Лекции що переходять у шпори Алгебра і геометрия

1. Матриці. Термінологія і позначення. Матрицею розміру (mxn) називається набір m (n чисел — елементів м-цы Ai, j, записаних як прямокутної таблиці: [pic] Набір аi1, ai2, ain — зв iтой рядком м-цы. Набір a1j, a2j, amj — jтым стовпцем. М-ца розміром 1хп — називається рядком, вектором; м-ца розміром mx1 — стовпцем. Якщо розмірність пхп — матриця називається квадратної. Набір елементів а11, а22, апд утворює головну діагональ м-цы. Набір а1п, а1, п-1, ап1 — побічну діагональ. М-ца все эл-ты, якої = 0 зв. нульової. Квадратна м-ца, елементи головною діагоналі якої рівні 1, проте інші - 0, називається одиничної, обозн.: Є Матриці: А (I, j) і B (I, J) називається рівними, якщо рівні їх розміри та його элеме6нты в однакових позиціях совпадают.

2. Дії з матрицами.

1) Складання Сумою м-ц А (I, j) і B (I, J) зв. м-ца С (I, J) елементи кіт, выч за такою формулою: Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1… n) C=A+B (розмір всіх м-ц: mxn).

2) множення м-цы на число Твір м-цы, А = (Aij) розміру mxn на число З називається матриця: B=(Bij) розміру mxn, елементи кіт, выч. за такою формулою: Вij=С (Aij (I=1…m, j = 1… n) В=С (А віднімання: С=А+(-)В = А-В.

3) множення м-ц А=(Aik), B=(Bkj) — квадратні м-цы порядку n. Твором На У називають м-цу З= (Сij) елементи, кіт выч. за такою формулою: Сij = Ai1(B1j+… Ain (BnJ С=АВ. Можна записати так: [pic] Порядок сомножителей в матриці істотний: АВ не одно ВА Св-ва множення м-цы: (АВ)С=А (ВС) А (В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС Произведение двох прямокутних матриць існує, якщо їх внутрішні розміри (число шпальт першої, і кількість рядків другий) равны.

3. Порядки підсумовування. Транспонирование м-цы Суму М всіх елементів квадратної м-цы, А можна визначити 2 мя способами: 1. Знаходячи суму елементів кожного шпальти і складаючи отримані суми: [pic] 2. Знаходячи суму елементів кожного рядка і складаючи ці суми: [pic] звідси випливає, що [pic] порядок підсумовування в подвійний сумі можна менять.

Матрица [pic] називається транспонованої стосовно м-ці А= [pic] Позначається АТ. При транспонировании рядки переходить до стовпчики, а стовпчики у поетичні рядки і якщо, А розміром mxn, то АТ буде розміром nxm Св-ва операції транспонування. 1 (АТ)Т=А 2 (А+В)Т=АТ+ВТ 3 (СА)Т=САТ (С-число) 4 (АВ)Т=АТ (ВТ.

4. Елементарні перетворення матриці. 1 Переставление двох рядків 2 Множення рядки на нерівний 0 число У 3 Поповнення до рядка матриці інший її рядки, помноженою на число З. Також виробляють елементарні перетворення столбцов.

5. Матриці елементарних перетворень. З елементарними перетвореннями тісно пов’язані квадратні матриці елементарних перетворень. Вони бувають наступних типів: 1 м-цы отримувані з одиничних шляхом перестановки двох будь-яких рядків наприклад м-ца: отримана перестановкою 2 і 4 рядки 2 тип. м-цы отримувані з одиничної заміною діагонального елемента на довільне не нульовий число:

отличается від одиничної елементом У на другий строке.

3 тип відмінні лише одне недиагональным не нульовим елементом: Основне св-во матриць елементарних перетворень Елементарна перетворення довільній матриці рівносильне множенню цієї м-цы на матрицю елементарних преобразований.

Елементарні перетворення рядків м-цы, А 1 множення м-цы На м-цу 1 типу зліва переставляє рядки з номерами I, j 2 Множення м-цы На м-цу другого типу зліва рівносильне множенню j рядки м-цы На число У три поповнення до jстороке м-цы Але її iтой рядки, помноженою на число З рівносильне множенню м-цы На м-цу 3 типу слева.

Елементарні перетворення шпальт м-цы, А 1 множення м-цы На м-цу 1 типу справа переставляє стовпчики з номерами I, j 2 Множення м-цы На м-цу другого типу справа рівносильне множенню j шпальти м-цы На число У три поповнення до j стовпцю м-цы Але її I того шпальти, помноженого на число З рівносильне множенню м-цы На м-цу 3 типу справа.

