Случайный експеримент, елементарні результати, події

Случайный експеримент, елементарні результати, события.

Случайным (стохастическим) експериментом чи випробуванням називається здійснення будь-якого комплексу умов, що можна практично чи подумки відтворити як завгодно велика кількість раз.

Примеры випадкового експерименту: підкидання монети, вилучення однієї карти з перетасованной колоды.

Явления, що відбуваються при цього комплексу умов, тобто у результаті випадкового експерименту, називаються елементарними наслідками. Вважається, що з проведенні випадкового експерименту реалізується лише з можливих елементарних исходов.

Если монету підкинути одного разу, то елементарними наслідками вважатимуться випадання герба (Р) чи цифри (Ц).

Если випадковим експериментом вважати триразове підкидання монети, то елементарними наслідками вважатимуться следующие:

ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.

Множество всіх елементарних фіналів випадкового експерименту називається простором елементарних фіналів. Будемо позначати простір елементарних фіналів буквою W (омега велика) i-го елементарний результат будемо обозначатьwi (w-омега малая).

Если простір елементарних фіналів містить n елементарних фіналів, то.

W=(w1, w2 ,…, wn).

Для троєкратного підкидання монеты,.

W=(ГГГ, ГГЦ, …ЦЦЦ).

Если випадковий експеримент — підкидання гральною кістки, то W=(1,2,3,4,5,6).

Если W звісно чи счетно, то випадковим подією чи навіть подією називається будь-яке підмножина W.

Множество називається рахунковим, якщо розрив між них і безліччю N натуральних чисел можна встановити взаимно-однозначное соответствие.

Пример лічильного безлічі: безліч можливих значень часу прильоту інопланетян на Землю, якщо час відраховувати із нинішнього моменту і вести з точністю до секунды.

Примеры незліченних множин: безліч точок на заданому відрізку, безліч чисел x, які відповідають нерівності 1< x £ 2.

В разі незліченного безлічі W називатимемо подіями лише підмножини, задовольняють деякому умові (звідси буде вказано позже).

Приведем приклади подій. Нехай впадає гральна кістка, і елементарним результатом вважається выпавшее число очок: W=(1,2,3,4,5,6). A— подія, що полягає у цьому, що випало парне число очок: А=(2,4,6); B— подія, що полягає в тому, що випало число очок, одна з 3-х: B=(3,4,5,6).

Говорят, що результати, із яких складається подія А, сприяють події А.

Події зручно передавати у вигляді малюнка, що називається діаграмою Венна. На малюнку 1 простір елементарних фіналів W зображено в вигляді прямокутника, а безліч елементарних фіналів, благоприятствующих події A, укладено в еліпс. Самі результати з діаграми Венна не зображуються, а інформацію про співвідношенні поміж їхніми множинами міститься у розташуванні кордонів відповідних областей.

Сумою (об'єднанням) двох подій Проте й B (позначається ) називається подія, що складається з всіх елементарних фіналів, що належать по крайнього заходу одного з подій, А чи B. Об'єднання подій, А і У зображено малюнку 2 як заштрихованої области.

Приведем приклад об'єднання подій. Нехай два стрілка стріляють в мішень одночасно, і подію, А у тому, що у мішень потрапляє 1-ї стрілок, а подія B — у цьому, що у мішень потрапляє 2-ї. Подія означає, що мішень вражена, чи, інакше, що у мішень потрапив хоча один із стрелков.

Твором (перетином) подій Проте й B називається подія, що складається з всіх елементарних фіналів, які належать й Проте й B. На малюнку 3 те що подій Проте й B зображено як заштрихованої області. У разі наведеного вище прикладу подія у тому, що у мішень потрапили обидва стрелка.

Разностью АB чи А-B подій Проте й B називається подія, яка полягає із усіх фіналів події А благоприятствующих події B. Діаграма Венна різниці подій Проте й B зображено малюнку 4.

В умовах розглянутої вище прикладу подія АB залежить від тому, перший стрілок потрапив у мішень, а другий промахнулся.

Событие W називається достовірним (воно обов’язково відбувається внаслідок випадкового эксперимента).

Байдуже безліч Æ називається неможливою подією. Подія =WA називається протилежним події А чи доповненням події А.

События Проте й B називаються несовместными, якщо ні фіналів, що належать й О і B, тобто =Æ. На малюнку 5 зображені неспільні події Проте й B.

Подія У будемо називати наслідком події Якщо ж все результати події А сприяють події У. Те, що з, А слід У записується символом АÌВ і змальовується з діаграми Венна оскільки показано малюнку 6.

