Теорія імовірностей та математична статистика (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Де y 1 — найменше значення варіаційного ряду (2),. Числові характеристики центральної тенденції. Статистики локації(центральної тенденції). Нехай n 1 попадає на z 1, …, n r попадає на z r. Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,. Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,. Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls… Читати ще >

Теорія імовірностей та математична статистика (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Індивідуальна робота на тему:

" Теорія імовірностей та математична статистика"

Виконав: студенти групи ПМП-32.

Теоретичні відомості:

Набір експерементальних даних будем позначати x $_{(1)}$ , …, x $_{(n)}$ . Однорідний набір спостережень називається вибіркою з генеральної сукупності. Генеральна сукупність — універсальна множина значень (проявів) цього явища. Кількість елементів вибірки називають об'ємом вибірки. Вибіркові значення називають ще й статистичним розподілом, якщо їх спеціальним чином перетворити. З однієї генеральної сукупності можна отримати різні вибірки, тому вибірку називають статистичною змінною, які в свою чергу бувають: дискретними або наперервними.

Весь аналітичний процес можна поділити на побудову варіаційного ряду та табличне, графічне, аналітичне представлення цієї вибірки.

Варіаційним рядом вибірки x $_{(1)}$ , …, x $_{(n)}$ (1) називається сукупність всіх елементів вибірки розміщених у порядку неспадання величин їх значень.

Нехай x $_{_{1}}$ , …, x $_{n}$ (2) — варіаційний ряд вибірки (1), тоді можна побудувати частотну таблицю (3):

X.	y $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ .	…	y $_{m}$ .
V.	n $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ .	…	n $_{m}$ .

де y $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ — найменше значення варіаційного ряду (2),.

n $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ — кількість його повторень, і т.д.

Якщо випадкові змінні неперервні, то діапазон зміни

вибіркових значень x $_{n}$ — x $_{_{1}}$ розбивається на r груп $\frac{x_{n} - x_{1}}{r}$ ,.

де.

z $_{1}$ — середина першого інтервала.

z $_{r}$ — середина r-того інтервала.

r вибирається з умови: 2 $^{r - 1}$ $n <= 2^{r}$ .

Нехай n $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ попадає на z $_{1}$ , …, n $_{r}$ попадає на z $_{r}$ .

Тоді частотна таблиця набуде вигляду:

Z.	z $_{1}$ .	…	z $_{r}$ .
V.	n $_{1}$ .	…	n $_{r}$ .

Де n $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ + … + n $_{r}$ =n.

Найчастіше для графічного зображення вибірки використовують:

1)Графік (діаграма частот).
2)Полігон частот.
3)Гістрограма.

Нехай маєм частотну таблицю (3). Діаграмою частот називається сукупність вертикальних відрізків поставлених в точках y $_{1}$ , …, y $_{m}$ , з довжиною n $\begin{matrix} 1 \\ {\begin{matrix} \end{matrix}}_{} \end{matrix}$ , …, n $_{m}$ .

Полігон частот, це ламана лінія, що зєднує точки з кординатами (x $_{i}$ , n $_{i}$ ).

Гістрограма — сукупність прямокутників, центри основ яких лежать в точках z $_{i}$ (якщо маєм вибірку з неперервної генеральної сукупності) і x $_{i}$ (якщо маєм вибірку з дескретної генеральної сукупності).

Аналітично статистичні дані представляються як правило емпіричною функцією розподілу або певними статистиками. Нехай маєм частотну таблицю (3), то емпіричною функцією називається:

F $_{n}$ = ${\begin{matrix} 0, x < x_{1} \\ \frac{k}{n}, x_{k} <= x <= x_{k + 1} \\ 1, x >= x_{n} \end{matrix}$ (6).

де к — кількість елементів вибірки, що неперевищують x.

Числові характеристики статистичного матеріалу поділяються на:

1)Статистики локації(центральної тенденції).
2)Розсіювання.
3)Числові характеристики форми.