6. Визначники З кожної квадратної матрицею пов’язане якесь число зв. визначником. Визначником м-цы другого порядка:

[pic] зв число: а11(а22-а12(а21 Визначник м-цы третього порядку: [pic]= =[pic] теж можна восп правилами треугольника:

Предположив, що визначник м-цы порядки менший від n вже відомий, визначник м-цы порядку n дорівнюватиме: D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1 де Мi1 — визначник м-цы порядку n-1, їх кількість називається додатковим мінором. Така м-ца виходить з, А шляхом викреслювання 1 шпальти і j рядки. Це називається розкладанням означника по 1 ому стовпцю. [pic] число: Аij=(-1)I+1(Mij називається алгебраїчним доповненням эл-та аij в определителе [А] з урахуванням алгебр. доп ф-лу перебування означника можна записати так: [pic] Визначник — сума попарних творів эл-тов довільного шпальти на їх алгебраїчний дополнитель.

7. Властивості означника 1 При транспонировании матриці визначник не змінюється: [AT]=[А] звідси випливає, що рядок і стовпець рівноправні з погляду властивостей означника. 2 Лінійність Якщо определителе D I є лінійної комбінацією 2-х строк:

[pic] тоді D=fD'+lD'' де: [pic] [pic] від D лише I-тыми рядками. 3 Антисимметричность якщо визначник У* отримано з опр У перестановкою рядків, то У* = -У 4 Визначник матриці з цими двома однаковими рядками дорівнює 0 5 Множення рядки означника на число рівносильне множенню самого означника цього число 6 визначник з 0 рядком = 0 7 визначник, одне з рядків якого = произв інший рядки на число не однакову 0 = 0. (Кількість виноситься за визначник далі за св-ву 4) 8 Якщо до рядка означника додати іншу його рядок, помноженій на яке або число, то отриманий визначник дорівнюватиме вихідному. 9 Сума твори эл-тов рядки означника на алгебр. доповнення відповідних елементів інший рядки опр = 0.

8. Зворотний матриця Квадратна матриця зв. невырожденной, коли його визначник не дорівнює 0. М-ца У, отримана з невырожд м-цы По правилу: У позицію ij м-цы У поміщається число = алгебраическому доповнення м-цы Aji, эл-та аji в м-ці А. М-ца У зв. союзної чи приєднаної до м-ці Проте й має такими сввами: АВ=ВА=[А]I (I-единичная матриця) Матриця А-1=1/[А]В називається зворотної м-ці А. Звідси випливає рівність: АА-1=I, А-1А=I М-цу А-1 так можна трактувати як вирішення 2х матричних рівнянь АХ=I, ХА=I, де [pic]- невідома матриця. Довільну невырожденную м-цу елементарними перетвореннями рядків можна призвести до одиничної матриці 1 Привести до трикутникове виду 2 Діагональ матриці преобр 2 виду наводиться до рівності одиницям 3 Перетвореннями 3 го типу, додаючи до п-1 рядку останню помноженій на -а1п, -а2п…-ап-1п, наводиться до матриці що має все эл-ты п-ного шпальти, окрім останнього рівні 0 тощо. буд. 2 метод побудови зворотної м-цы шляхом складання розширеній матриці (метод Жордана) 1 складається розширена матриця, приписуючи до матриці А одиничну матрицю I такого ж порядку т. е. отримуємо м-цу (А|I) елементарними преобр рядків м-ца, А наводиться до трикутникове виду, і потім до одиничному, полученаая дома I м-цы м-цы З — є зворотним вихідної матриці А.

