Шпора з математики

Формулы сокр. множення і розкладання на множники: (a (b)(=a ((2ab+b ((a (b)(=a ((3a (b+3ab ((b (a (-b (=(a+b)(a-b) a ((b (=(a (b)(a (?ab+b (), (a+b)(=a (+b (+3ab (a+b) (a-b)(=a (-b (-3ab (a-b) xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a (xn-3+…+an-1) ax (+bx+c=a (x-x1)(x-x2) де x1 і x2 (коріння рівняння ax (+bx+c=0.

Степени і коріння: ap (ag = ap+g ap: ag=a p-g (ap)g=a pg ap /bp = (a/b)p ap (bp = abp a0=1; a1=a a-p = 1/a p (a =b => bp=a p (ap (b = p (ab (a; a (0.

____.

/ __ _ p (g (a = pg (a.

___ __ pk (agk = p (ag p ____.

/ a p (a / ((= (((((b p (b a 1/p = p (a p (ag = ag/p.

Квадратное рівняння ax (+bx+c=0; (a (0) x1,2= (-b ((D)/2a; D=b (-4ac D>0(x1(x2 ;D=0(x1=x2 D ab = x; a>0,a (0 a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0 loga x = b; x = ab loga b = 1/(log b a) logaxy = logax + loga y loga x/y = loga x — loga y loga xk =k loga x (x >0) logak x =1/k loga x loga x = (logc x)/(logca); c>0,c (1 logbx = (logax)/(logab).

Прогрессии Арифметическая an = a1 +d (n-1) Sn = ((2a1+d (n-1))/2)n Геометрична bn = bn-1 (q b2n = bn-1(bn+1 bn = b1(qn-1 Sn = b1 (1- qn)/(1-q) P. S= b1/(1-q).

Тригонометрия. sin x = a/c co x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = co x/sin x sin ((-() = sin (sin ((/2 -() = co (co ((/2 -() = sin (co ((+ 2(k) = co (sin ((+ 2(k) = sin (tg ((+ (k) = tg (ctg ((+ (k) = ctg (sin ((+ co ((=1 ctg (= co (/ sin (, (((n, n (Z tg ((ctg (= 1, ((((n)/2, n (Z 1+tg ((= 1/cos ((, ((((2n+1)/2 1+ ctg ((=1/sin ((, (((n Формули складання: sin (x+y) = sin x co y + co x sin y sin (x-y) = sin x co y — co x sin y co (x+y) = co x co y — sin x sin y co (x-y) = co x co y + sin x sin y tg (x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y) x, y, x + y ((/2 + (n tg (x-y) = (tg x — tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x — y ((/2 + (n Формули подвійного аргументу. sin 2(= 2sin (co (co 2(= co ((- sin ((= 2 co ((- 1 = = 1−2 sin ((tg 2(= (2 tg ()/ (1-tg (() 1+ co (= 2 co ((/2 1-cos (= 2 sin ((/2 tg (= (2 tg ((/2))/(1-tg (((/2)) Ф-лы половинного аргументу. sin ((/2 = (1 — co ()/2 cos ((/2 = (1 + cos ()/2 tg (/2 = sin (/(1 + co () = (1-cos ()/sin ((((+ 2(n, n (Z Ф-лы перетворення цифру произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) co ((x-y)/2) sin x — sin y = 2 co ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) co x + co y = 2cos (x+y)/2 co (x-y)/2 co x — co y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2 sin (x+y) tg x + tg y = ————— co x co y sin (x — y) tg x — tgy = ————— co x co y Формули преобр. произв. сумою sin x sin y = ((co (x-y) — co (x+y)) co x co y = ((co (x-y)+ co (x+y)) sin x co y = ((sin (x-y)+ sin (x+y)).

Соотнош. між ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) co x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg (x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2x) sin ((= 1/(1+ctg (() = tg ((/(1+tg (() co ((= 1/(1+tg (() = ctg ((/ (1+ctg (() ctg2(= (ctg ((-1)/ 2ctg (sin3(= 3sin (-4sin ((= 3cos ((sin (-sin ((cos3(= 4cos ((-3 co (= = cos ((-3cos (sin ((tg3(= (3tg (-tg (()/(1−3tg (() ctg3(= (ctg ((-3ctg ()/(3ctg ((-1) sin (/2 = ((((1-cos ()/2) co (/2 = ((((1+cos ()/2) tg (/2 = ((((1-cos ()/(1+cos ())= sin (/(1+cos ()=(1-cos ()/sin (ctg (/2 = ((((1+cos ()/(1-cos ())= sin (/(1-cos ()= (1+cos ()/sin (.