Числові характеристики центральної тенденції.

Медіана — той елемент вибірки (якщо елементів непарна кількість) який поділяє вибірку по об'єму на дві рівні частини. Якщо елементів є парна кількість то медіана є проміжком.

Мода — той елемент частотної таблиці, який має найбільшу частоту, тобто найчастіше зустрічається у вибірці.

Середнє, якщо випадкові змінні дискретні і (3) — її частотна таблиця обчислюється за формулою: $\overset{}{x}$ = $\frac{1}{n}_{i = 1}^{n} x_{i}$ або $\overset{}{x}$ = $\frac{1}{n}_{i = 1}^{m} (n_{i} y_{i})$ .

Числові характеристики розсіювання.

Варіанса: S $^{2} = \frac{1}{n - 1}_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overset{}{x})^{2}$ .

Середньоквадратичне відхилення: S= $\sqrt{S^{2}}$ .

Варіація (мінливість): V= $\frac{S}{\overset{}{x}}$ .

Розмахом: =x $_{n}$ -x $_{1}$ .

Приклад роботи програми:

Дискрентна вибірка 1,0,-1,2,3,2,3,-1,0,5,4. Результат:

Графіки:

Текст програми (Object Pascal Delphi 4 з застосуванням технології ActiveX):

unit main;

interface.

uses.

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,.

Grids, DBGrids, StdCtrls;

type.

TForm1 = class (TForm).

StringGrid1: TStringGrid;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

ComboBox3: TComboBox;

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

procedure Button2Click (Sender: TObject);

procedure Button1Click (Sender: TObject);

private.

{ Private declarations }.

public.

{ Public declarations }.

end;

var.

Form1: TForm1-n:integertyp:boolean;

implementation.

uses Unit2;

{$R *.DFM}.

procedure TForm1. Button2Click (Sender: TObject);

begin.

close;

end;

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

var i: integer;

begin.

i:=30-n:=30;

while (StringGrid1.Cells[i, 0]='') do begin.

n:=n-1;

i:=i-1;

end;

typ:=true;

if Combobox3. ItemIndex=1 then typ:=false;

Form1.Visible:=false;

Form2.Showmodal;

end;

end.

unit Unit2;

interface.

uses.

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,.

StdCtrls, Grids;

type.

TForm2 = class (TForm).

StringGrid1: TStringGrid;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit5: TEdit;

Label1: TLabel;

Button3: TButton;

Label2: TLabel;

Edit4: TEdit;

Label3: TLabel;

Edit6: TEdit;

Memo1: TMemo;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Edit8: TEdit;

Label8: TLabel;

Edit9: TEdit;

Label9: TLabel;

Edit10: TEdit;

Label10: TLabel;

Edit11: TEdit;

Label4: TLabel;

Edit7: TEdit;

Label11: TLabel;

Edit12: TEdit;

Label12: TLabel;

Edit13: TEdit;

Label13: TLabel;

Edit14: TEdit;

Label14: TLabel;

Edit15: TEdit;

procedure Button2Click (Sender: TObject);

procedure Button1Click (Sender: TObject);

procedure FormActivate (Sender: TObject);

procedure Button3Click (Sender: TObject);

private.

{ Private declarations }.

public.

{ Public declarations }.

end;

var.

Form2: TForm2- xi, ni, wi: variant-m, r: integer-sx, s, ser:double;

implementation.

uses main, Unit3;

{$R *.DFM}.

procedure TForm2. Button2Click (Sender: TObject);

begin.

halt;

end;

procedure TForm2. Button1Click (Sender: TObject);

begin.