15. Поняття пов’язаного і вільного векторів. Розглянемо т Проте й т. У, по що з'єднує їх відтинку можна переміщати у двох напрямах: якщо вважати, А початком, а т. У — концем, одержимо спрямований відрізок АВ, і якщо т. Упочаток, а т. А — кінець, то спрямований відрізок ВА. Спрямований відрізок часто зв. пов’язаними чи закріпленими векторами. Що стосується, коли початкова й кінцева точка збігаються, т. е. А=В, пов’язаний вектор зв. нульовим. Пов’язані вектори АВ і СД рівні, якщо середини відрізків АТ й ЗС збігаються обоз: АВ=СД, відзначимо, у разі, коли т. А, В, С, Д не лежать в одній прямий це рівносильне з того що чотирикутник АВСД — паралелограм. Тому рівні пов’язані в-ры мають рівні довжини. Св-ва пов’язаних в-ров: 1 Кожен пов’язаний в-р дорівнює себе АВ=АВ 2 Якщо АВ=СД, те й СД = АВ 3 Якщо АВ=СД і СД=EF, то AB=EF Від кожної точки можна відкласти пов’язаний в-р рівний вихідному. Вільні в-ры — ті, початкову точку яких можна вибирати довільно. чи, що те ж саме, які можна довільно переносити паралельно самим собі. Вільний в-р однозначно визначається завданням пов’язаного в-ра АВ. Обоз вільні в-ры малими написом і стрілкою згори. Нульвектор обоз 0 зі стрілкою. Якщо заданий в-р чи т. А, сущ рівно 1 т. У, котрим АВ=а. Операція побудови пов’язаного в-ра АВ, на яку виконано це рівність називається відкладання вільного в-ра як від т. А. Пов’язані в-ры, отримані внаслідок операції відкладання рівні між собою. І однакову довжину. Довжина вільного в-ра, а обоз |f|, довжина нуль-в-ра=0, Якщо а=в, те й довжини їх рівні., зворотне не так… 16. Лінійні операції над в-рами 1 складання в-ров Нехай дано в-ры: й у від т. Про відкладемо в-р ОА=а, від отриманої т. А відкладемо в-р АВ=в. Отриманий в результаті в-р ВВ називається сумою векторів й у і обозн: а+в. Складання врів коммутативно: а+в=в+а. Існує дві правила побудови суми: правило трикутник і правило паралелограма. Складання в-ров асоціативно, т. е. для будь-яких в-ров а, з вип рав-во: (а+в)+с=а+(в+с), 2 Множення в-ра на число Вільні в-ра й у зв коллинеарными, якщо що визначають їх пов’язані в-ры лежать на паралельних чи які збігаються прямих. Якщо відкласти коллинеарные вры й у загальної т. Про: ОА=а, ОВ=в, то т. Про, А, У лежатимуть в одній прямий. Можливі 2 випадку: т. Проте й У розташовуються з одного боку від т. Про чи з різні боки. У першому випадку в-ры й у зв однаково спрямованими, у другому — протилежно спрямованими. якщо в-ры мають рівні довжини і однаково спрямовані, всі вони рівні. Твором в-ра але в число З зв в-р в, такий, що 1 довжина його |b|=|C|(|a| 2в-ры й у однаково (протилежно) спрямовані, якщо С>0 (C0 (случайц внутрішнього розподілу) 2 М=А, (= 0 3 М лежить поза Ав, (0, коли з один бік — то (0 L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0 ((кут з-поміж них)= розі поміж їхніми нормальними в-рами n1 ={A1,B1} і n2={A2,B2} звідти випливає, что.

L1|| L2 (n1 || n2(n1 = (n2 A1=(A2, B1=(B2.

L1 (L2 (n1 (n2(n1(n2 =0 ((A1(A2+B1(B2=0 б) прямі задано канонічним уравнением угол з-поміж них дорівнює розі поміж їхніми напрямними векторами: S1={m1,n1} S2{m2,n2} тому: L1|| L2 (S1 || S2.