sin (arcsin () = (co (arccos () = (tg (arctg () = (ctg (arcctg () = (arcsin (sin () = (; (([-(/2; (/2] arccos (cos () = (; (([0; (] arctg (tg () = (; (([-(/2; (/2] arcctg (ctg () = (; (([ 0; (] arcsin (sin ()= 1)(- 2(k; (([-(/2 +2(k;(/2+2(k] 2) (2k+1)(- (; (([(/2+2(k;3(/2+2(k] arccos (co () = 1) (-2(k; (([2(k;(2k+1)(] 2) 2(k-(; (([(2k-1)(; 2(k] arctg (tg ()= (-(k (((-(/2 +(k;(/2+(k) arcctg (ctg () = (-(k ((((k; (k+1)() arcsin (= -arcsin (-()= (/2-arccos (= = arctg (/((1-(() arccos (= (-arccos (-()=(/2-arcsin (= = arc ctg (/((1-(() arctg (=-arctg (-() = (/2 -arcctg (= = arcsin (/((1+(() arc ctg (= (-arc cctg (-() = = arc co (/((1-(() arctg (= arc ctg1/(= = arcsin (/((1+(()= arccos1/((1+(() arcsin (+ arccos = (/2 arcctg (+ arctg (= (/2 Тригонометрические рівняння sin x = m; |m| (1 x = (-1)n arcsin m + (k, k (Z sin x =1 sin x = 0 x = (/2 + 2(k x = (k sin x = -1 x = -(/2 + 2 (k co x = m; |m| (1 x = (arccos m + 2(k co x = 1 co x = 0 x = 2(k x = (/2+(k co x = -1 x = (+ 2(k tg x = m x = arctg m + (k ctg x = m x = arcctg m +(k sin x/2 = 2t/(1+t2); t — tg co x/2 = (1-t ()/(1+t () Показові рівняння. Нерівності: Якщо af (x)>(1, то знак не меняеться. 2) a (1, то: f (x) >0.

((x)>0 f (x)>((x) 2. 00 f (x) 0 f (x) >0 f (x) (1 Тригонометрія: 1. Розпад на множники: sin 2x — (3 co x = 0 2sin x co x -(3 co x = 0 co x (2 sin x — (3) = 0 … 2. Рішення заміною … 3. sin (x — sin 2x + 3 co (x =2 sin (x — 2 sin x co x + 3 co (x = 2 sin (x + co (x Далі пишеться якщо sin x = 0, те й co x = 0, а таке неможливо, => можна поділити co x.

Тригонометрические нер-ва: sin ((m 2(k+(1 ((((2+ 2(k 2(k+(2 (((((1+2()+ 2(k Приклад: I co ((/8+x) < (3/2 (k+ 5(/6< (/8 +x< 7(/6 + 2(k 2(k+ 17(/24 < x< (/24+2(k;;;; II sin ((½ 2(k +5(/6 (((13(/6 + 2(k co (((() m 2(k + (1 < (< (2+2 (k 2(k+(2< (< ((1+2() + 2(k co ((- (2/2 2(k+5(/4 (((11(/4 +2(k tg (((() m (k+ arctg m (((arctg m + (k ctg ((() m (k+arcctg m < (< (+(k.

Производная: (xn)' = n (xn-1 (ax)' = ax (ln a (lg ax)'= 1/(x (ln a) (sin x)' = co x (co x)' = -sin x (tg x)' = 1/cos (x (ctg x)' = - 1/sin (x (arcsin x)' = 1/ ((1-x () (arccos x)' = - 1/ ((1-x () (arctg x)' = 1/ ((1+x () (arcctg x)' = - 1/ ((1+x () Св-ва: (u (v)' = u'(v + u (v' (u/v)' = (u'v — uv')/ v (Рівняння дотичній до граф. y = f (x0)+ f '(x0)(x-x0) рівняння до дотичній до графіка у точці x 1. Знайти похідну 2. Кутовий коофициент k = = похідна у цій точці x 3. Підставимо X0, f (x0), f ‘ (x0), висловимо х Интегралы: (xn dx = xn+1/(n+1) + з (ax dx = ax/ln a + з (ex dx = ex + з (co x dx = sin x + co (sin x dx = - co x + з (1/x dx = ln|x| + з (1/cos (x = tg x + з (1/sin (x = - ctg x + з (1/((1-x () dx = arcsin x +з (1/((1-x () dx = - arccos x +з (1/1+ x (dx = arctg x + з (1/1+ x (dx = - arcctg x + c.

