ще півстоліття тому попереджав, що «надмірна формалізація і символізація математичної теорії небезпечна для здорового розвитку математичної науки » .

Так що саме виходить: якщо зовсім на пересічні представники математичної науки на протязі трьох століть ставлять і той ж невтішний діагноз, то хвороба невиліковна? Але не зовсім так.

Дело у цьому, що математика виникла як інструмент найбільш загального характеру і об'єктивного, а отже, і найбільш абстрактного і формального описи законів природи. Досить геометрію Евкліда з її найдавнішої аксіоматичній системою, яка без докорінних змін дійшло нашого часу і став еталоном всім сучасних формально-аксиоматических, справді наукових, побудов. Тому виступати проти природного прагнення математики до максимально загальному, абстрактно-теоретическому опису «об'єктивної реальності «отже, користуючись відомим порівнянням Гільберта, намагатися заборонити «професійним боксерам користуватися на рингу своїми кулаками » .

Тем щонайменше важко заперечувати ж Арнольдом і багатьма іншими математиками, які вважають, що сверхабстракционизм («бурбакизм », за висловом Арнольда) сучасної математики привело до того, що дві математика, працюючих у сусідніх кімнатах, не може зрозуміти одне одного.

Лет тридцять тому заради спортивного інтересу започаткував колекціонувати різні «логіки », використовувані у сприйнятті сучасних логіко-математичних трактатах. Коли їх кількість переступили другу сотню, зрозуміли: якщо логіку можна вибирати «до душі «(і навіть конструювати «по потреби »), то такого поняття, як «наука », стає тут просто недоречним.

Пожалуй, ситуація у певному сенсі нагадує знамениту «Вавилонську «епопею: звуки-символы абстрактних висловів майже однакові, а сенс, якщо такий є, в кожного — свій. Чим закінчився Перший Вавилон — описано в Біблії…

На погляд, вихід із ситуації один…

Требуется контр-контр-революция!

Многие, звісно, чули і пам’ятають про революційних відкриттях у математиці, наприклад, аксіоматика тієї самої Евкліда, чи відкриття диференціального і інтегрального числень Ньютоном і Лейбніцем, чи, нарешті, недавнє рішення знаменитої проблеми Ферма. Відомі також историко-революционные потрясіння і протилежного типу — великі кризи у підставах математики, пов’язані з відкриттям ірраціональних чисел, бесконечно-малых і знаменитих парадоксів теорії множин. «Але от щоб контрреволюція! І де? У математиці?! «- здивуються багато.

Что є загального між великими кризами в підставах математики, хоч і поділяють тисячоліття? Якщо бути коротким, то — невигубне прагнення математиків зрозуміти сутність нескінченного. Хочу відразу ж потрапити помітити, що раніше всі математики, так чи інакше втягнуті у ці кризи, були і видатними філософами. Але, стверджують учені богослови, Нескінченне є атрибут Божий, а кінцевого людини зазіхання «святині «завжди загрожує небезпечними наслідками.

Что послужило приводом початком Третього кризи підстав математики? Зухвала спроба у те час небагатьом відомого німецького математика Ґеорга Кантора актуалізувати (російською — оконечить) Нескінченне.

Напомню, що з часів Аристотеля розрізняють два контрадикторных (тобто., взаємовиключних) поняття Нескінченного. Як-от, коли ви починаєте считать:

1, 2, 3,… (1),.

и стверджуєте, що закінчити той процес неможливо у принципі, такий тип «відсутності кінця «в ряді (1) називається його потенційної нескінченністю. Якщо ж ви згодні про те, що кілька (1) немає останнього, найбільшого елемента, але з тих щонайменше, слідуючи Кантору, думаєте, що, хоч як це ні здалося суперечливим, — нічого немає безглуздого у цьому, щоб позначити («уявити собі «- в канторовском оригіналі) цей елітний реєстр (1) як символ, наприклад, грецьким символом w (омега), назвати цей символ цілим числом і, перестрибнувши через потенційну нескінченність низки (1), продовжити рахунок далі:

w, w + 1, w + 2, w + 3, тощо., (2),.

то таке дуже вільне поводження із низкою (1) називається його актуалізацією, яке нескінченність «стає «завершеною (?!), закінченою (?!) чи актуальною нескінченністю.

Как відомо, ще величне Аристотель застерігав: «Infinitum Actu Non Datur », що еквівалентно російському утвердженню: «Поняття актуальною нескінченності є внутрішньо суперечливим », тому його використання у науці - неприпустимо. Як показало дуже тривала, майже 2200-летняя історична практика, у питаннях «вищого логічного і філософського порядку «Арістотелеві як можна, а й потрібно вірити!

