Опуклість та гнучкість функції.
Екстремуми функції.
Необхідна та достатні умови екстремуму.
Метод найменших квадратів (реферат)
Ця функція визначена і має неперервні всі частини похідні першого та другого порядків в R2. Її частинні похідні першого порядку мають вигляд f x ' (x, y) = 3×2 — 12 — f y ' (x, y) = 6 y 2 — 6. Точка простору R2, в якій існують обидві частинні похідні якоїсь функції двох змінних, кожна з яких дорівнює нулю, називається стаціонарною для цієї функції. Теорема (достатні умови екстремуму… Читати ще >
Опуклість та гнучкість функції. Екстремуми функції. Необхідна та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат З дисципліни «Вища математика» .
Розділ: 4 «Функції багатьох змінних» .
На тему:
" Опуклість та гнучкість функції. Екстремуми функції. Необхідна та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів" .
План.
1.Найбільше та найменше значення функцій у заданій області.
Контрольні запитання.
1.Що називається екстремумом функції.
2.Яка необхідна умова екстремуму функції.
3.Яка точка називається стаціонарною.
4.Які достатні умови екстремуму функції.
Література.
1.Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. — К.: Видавничий центр «Академія», 2002. — 432с.
Означення. Нехай функція f (x-y) визначена в деякому околі точки (a, b).Точка (a, b) називається точкою мінімуму (максимумом) цієї функції в точці (a-b), якщо існує такий окіл точки (a-b), що для всіх точок (x-y) з цього околу, відмінних від точки (a-b), виконується нерівність f (a-b)<f (x-y)(f (a-b)<f (x-y)).
Точки мінімуму і максимуму функції називають її точками екстрему, а максимум та мінімум функції в точці - її екстремумом у цій точці.
Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо точка (a-b) є точкою екстремуму функції f (x-y) і якщо в цій точці існують частинні похідні функції по змінних x та y, то ці похідні дорівнюють 0: , .
Доведемо, наприклад, що . Для доведення зафіксуємо значення змінної y, поклавши y=b. Дістанемо функцію z=f (x, b) однієї змінної х, що має в точці х=а екстремум і похідну, яка є частиною похідної . Згідно з теоремою Тейлора ця похідна функції однієї змінної дорівнює 0. Таким чином, . Рівність встановлюється аналогічно.
Точка простору R2, в якій існують обидві частинні похідні якоїсь функції двох змінних, кожна з яких дорівнює нулю, називається стаціонарною для цієї функції.
Теорема стверджує, що всі точки екстремуму функції двох змінних, яка має частинні похідні по обох змінних в деякій області простору R2, утворюють підмножину множини її стаціонарних точок.
Теорема (достатні умови екстремуму). Нехай функція f (x-y) в деякому околі своєї стаціонарної точки (a-b) має неперервні в цій частині похідні другого порядку.
Якщо , то точка (a-b) є точкою екстремуму функції f (x-y), при чому точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо . Якщо ж , то точка (a-b) не є точкою екстремуму функції f (x-y).
Приклад:
Дослідити на екстремум функції .
Ця функція визначена і має неперервні всі частини похідні першого та другого порядків в R2. Її частинні похідні першого порядку мають вигляд .
Стаціонарні точки функції визначаємо з системи.
, яка рівносильна системі .
Отже, досліджувана функція має чотири стаціонарні точки: (-2−1), (2—1), (-2—1),(2−1). Знаходимо частинні похідні другого порядку:
.
Обчисливши значення.
.
Дістанемо.
.
Таким чином, точки (-2—1),(2−1) є точками екстремуму заданої функції. Оскільки точка (-2—1) є точкою максимуму функції , а точка (2−1) — точкою мінімуму. Залишилося знайти екстремуми: максимум функції f (x-y) у точці (-2—1) становить f (-2,-1)=21, а мінімум у точці (2−1) — f (2,1)=-19.