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрія Трикутники [pic] (+ (+ (=180 Теорему синусів a (= b (+c (- 2bc co (b (= a (+c (- 2ac co (з (= a (+ b (- 2ab co (Медіана поділи треуг. на два рівновеликих. Медіана ділить противопол. бік навпіл. Бісектриса — кут. Висота вихоплює ін. бік під прямим кутом. Формула Герона: p=((a+b+c).

_____________ P. S = (p (p-a)(p-b)(p-c) P. S = (ab sin (Sравн.=(a ((3)/4 P. S = bh/2 S=abc/4R S=pr Трапеція. [pic].

S = (a+b)/2(h Коло [pic] P. S= (R (Sсектора=((R (()/360 Стереометрія Параллепипед V=Sосн (Р Прямокутний V=abc Піраміда V =1/3Sосн.(H Sполн.= Sбок.+ Sосн. Усічена :

H. _____ V = 3 (S1+S2+(S1S2) S1 і S2 — площі осн. Sполн.=Sбок.+S1+S2 Конус V=1/3 (R (H Sбок. =(Rl Sбок.= (R (R+1) Урізаний Sбок.= (l (R1+R2) V=1/3(H (R12+R1R2+R22) Призма V=Sосн.(H пряма: Sбок.=Pосн.(H Sполн.=Sбок+2Sосн. похила: Sбок.=Pпс (a V = Sпс (a, абік. ребро. Pпс — периметр Sпс — пл. перпенд. перерізу Циліндр. V=(R (H; Sбок.= 2(RH Sполн.=2(R (H+R) Sбок.= 2(RH Сфера і кулю. V = 4/3 (R (- кулю P. S = 4(R (- сфера Кульової сектор V = 2/3 (R (H H — висота сегм. Кульової сегмент V=(H ((R-H/3) S=2(RH.

|гр| | | | | | | | | |120|135| |18| |пекло| | | | |0(|30|45|60|90|(|(| |0(| | | | | | | |(|(|(|(| | | | | | |-(|-(/|-(/|-(/| |(/|(/|(/|(/|2(/|3(/|3(/| | |(|/2|3 |4 |6 |0 |6 |4 |3 |2 |3 |4 |6 |(| |si| |-(3|-(2|- (| | |(2|(3| | | | -| | |n (|-1|/2 |/2 | |0 |(|/2|/2|1 | | |(|0 | |з| | | | | |(3|(2| | | - |-(2|- | | |p.s (| | | | |1 |/2|/2|(|0 |(|/2 |(3/|-1| | | | | | | | | | | | | |2 | | |tg| | | |-1/| |1/| | | | | | | | |(|(|-(3|-1 |(3 |0 |(3|1 |(3|(|-(3|-1 | |0 | |ct| | | | | | | |1/| |-1/| | | | |g (| | | | |—|(3|1 |(3|0 |(3 |-1 | |—| | | | | | |- | | | | | | | | |.

|n|2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 | |2|4 |9 |16|25 |36 |49 |64 |81 | |3|8 |27|64|125|216|343|512|729| |4|16|81|25|625|129|240|409|656| | | | |6 | |6 |1 |6 |1 | |5|32|24|10|312|777|168|327|590| | | |3 |24|5 |6 |07 |68 |49 | |6|64|72|40|156|466| | | |9 |96|25 |56 | |7|12|21| | |8 |81| |8|25|65| | |6 |61|.

| |-(|(-(|(+(|(/2|(/2|3(/2|3(/2| | | | | |-(|+(|- (|+(| |si|-si|sin|-si|cos|cos|-cos|-cos| |n |n (|(|n (|(|(|(|(| |co|cos|-co|-co|sin|-si|-sin|sin (| |p.s |(|p.s (|p.s (|(|n (|(| | |tg|-tg|-tg|tg (|ctg|-ct|ctg (|-ctg| | |(|(| |(|g (| |(| |ct|-ct|-ct|ctg|tg (|-tg|tg (|-tg (| |g |g (|g (|(| |(| | |.

Файл вигаданий і зроблено Денисом Павлюком (З). Комерційне поширення небажане без моєї згоди і забороняється. Усі попередні помилки виправлені. Успішно тестировано в МАІ. ([email protected], [email protected], [email protected], 2:5020/975.944@Fidonet.