Однако у самому кінці ХІХ століття знайшлися деякі, досить відомі у той час, математики, котрі прийняли наведене вище майже дослівно і з математичної погляду — кричущим наївне міркування Ґеорга Кантора (у якому «бажаного «вулицю значно більше, ніж «дійсного ») за суворе математичне «доказ «правомірності запровадження математику актуально-бесконечных множин. Почався тріумфальний процес «загальної актуалізації «нескінченних множин у математиці.

Патологический казус

Однако перевищення трагічних наслідків такого, досить швидкого кроку не забарилися позначитися. Спочатку сам Кантор (1893 р.), а невдовзі Бертран Рассел (1902 р.) відкривають цілу низку парадоксів (т. е. нерозв’язних протиріч), пов’язаних саме з актуалізацією нескінченних множин. Почався Третій Великий криза підстав математики, який, на думку багатьох відомих математиків і філософів, «триває і з сьогодні «.

Еще один, вже суто психологічний, казус у тому, що відкриття будь-якого подібного протиріччя будь-який інший науці означала б повне його дискредитацію і негайне закриття «попри всі часи ». Однак цілий плеяда видатних математиків і філософів у першій половині ХХ століття (як-от Рассел, Гільберт, Брауэр та інших.) присвятили все своє життя «порятунку «канторовской теорії множин, отже, ідей актуалізації нескінченності. Жертвуючи у своїй солідними «шматками «здорового тіла математичної науки: Рассел, наприклад, приніс у жертву актуальною нескінченності самозастосовність математичних понять; Брауэр — фундаментальнейший закон логіки — закон виключеного третього; а Гільберт у своїй знаменитій програмі формалізації всієї математики фактично закликав взагалі відмовитися від семантики, тобто не від змістовного сенсу, математичних конструкцій. Інакше кажучи, від всякого математичних теорій з фізичною світом.

Уж дуже сміливою і привабливою представлялася багатьом ідея вийти «у відкритий Космос «трансфинитного канторовского «задзеркалля », поза межі звичайних кінцевих натуральних чисел, які, з дуже глибокому зауваженню Леопольда Кронекера, «створив Господь Бог ». Гадаю, найближче до раціональному поясненню настільки нетрадиційного для класичної математики «поведінки «виявився Брауэр, що у кінцевому підсумку вимушений був «діагностувати «всю канторовскую теорію загалом як «патологічний казус історія математики, від якої прийдешні покоління математиків просто надійдуть у жах » .

Однако безсумнівна історична заслуга Кантора у тому, що він перший від спекулятивних міркувань про можливість чи неможливості актуальною нескінченності перейшов до її практичному, логико-математическиму вживання! І це отже, завдяки Кантору поняття актуальною нескінченності вперше стала доступною для суворого, формально-логічного (звісно, себто класичної логіки Аристотеля) і математичного аналізу.

Акупунктура мета-математики

С що ж слід починати такий аналіз? Пригадаємо, що вони наші далекі предки в досконало володіли таким унікальним і ефективнішим терапевтичним методом, що сьогодні називається методом акупунктури. Стисло суть цього методу, як відомо, залежить від практичному використанні наступного універсального, майже кібернетичного принципу. Як-от: у будь-якій складну систему (наприклад, в людині чи соціумі) є звані вузькі місця, чи аттракторы, чи акупунктурні точки, які мають тим унікальним властивістю, навіть найбільш слабкі воздейстия ними можуть викликати суттєві, а нерідко (при неквалифицированном втручанні) і катастрофічні зміни у безпечному стані і поведінці всієї складної системи (живої, технічної, фінансової, соціальної, політичної тощо.) загалом.

Вот цим древнім методом ми бачимо скористаємося. Що акупунктурної точкою сучасної метаматематики? Безсумнівно — знаменита теорема Ґеорга Кантора про несчетности безлічі всіх дійсних чисел. Ця теорема є єдиним «легітимним «приводом, що дозволяє сучасним метаматематикам глибокодумно віщати про істотному відмінності нескінченних множин з їхньої потужності, тобто за кількості які у них елементів (а решті, реально «практикуючим «математикам — покірно слухати і проінвестували щонайменше глибокодумно підтакувати). Уберите-запретите лише одну цю теорему Кантора, й перевели розмову про розрізненні бесконечностей стане безпредметною, а сама метаматематика втратить будь-яку привабливість навіть своїх власних, самих «заплішених «прихильників.

Метаматематика (чи, російською, «теорія докази ») робить те, що вчить наївних математиків, як треба правильно доводити їх математичні теореми.