Непосредственно введеною визначень йдуть рівності: ; A=Æ; ; . Два останніх рівності називаються формулами Де «Моргана.

Контрольные вопросы.

I. У інвестиційному портфелі зібрані акції 5-ти різних корпорацій (5ти видів). Подія, А у тому, що 1-го виду подорожчали. Подія У у тому, що всіх 5ти видів подорожали.

Опишите події 1) АÈВ; 2) АÇВ; 3) АВ; 4) А (АÇВ); 5) АÈ.

II. На майбутні вибори губернатором Н-ской області, може обраний представник партії «лівих», представник партії «правих», представник партії «зелених» або обраний ніхто. Подія, А у тому, що обрано представника партії «лівих». Подія У у тому, що обрано представника партії «правих» чи представник партії «зелёных».

Опишите події 1) АÈВ; 2) АÇВ; 3) : 4); 5) .

III. Інвестор збирається вкласти капітал на звичайнісінькі папірці акції. Йому запропоновані вплинув на вибір акції корпорацій С1, С2, С3, С4. Інвестор може становити портфель з акцій всіх чотирьох корпорацій, може вибрати акції однієї, двох або трьох корпорацій і може взагалі відмовитися запропонованих акцій. Наявність у портфелі тих чи інших акцій визначає результат угоди. Подія, А у тому, що у акціонерному портфелі виявляються акції С1, чи С2, чи й й інші. Подія У у тому, що у портфелі немає акцій С2, ні акцій С3.

а) Опишіть події 1) ; 2) ; 3) АÈ; 4) АÇВ; 5) А.

б) Підрахуйте число фіналів у кожному з наведених вище событий.

Ответы на контрольні вопросы.

1) А; 2) У; 3) акції 1-го виду подорожчали, інші з акцій або подешевшали, або залишилися у колишньої ціни; 4) АВ; 5) W.

1) губернатор оберуть; 2) Æ; 3) якщо губернатор оберуть, він нічого очікувати «лівим»; 4) губернатор відношення не оберуть 5) якщо губернатор оберуть, він буде «левым».

III 1) якщо акції куплені, але серед них не буде ні акцій С1, ні акцій С2. Кількість фіналів — 4. Аби вирішити це завдання зобразимо вибір інвестора як послідовності з 4-х цифр. Перша цифра — 0, якщо акції С1 не куплені і — 1, якщо акції С1 куплені. Друга цифра — 0, якщо акції С2 не куплені, тощо. буд. Вочевидь, що з інвестора всього 16 можливостей вибору. Подія у тому, перші дві цифри у такому послідовності - нулі. Кожна з цих двох останніх цифр то, можливо нулем чи одиницею, отже, можливо 4 исхода.

2) акції будуть куплені у тому числі будуть або акції С2, або акції С3, або й й інші. Кількість фіналів — 12. Це випливає з те, що в описаної вище послідовності хоча тільки з цих двох цифр, котрі посідають друге й третє місце, мусить бути одиницею, тобто, можливі такі комбінації цих цифр: 10, 01, 11. Кожна з цих трьох комбінацій може зустрітися ще з чотирма можливими комбінаціями нулів і одиниць, що стоять першою і четвертому местах.

3) із усіх 16-ти фіналів сюди не входять лише дві результату, зображувані послідовностями, які починаються часткою з цифр 000. Це означає, що якщо акції будуть куплені, то ми не то, можливо ситуації, коли у портфель не ввійдуть ні акції С1, ні акції С2 ні акції С3.

4) акції куплені і можливі лише 2 варіанта складу портфеля: лише акції С1 чи акції С1 і С4. Це означає, що послідовність цифр повинна починатися з трійки 100.

5) А=АÇВ. У справедливості цього рівності переконаєтеся, побудувавши діаграму Венна. Відповідь тут хоча б, що у пункті 4).

Вероятностное простір Випадок кінцевого чи лічильного числа исходов.

Для побудови повної та закінченою теорії випадкового експерименту чи теорії ймовірностей, крім запроваджених вихідних понять випадкового експерименту, елементарного результату, простору елементарних фіналів, події, введемо аксіому (поки для випадку кінцевого чи лічильного простору елементарних исходов).

Каждому елементарного результату wi простору W відповідає деяка неотрицательная числова характеристика Pi шансів його, звана ймовірністю результату w і, причем.

.

(здесь підсумовування ведеться за всім і, котрим виконується умова: wiÎW).

Отсюда слід, що 0 £ Pi £ 1для всіх i.

Вероятность будь-якого події А окреслюється сума ймовірностей всіх елементарних фіналів, благоприятствующих событиюА. Означимо її Р (А).