Form2.Close;

Form1.Visible:=true;

end;

procedure TForm2. FormActivate (Sender: TObject);

var sn, i, j, k: integer-p, w, v, t: variant-dx, tx: double;

s1,s2,s3:string;

begin.

v := VarArrayCreate ([0,n], varDouble);

p := VarArrayCreate ([0,n], varDouble);

m:=0;

for i:=1 to n do begin.

v[i]: =Form1.StringGrid1.Cells[i, 0];

p[i]: =Form1.StringGrid1.Cells[i, 0];

end;

{sorting}.

k:=n;

while k<>0 do begin.

for i:=n-1 downto 1 do.

if v[i]>v[i+1] then begin.

t:=v[i]- v[i]: =v[i+1]- v[i+1]: =t;

end;

k:=k-1;

end;

{об'єм вибірки}.

xi:=n;

edit5.Text:=xi;

if typ=true then begin.

w := VarArrayCreate ([0,n], varDouble);

for i:=1 to n do.

w[i]: =Form1.StringGrid1.Cells[i, 0];

{об'єм ряду вибірки}.

for i:=1 to n do.

if w[i]<>-666 then begin.

m:=m+1;

if i<>n then.

for j:=i+1 to n do.

if w[i]=w[j] then.

w[j]: =-666;

end;

xi := VarArrayCreate ([0,m], varDouble);

ni := VarArrayCreate ([0,m], varInteger);

wi := VarArrayCreate ([0,m], varDouble);

sn:=0;

sx:=0;

k:=0;

for i:=1 to n do.

if v[i]<>-666 then begin.

k:=k+1;

xi[k]: =v[i];

ni[k]: =1;

if i<>n then.

for j:=i+1 to n do.

if xi[k]=v[j] then begin.

ni[k]: =ni[k]+1;

v[j]: =-666;

end;

sn:=0-sx:=0;

for i:=1 to m do begin.

sn:=sn+ni[i];

sx:=sx+xi[i];

end;

s:=sx/m;

for i:=1 to m do.

wi[i]: =ni[i]/sn;

{moda}.

t:=ni[1];

for i:=1 to m do.

if t<=ni[i] then begin.

t:=ni[i];

k:=i;

end;

Edit4.text:='{';

for i:=1 to m do.

if t=ni[i] then begin.

w:=xi[i]-s1:=w;

Edit4.text:=Edit4.Text + s1;

if k<>i then Edit4. Text:=Edit4.Text + ','.

else Edit4. Text:=Edit4.Text + '}';

end;

{mediana}.

if m mod 2<>0 then begin.

t:=(m+1)/2- t:=xi[t];

Edit6.Text:=t;

end.

else begin.

t:=m/2-k:=t;

t:=xi[k];

s1:=t;

t:=xi[k+1];

s2:=t;

Edit6.Text:='[' + s1 + ',' + s2 + ']';

end;

{Середнє}.

ser:=0;

for i:=1 to n do.

ser:=ser+p[i];

ser:=ser/n;

t:=serEdit15.Text:=t;

{Deviacia}.

tx:=0;

for i:=1 to n do.

tx:=tx+(p[i]-ser)*(p[i]-ser);

t:=tx;

Edit8.Text:=t;

{Variansa}.

if n<>1 then sx:=tx/(n-1)-t:=sx;

Edit9.Text:=t;

sx:=0;

{momenty}.

for i:=1 to n do {1}.

sx:=sx+p[i]-ser;

sx:=sx/n;

t:=sx;

Edit7.Text:=t;

tx:=tx/n-t:=tx- {2}.

Edit12.Text:=t;

sx:=0;

for i:=1 to n do {3}.

sx:=sx+(p[i]-ser)*(p[i]-ser)*(p[i]-ser);

sx:=sx/n;

t:=sx;

Edit13.Text:=t;

{Assymetrija}.

if tx<>0 then sx:=sx/(sqrt (tx)*sqrt (tx)*sqrt (tx));

t:=sx;

Edit10.Text:=t;

sx:=0;

for i:=1 to n do {4}.

sx:=sx+(p[i]-ser)*(p[i]-ser)*(p[i]-ser)*(p[i]-ser);

sx:=sx/n;

t:=sx;

Edit14.Text:=t;

{Eksces}.

if tx<>0 then sx:=sx/(tx*tx)-3;

t:=tx;

Edit11.Text:=t;

{rozpodil function}.

s2:=xi[1]- sx:=0;

Memo1.lines[0]: ='0, x<' + s2;

for i:=1 to m-1 do begin.

sx:=sx+wi[i];

t:=sx;

s1:=t;

s2:=xi[i];

s3:=xi[i+1];

Memo1.lines[i]: =s1 + ', ' + s2 + '=<x<' + s3;

end;

s2:=xi[m];

Memo1.lines[m]: ='1, x>=' + s2;

for i:=1 to m do begin.