L1 (L2 (S1 (S2 (S1(S2=0 (m1(m2+n1(n2=0 в) прямі задано ур-ем з кутовим коефіцієнтом L1:= у=к1х+в1 L2:= у=к2х+в2 за кут між прямими починаємо найменший кут який потрібно повернути пряму L1 проти годинниковий стрілки до суміщення з прямою L2 навколо т. перетину прямих. Через (1 і (2 обоз кути нахилу прямих L1 і L2 до осі ОХ Кут між прямими (= (2- (1 [pic] tg (1=k1, tg (2=k2 [pic] L1|| L2 ((1 = (2 ((=0) (k1=k2 L1 (L2 ((=П/2 k2= -1/k1 33. Нормальне рівняння площині. Загальне рівняння площині. Зафіксувавши неку т. Про у просторі становище площині П буде визначено, якщо поставити такі величини: відстань досяжна від початковій т. Про, т. е. довжину р відрізка ВІД, перпендикуляра, опущеного з т. Про на площину П і одиничний в-р n0, |n0|=1, перпендикулярний площині П і спрямований з початковій т. Про до цьому відношенні. Коли поточна т. М рухається по площині її радіус в-р r змінюється отже prn0 OM=p (1) це співвідношення вип кожної т. що належить площині, а не що належить — порушується. (1) являє рівнянням цієї Площині П prn0 OM=r (n0 чи r (n0-p=0 (2) ур-е (2) — нормальне рівняння площини у векторної формі. Радиус-вектор r довільній т. площині зв. її поточним радіус вектором. Введемо у просторі прямокутну Декартову систему координат, помістивши її початок в т. Про, тоді в-ры r і n0 можна записати так: n0={cos (, co (, co (); r={x, y, z} Ур-е (2) набуде вигляду: x (co (+y (cos (+z (cos (-p=0 (3) — нормальне рівняння площини у координатної формі Особливості ур-я (3) 1 Сума квадратів коефіцієнтів при поточних координатах = 1: cos2(+cos2(+cos2(=1 2 вільний член (-р) (0 Щодо змінних x, y, z — ур-е (3) явл. ур-ем 1 ступеня. Будь-яке ур-е 1 ступеня визначає площину Ур-е: Ax+By+Cz+D=0 (4) — рівняння площині загального виду. Кожен ненульовий, перпендикулярний площині вектор зв. нормальним вектором цьому відношенні. В-р n={A, B, C} нормальний в-р площині, заданої ур-ем (4), в такий спосіб коефіцієнти при координатах в ур-е (4) є координатами нормального в-ра цьому відношенні. Всі інші нормальні вектора отримують з в-ра n примножуючи його за будь-яке (0 число. 34. Ур-е площині що проходить через задану точку перпендикулярно заданому напрямку Рівняння площині, що проходить через т. М0, заданої r0={x0,y0,x0}, перпендикулярній в-ру n={A, B, C}строится так: Проведемо радіус в-р r={x, y, z} в довільну т. М цьому відношенні. В-р М0М=rr0 у площині П і отже перпендикулярний в-ру n., тому їх скалярне пр-е = 0 (r-r0)(n=0 (1) Рав-во (1) справедливо всім т. М площині П і порушується якщо М не належить цьому відношенні, цим — (1) — векторное рівняння шуканої площині, в координатної формі висловлюється так: A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)+D=0 35. Дослідження ур-я площині. неповне ур-е площині По виду загального ур-я можна очікувати як лежить площину щодо системи координат OXYZ. Коли б одне із коефіцієнтів загального ур-я = 0, воно зв. неповним. Можливі випадки: 1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О (0,0) задовольняє цьому рівнянню отже пряма проходить через початок координат 2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 — нормальний в-р n={0,B, C} перпендикулярний осі ОХ це означає, що площину паралельна осі ОХ 3 У = 0 П: Aх + Cz +D=0 — нормальний в-р n={А, 0, С} перпендикулярний осі ОY це означає, що площину паралельна осі ЗУ 4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А, B,0} перпендикулярний OZ (П ||OZ площину паралельна осі OZ 5 А=0, C=0 П: By+D=0(y= - D/B (тоді з 2 П||ОХ, з 4 П||OZ отже П||OXZ 6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= - D/C (П||ОХ, П||OY отже П||OXY 7 C=0, В=0 П: Ax+D=0(x= - D/A (П||ОZ, П||OY отже П||OYZ 8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 (z=0(П||ОXY, O (П отже П= OXY 9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 (y=0(П||ОXZ, O (П отже П= OXZ 10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 (x=0(П||ОXY, O (П отже П= OXY 11 A (0, У (0, З (0 П; - не паралельна жодній із осей і перетинає їх. 36. Рівняння площині що проходить через три даний точки Дани М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не що лежать в одній прямий. Нехай М (x, y, z) — точка шуканої площині. r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} і r={x, y, z} - радіус вектори даних точок. З огляду на компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 їх змішане твір = 0, т. е. радіус в-р т. М задовольняє умові: (r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10) та її координати лінійному рівнянню: [pic] (11) ур-е (10) векторное, а ур-е (11) — координатні рівняння шуканої площині. 37. Рівняння площини у відтинках. Представивши загальне ур-е площині при A, B, C, D (0 як: [pic] і поклавши a= - D/A, b = -D/B, з = -D/C, одержимо рівняння площини у відтинках: [pic] Знайдемо координати точок М1, М2, М3 перетину П з осями OX, OY, OZ для М1 маємо [pic] x=a, отже М1(а, 0,0) аналогічно отримуємо: М2(0,в, 0): М3(0,0,с) Значення а, в, с визначають величину відрізків, отсекаемых П на вісях координат. 38. Відстань від точки до площині Нехай М*(x*, y*, z*) — задана точка, xcos (+ycos (+cos (-р=0 — заданий рівняння площині відстань від т. М* до площині П выч. по ф-ле: d=d (M*, П) = |x*cos (+y*cos (+z* co (| (13) позначимо через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos (+y*cos (+z* cos (-p. Якщо т М* тощо. Про -початок координат лежать з різних боків від П, то (>0, і якщо на одному бік, то (0, A22+B22+C22>0 кутом між двома площинами називатимемо кожній із двох суміжних двугранных кутів освічених цими площинами. (у разі паралельності кут з-поміж них дорівнює 0 чи П) із цих двугранных кутів =.