Обчислення координат центру ваги пласкою фігури

Міністерство загального характеру і професійної освіти Російської федерации.

Уральський Державний Технічний Університет — УПИ.

Реферат.

ОБЧИСЛЕННЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРУ ГИРІ ПЛАСКОЮ ФИГУРЫ.

Выполнил:

Студент групи Х-149.

Покровський П.В.

Проверил:

Викладач кафедри ВМ і УМФ.

Пироговская Л. М.

Екатеринбург.

1999.

1. Координати центру тяжести.

Нехай на площині Oxy дана система матеріальних точек.

P1(x1,y1); P2(x2,y2); …, Pn (xn, yn) з масами m1, m2,m3,. .. , mn.

Твори ximi і yimi називаються статичними моментами маси mi щодо осей Oy і Ox.

Означимо через xc і yc координати центру ваги даної системы.

Тоді координати центру ваги описаної матеріальної системи визначаються формулами:

[pic].

[pic].

Ці формули використовуються при знаходженні центрів тяжкості різних лідерів та тел.

2. Центр тяжкості пласкою фигуры.

Нехай дана постать, обмежена лініями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляє собою матеріальну пласку постать. Поверхностною щільність, тобто масу одиниці площі поверхні, вважатимемо постійної і рівної (всім частин фигуры.

Розіб'ємо цю постать прямими x=a, x=x1,. .. , x=xn=b на смужки ширини (x1, (x2,.. ., (xn. Маса кожної смужки дорівнюватиме твору її площі на щільність (. Якщо кожну смужку замінити прямокутником (мал.1) з повним правом (xi і заввишки f2(() — f1((), де ([pic], то маса смужки буде наближено равна.

[pic] (і = 1, 2, …, n).

Наближено центр тяжкості цієї смужки перебуватиме у центрі відповідного прямоугольника:

[pic].

Замінюючи тепер кожну смужку матеріальної точкою, маса якої дорівнює масі відповідної смужки і зосереджена центрі тяжкості цієї смужки, знайдемо близьке значення центру ваги всієї фигуры:

[pic].

Переходячи до межі при [pic], одержимо точні координати центру ваги даної фигуры:

[pic].

Ці формули справедливі для будь-який однорідної (тобто. має постійну щільність переважають у всіх точках) пласкою постаті. Як бачимо, координати центру ваги не залежить від щільності (постаті (у процесі обчислення (сократилось).

3. Координати центру ваги пласкою фигуры.

У попередній главі вказувалося, що координати центру ваги системи матеріальних точок P1, P2,.. ., Pn з масами m1, m2,.. ., mn визначаються по формулам.

[pic].

У межі при [pic] інтегральні суми, які у числителях і знаменателях дробів, перейдуть у подвійні інтеграли, в такий спосіб виходять точні формули для обчислення координат центру ваги пласкою фигуры:

[pic](*).

Ці формули, виведені для пласкою то з поверхневою щільністю 1, залишаються й у постаті, має будь-яку іншу, постійну переважають у всіх точках щільність (.

Якщо ж поверхнева щільність переменна:

[pic].

це були відповідні формули матимуть вид.

[pic].

Выражения.

[pic] и.

[pic] називаються статичними моментами пласкою постаті D щодо осей Oy і Ox.

Інтеграл [pic] висловлює величину маси аналізованої фигуры.

4. Теореми Гульдена.

Теорему 1.

Площа поверхні, отриманої під час обертання дуги пласкою кривою навколо осі, що у площині цієї кривою і котрий перетинає її, дорівнює довжині дуги кривою, помноженою на довжину окружності, описаної центром тяжкості дуги.

Теорему 2.

Обсяг тіла, отриманого під час обертання пласкою постаті навколо осі, не котрий перетинає її й що у площині постаті, дорівнює твору площі цієї фігури на довжину окружності, описаної центром тяжкості фигуры.

II.Примеры.

1).

Умова: Знайти координати центру ваги півкола X2+Y2=a2, розташованої над віссю Ox.

Рішення: Визначимо абсциссу центру ваги: [pic],.

[pic].

Знайдемо тепер ординату центру тяжести:

[pic].

2).

Умова: Визначити координати центру ваги сегмента параболи y2=ax, отсекаемого прямий, х=а (рис. 2).

Рішення: У разі [pic] поэтому.

[pic].

[pic] (оскільки сегмент симетричний щодо осі Ox).

3).

Умова: Визначити координати центру ваги чверті эллипса.

(рис. 3).

[pic] вважаючи, що поверхнева щільність переважають у всіх точках дорівнює 1.

Рішення: По формулам (*) получаем:

[pic].

[pic].

4).

Условие:

Знайти координати центру ваги дуги ланцюгової лінії [pic].

Рішення: 1Так як крива симетрична щодо осі Oy, що його центр тяжкості лежить на жіночих осі Oy, тобто. Xc= 0. Залишається знайти [pic]. Маємо [pic] тоді [pic] довжина дуги.

[pic].

Следовательно,.

[pic].

5).

Условие:

Користуючись теоремою Гульдена знайти координати центру ваги чверті круга.

[pic].

Решение:

При обертанні чверті кола навколо осі Ой одержимо полушар, обсяг якого дорівнює [pic].

Відповідно до другий теоремі Гульдена, [pic] Звідси [pic] Центр тяжкості чверті кола лежить на жіночих осі симетрії, тобто. на бісектрисі I координатного кута, тому [pic].

III. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Данко П. Е., Попов О. Г., Кожевникова Т. Я. «Вища математика в вправах та військово-політичні завдання», частина 2, «Вищу школу», Москва, 1999.

2. Піскунов М.С. «Диференціальний і інтегральне обчислення для втузів», тому 2, «Наука», Москва, 1965.