(*).

Отсюда слід, что.

1) 0 £ P (A) £ 1; 2) P (W)=1; 3) P (Æ)=0.

Будем говорити, що поставлено ймовірнісна простір, якщо поставлено простір елементарних фіналів W і визначено відповідність.

wi ® P (wi) =Pi.

Возникает питання: як висунути зі конкретних умов розв’язуваної завдання ймовірність P (wi) окремих елементарних исходов?

Классическое визначення вероятности.

Вычислять ймовірності P (wi) можна, використовуючи апріорне підхід, який залежить від аналізі специфічні умови такого експерименту (до проведення самого эксперимента).

Возможна ситуація, коли простір елементарних фіналів полягає з кінцевого числа N елементарних фіналів, причому випадковий експеримент такий, що ймовірності здійснення кожного з цих N елементарних фіналів видаються рівними. Приклади таких випадкових експериментів: підкидання симетричній монети, кидання правильної гральною кістки, випадкове вилучення гральною карти з перетасованной колоди. З огляду на введеної аксіоми ймовірність кожного елементарного результату у разі дорівнює . З цього випливає, що й подія, А містить NA елементарних фіналів, то відповідність до визначенням (*).

.

В даному класі ситуацій ймовірність події окреслюється ставлення числа сприятливих фіналів до загальної кількості всіх можливих исходов.

Пример. З набору, що містить 10 однакових на цей вид електроламп, серед яких 4 бракованих, випадково вибирається 5 ламп. Яка ймовірність, що з вибраних ламп будуть 2 бракованные?

Прежде всього, відзначимо, що вибір будь-який п’ятірки ламп має один, і таку ж ймовірність. Усього існує способів скласти таку п’ятірку, тобто випадковий експеримент уже даному випадку має равновероятных исходов.

Сколько з цих фіналів задовольняють умові «в п’ятірці дві браковані лампи », тобто, скільки фіналів належать цікавого для нас событию?

Каждую цікаву для нас п’ятірку можна скласти так: вибрати дві браковані лампи, можна зробити числом способів, рівним . Кожна пара бракованих ламп може зустрітися стільки раз, скількома способами яку можна доповнити трьома не бракованими лампами, тобто раз. Виходить, що кількість п’ятірок, містять дві браковані лампи, одно x.

Отсюда, позначивши потрібну ймовірність через P, получаем:

.

Задачи з решениями.

Задача I. Карти з колоди в 32 аркуша роздано трьом гравцям: А, У і З. Гравець, А отримав 12 карт, серед яких 5 карт червовой масті: туз, король, валет, десятка і дев’ятка. Інші гравці отримали по 10 карт. Знайти можливість, що з гравця, А або в гравця У на руках три решти карти червовой масті: дама, вісімка і семёрка.

Задача II. На виробничому нараді, у якому були присутні 5 учасників, внесли 6 пропозицій з підвищенню ефективності роботи підприємства. Знайти можливість, що з учасників вніс, по крайнього заходу, одне предложение.

Задача III. Колода карток у 32 аркуша раздана 4-му гравцям, кожному по 8 карт. Знайти можливість, що чотири тузи дісталися одному игроку.

Задача IV. 10 літер розрізний абетки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т довільним чином викладаються до кількох. Яка можливість, що буде слово МАТЕМАТИКА?

ЗадачаV. Кинуто 10 гральних кісток. Передбачається, що це комбінації що випали очок равновероятны. Знайти можливість, що випала хоча тільки шестёрка.

Задача VI. Впадає n гральних кісток. Знайти можливість, що у всіх кістках випало один і той кількість очков.

Задача VII. Між двома гравцями проводиться n партій, причому кожна партія закінчується чи виграшем, чи програшем, і різноманітні результати партій равновероятны. Знайти можливість, що певний гравець виграє рівно m партій, 0 £ m £ n.

Ответы. I. 4/19. II. x4/19. III. 7/899.IV.3!2!2!/10! V. 1−510/610. VI. 1/6п-1. VII. .

Решения. I. Загальна кількість фіналів, їх кількість варіантів розподілу решти 20-ти карт між гравцями У і З. Ця кількість одно . Підрахуємо тепер число сприятливих фіналів. Нехай решта три червы дісталися гравцю У. Тоді число варіантів набору з десятьох карт, що містить цю трійку карт одно . Природно, що й гравець У отримав свої 10 карт, решта 10 карт неминуче отримує гравець З. Аналогічний результат виходить, якщо припустити, що три червы опиняються біля гравця З. Отже, відповідь завдання визначається за формулою , і бажана ймовірність дорівнює 4/19.