Как відомо, Кантор довів свою теорему 91-го року вже з майже позаминулого століття. Сучасні метаматематика, математична і аксиоматическая теорія множин жодних знахідок до цього доведенню не додали, але справді використовують цю теорему як «своє наріжного каменю. Проте самі цих напрямів оформилися як самостійні дисципліни приблизно 30-х роках вже ХХ століття, тобто через півстоліття по тому, як Кантор довів свою теорему! Отже, і самі ця теорема, і його доказ немає найменшого стосунку до застрашливим чином «бурбакизированным «способам «міркувань », практикованих сьогодні у рамках згаданих дисциплін.

Остается підозра, що доказ теореми Кантора є суто математичне, але жахливо складне твір, яке доступно далеко ще не кожному володарю червоного математичного диплома. На жаль, насправді, в будь-якого професійного математика можу назвати математичної роботу, у якій, як, наприклад, в теоремі Кантора, використовуються лише лише три поняття елементарної (шкільної, тобто доступною кожному освіченій гуманітарію) математики — поняття натурального числа, дійсного числа і послідовності таких чисел.

Что ж залишається? Можливо канторовское доказ є трактат аж на 100 сторінок, як, наприклад, рішення знаменитої математичної проблеми чотирьох фарб? Або на 1000 сторінках, як знамените доказ Великої теореми Ферма, недавно анонсоване американським математиком Вайлсом? Нічого подібного! Доказ знаменитої теореми Кантора, де побудована вся сучасна метаматематика і аксиоматическая теорія множин, забирає всього… 10 рядків! Не обмовився, десять рядків, написаних мовою полубытовой квазилогики позаминулого, ХІХ століття!

Я гадаю, що Брауэр трохи не закінчив цю думку (див. вище): справді, «прийдешні покоління надійдуть у жах » ., але від «зніяковілості «за своїх математичних попередників, що під гіпнозом цих, лише десяти рядків, аж років і добровільно передали свою, по Гауссу, «королеву всіх наук «в услужение підступному «бурбакизму » … Прямо таки, сказочно-научно-фантастический трилер.

Десять рядків, що математичний мир!

Невозможно повірити, що з 120 років, що минув з опублікування зазначеної 10-строчного докази, два десятка поколінь професійних математиків ми змогли відокремити «насіння від полови » !

Увы, йдеться іде простий історичному недоразумении, а, відповідно до Брауэру, про «патологічному казусі «історія математики. Гадаю, не останню роль тут зіграв доведений абсурдно, особливо у ХХІ столітті, пієтет перед так званим професіоналізмом. Аж по те, що «двічі два «- це моя «територія », де кажу своєю мовою, а «тричі три «- чужа «єпархія », де розмовляють будь-якою іншою мовою, у ній мені вже «на повинен сміти своє враження мати ». Хоч як дивно, небезпечна хвороба є - сьогодні її вже соціальним — наслідком Великої Промисловій революції трьох століть і… сучасного «бурбакизма » .

Один великий учений відкриває цілком абстрактну формулу E=mс2, інший великий учений відкриває новий хімічний елемент U-238, третій, талановитий інженер, винаходить технологію збагачення урану і виготовляє з нього A-Bomb, четвертий, політик, приймають рішення використати цю A-Bomb в «високих і гуманних «цілях, п’ятий, пилот-исполнитель, доставляє цього «Малюка «куди треба й робить з нею те, що наказано. «Гуманітарні «наслідки такої «подарунка «нагадують про собі досі. Хто винуватий? Питання, який немає відповіді! Так, одне із найбільших чинників промислового прогресу — принцип поділу праці заради підвищення його ефективності «в інтересах… «має своїм наслідком спочатку поділ відповідальності, та був — і поділ совісті.

Если не заглиблюватись у соціально-психологічні «нетрі «цього процесу, то… філософи якось вирішили, що теорема Кантора — це професійна математика, тобто зона для філософії заборонна; 99% реально працюючих математиків, то є таких математиків, чиї досягнення у кінцевому підсумку перевіряються числом чи практикою, якось вирішили, що теорема Кантора — це метаматематика, і із тих пір у цю область — «ні ногою ». Отож математика отримала те, що має, — теорему Кантора плюс «суцільна бурбакизация «будь-якого здоровим глуздом як науки, і математичної освіти. Відповідно до думки шановного Володимира Арнольда, якого і це, і ще математики мають із смутком приєднатися.

Однако якщо теорема Кантора неправильна, те, що ж причина такий разючою живучості цього «патологічного казусу »? Тим більше що в метаматематику, як правило, «йдуть «інтелектуали, мають IQ явно вищий за середній рівня? Річ у тім, що 10 рядків канторовского докази містять 7 (сім!) дуже нетривіальних логічних помилок. Переконаний, якби таких помилок було одна-дві, то швидше за все нам більше не довелося сьогодні й обговорювати проблему «бурбакизма ». Але коли його на «площі «до 10 рядків «розміщуються «сім помилок, переплетених в немислимий клубок майже правдоподібних міркувань, — немає нічого надзвичайного у цьому, що ця квазилогическая шарада залишалася нерозгаданою понад сто.