II. Беручи до уваги, що з умови нам невідомо, які це пропозиції, і цікавим є кількісна сторона справи, вважатимемо, що це спільне число фіналів одно (повна аналогія з комбінаторної завданням про однакових подарунки — Завдання V попередньої теми). Кількість сприятливих фіналів. одно 5. Тоді бажана ймовірність дорівнює 1/42.

III. Загальна кількість варіантів розподілу карт серед 4-х гравців одно . Нехай перший гравець отримав 4 тузи. Тоді число варіантів набору які йому карт одно . Усього варіантів розподілу карт між 4-мя учасниками у тому цьому разі буде одно . Слід врахувати, що чотири тузи можуть потрапити будь-якій з 4-х учасників. Остаточно отримуємо, що бажана ймовірність дорівнює чи 7/899"0,7 786.

IV.10 літер можна розмістити до кількох числом способів, рівним 10! Щоб самому отримати число сприятливих фіналів, потрібно взяти слово МАТЕМАТИКА й переконатися у цьому, що може бути отримати, переставляючи місцями 3 літери А, 2 літери М і 2 літери Т, можна зробити 3!2!2! способами Відповідь завдання: 3!2!2!/10!

V. Загальна кількість фіналів тут одно 610. До сприятливим исходам слід віднести випадання однієї, двох, трьох тощо. буд. шестёрок. Простіше підрахувати число несприятливих фіналів, тобто фіналів, коли випало жодної однієї шестёрки. Їх, очевидно, 510, і число сприятливих фіналів одно 610−510. Бажана ймовірність дорівнює 1−510/610.

VI. Загальна кількість фіналів тут одно 6n. Кількість сприятливих фіналів — 6. Відповідь завдання: 1/6п-1.

VII Кожна партія має дві результату — виграш однієї чи іншого учасника. Для двох партій є 22 = 4 фіналів, для трьох партій — 23=8 фіналів, для n партій — 2N фіналів. У тому числі рівно фіналів відповідають виграшу однієї з гравців m партій. Отже, бажана ймовірність дорівнює .

Задачи для самостійного решения.

1) У урні a білих хусток і b чорних куль (a ³ 2; b ³ 2). З урни без повернення беруться 2 кулі. Знайти можливість, що кулі одного цвета.

2) У урні перебувають a білих хусток і b чорних куль. Кулі без повернення беруться з урни. Знайти можливість, що k-й вийнятий кулю виявився белым.

3) Колода з 32-х карт старанно перетасована. Знайти ймовірність те, що чотири тузи лежать у колоді одна одною, не перемежовуючись іншими картами.

4) n людина розсідаються до кількох у випадковому порядку. Яка ймовірність, що дві певних людини виявляться рядом?

5) З 28 кісток доміно випадково вибираються дві. Знайти можливість, що їх можна скласти «ланцюжок», відповідно до правил игры.

6) З літер розрізний абетки складено слово СТАТИСТИКА. Потім з цих літер випадково без повернення відібрано 5 літер. Знайти ймовірність те, що з відібраних літер можна скласти слово ТАКСИ.

7) Чому дорівнює можливість, що дві кидання трьох різнобарвних гральних кісток дадуть і той ж результат?

8) У ліфт 8-поверхового будинку по першому поверсі ввійшли 5 людина. Кожен їх із рівної ймовірністю може виходити будь-якому з поверхів, починаючи з другого. Знайти можливість, що це п’ятеро вийдуть різними этажах.

9) Знайти можливість, що з довільно вибраних 12-ї людина весь мають народження у різні месяцы.

10) Кишеня лежать 10 ключів, у тому числі до цього замку підходить лише одне, але не відомо, який. З кишені беруться ключі випадково одна одною, й роблять спробу відкрити замок. Знайти можливість, що замок буде відкрито з 7-й попытки.

11) Для зменшення загальної кількості ігор 2N команд спортсменів розбиваються на дві підгрупи. Визначити можливість, дві найбільш сильні команди виявляться: а різних підгрупах, б) лише у підгрупі.

12) Групу, що з шести людина, трьох із які говорять англійською, випадково відбирають 3-х людина. Знайти можливість, що з вибраних людей щонайменше 2-х кажуть по-английски.

Ответы: 1); 2) a/(a+b); 3)29!4!/32≠1/1240; 4)2/п; 5)7/18; 6)2/21 7)1/216; 8); 9)11!/1211; 10)1/10; 11) а)n/(2n-1); б)(n-1)/(2n-1); 12)½.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.