Вот одне з таких помилок. За сім століть до Різдва давньогрецький мудрець Эпименид винайшов, відповідно до Біблії, знаменитий парадокс «Брехуна »: «Я стверджую, що — брехун ». Брехун я? Якщо брехун, то брешу, коли стверджую, що — брехун; отже, я — не брехун. Але якщо не брехун, то я кажу правду, коли стверджую, що — брехун; отже, я — брехун.

Как свідчить безстороння нашу історичну наука, сукупний розум людства, включаючи, природно, та її науку, вже більше 2600 років не може знайти відповіді цей «дитячий «питання: «Отож Європа я, наприкінці кінців, Брехун чи не-Лжец? «.

Коротко і символічно це міркування можна записати так (тут Л= «Брехун »): ЯКЩО «Л », ТЕ «не-Л », але ЯКЩО «не-Л », ТЕ «Л » .

Так ось, виявляється, що доказ Кантора є… половину парадоксу, тобто. твердження типу: ЯКЩО «Л », ТЕ «не-Л » .

У будь-якого нормальних людей, не позбавленого відчуття гумору і «лево-правой «симетрії, відразу виникає запитання: а чи можна цю половину добудувати до повного парадоксу? Виявляється можна! І ми дійшли досить несподіваного для сучасної метаматематики висновку: знамените доказ Кантора просто… триває автором. Якщо ж його завершити, як годиться за законами класичної логіки й класичної математики, ми отримуємо новий парадокс типу «Брехуна » ! Отже, доказ теореми Кантора, а разом з нею і весь сучасна метаматематика… побудовано на «Брехуні «. Дуже сумнівне основу «науки », яка претендує в ролі «теорії докази «сучасної (і навіть всієї класичної) математики. Наче наївні математики досі і її уявлення або не мали про тому, як він слід доводити свої теореми.

В що ж, проте, полягає сенс прийдешньої контрреволюції у математиці?

Любая революція, як ми всі добре знаємо, руйнує лише доступне створено досяжна. Отже, контрреволюція покликана відновити найкраще, що ні встигла зруйнувати остання революція. Революція, що з впровадженням трансфинитных ідей Ґеорга Кантора до тями метаматематиков, окремо не змогла зруйнувати здоровим глуздом класичної математики класичної логіки Аристотеля. От і слід відновити у освяченому тисячолітньої практикою праві служити міцним основою сталого розвитку науку й у ньому заснованої педагогічної і з практичної діяльності людства. Тільки й всього.

Есть іще одна парадокс, пов’язані з теорією Кантора. Звісно, жоден метаматематик, по визначенню, просто більше не допустить подібного «замаху на підвалини «і дивлячись відправить будь-яку роботу, опровергающую теорему Кантора, до кошика. Проте він менш мої основні результати опубліковані, причому над самих пересічних наукових журналах. Математикам (метаматематиков просять не тривожитися — вони мали понад сто, щоб у цій розібратися) я рекомендую мою статтю «Принцип поділу часу й аналіз одного класу квазифинитных правдоподібних міркувань (з прикладу теореми Кантора про несчетности) », опублікованій у журналі «Доповіді РАН «(1997 рік, тому 356, номер 6, стор. 733−735). А філософам — більш популярне, але з менш суворе виклад у роботі «Помилка Ґеорга Кантора », опублікованій у часописі «Питання філософії «(2000 рік, номер 2, стор. 45−48).

Упоминавшаяся вище стаття академіка Арнольда, на жаль, містить одне суттєве недолік. Вона неконструктивна, що у ній міститься критерій, по якому було б можливо відрізнити нормальний, здоровий, природний «абстракціонізм «математики від метаматематического «бурбакизма ». Гадаю, вказати такий критерій неможливо у принципі.

Поэтому я особисто бачу два способу профілактики «левополушарной злочинності «, про якою говорить Арнольд. Перший шлях — радикально-юмористический: викорінення причин, що породжують цей вид «злочинності «. Друга можливість — щонайменше конструктивний: істина мусить бути намальоване і пред’явлена «необмеженому колу «глядачів. Якщо ця справді Істина і якщо мій сусід не дальтонік, ми (і всі навколо) бачитимемо один і той ж. І ніхто за бажання не зможе, прикриваючись камуфляжем «бурбакизма », видати брехня за істину, а порожнє місце — за видатне наукове досягнення.

И у фіналі - давайте думати забувати, що математика все-таки — «королева всіх наук, а теорія чисел — королева математики », в тому числі у тому, що це звичайні натуральні числа «створив Господь Бог, решта — справа рук людських » .

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.