Form2.StringGrid1.Cells[i, 0]: =xi[i];

Form2.StringGrid1.Cells[i, 1]: =ni[i];

Form2.StringGrid1.Cells[i, 2]: =wi[i];

end;

end.

else begin.

sx:=v[n]-v[1];

i:=1;

r:=1;

while i<n do begin.

i:=2*i;

r:=r+1;

end;

sx:=sx/(r-1)-0.2;

xi := VarArrayCreate ([0,r-1], varDouble);

ni := VarArrayCreate ([0,r-1], varInteger);

wi := VarArrayCreate ([0,r-1], varDouble);

w := VarArrayCreate ([0,r-1], varVariant);

xi[1]: =v[1]-0.2- s1:=xi[1]-s2:=v[1]+sx;

Form2.StringGrid1.Cells[1,0]: ='[' + s1 + '-' + s2 + ')';

xi[r-1]: =v[n]-sxs1:=xi[r-1];

s2:=v[n]+0.2;

Form2.StringGrid1.Cells[r-1,0]:='[' + s1 + '-' + s2 + ']';

for i:=2 to r-2 do begin.

xi[i]: =xi[i-1]+sxs1:=xi[i]- s2:=xi[i]+sx;

Form2.StringGrid1.Cells[i, 0]: ='[' + s1 + '-' + s2 + ']';

end;

i:=1-j:=1;

while i<n do begin.

if v[i]<xi[j]+sx then begin.

ni[j]: =ni[j]+1;

i:=i+1;

end.

else if j<=r-1 then j:=j+1;

end;

ni[r-1]: =ni[r-1]+1;

sn:=0;

for i:=1 to r-1 do begin.

sn:=sn+ni[i];

Form2.StringGrid1.Cells[i, 1]:= ni[i];

end;

for i:=1 to r-1 do begin.

w[i]: =Form2.StringGrid1.Cells[i, 0];

wi[i]:=ni[i]/sn;

Form2.StringGrid1.Cells[i, 2]:= wi[i];

end;

{moda}.

t:=ni[1];

for i:=1 to r-1 do.

if t<=ni[i] then begin.

t:=ni[i];

k:=i;

end;

Edit4.text:='{';

for i:=1 to r-1 do.

if t=ni[i] then begin.

s1:=xi[i]+sx/2;

Edit4.text:=Edit4.Text + s1;

if k<>i then Edit4. Text:=Edit4.Text + ','.

else Edit4. Text:=Edit4.Text + '}';

end;

{mediana}.

if r-1 mod 2<>0 then begin.

t:=r/2- s1:=w[t];

Edit6.Text:=s1;

end.

else begin.

t:=(r-1)/2;

s1:=xi[t+1]+sx-sx/2;

s2:=xi[t+1]+sx+sx/2;

Edit6.Text:='[' + s1 + '-' + s2 + ']';

end;

{rozpodil function}.

s2:=xi[1]- w[1]: =0;

Memo1.lines[0]: ='0, x<' + s2;

for i:=1 to r-1 do begin.

w[1]: =w[1]+wi[i];

t:=w[1];

s1:=t;

s2:=xi[i];

s3:=xi[i]+sx;

Memo1.lines[i]: =s1 + ', ' + s2 + '=<x<' + s3;

end;

s2:=xi[r-1];

Memo1.lines[r]: ='1, x>=' + s2;

{serednie}.

tx:=0;

for i:=1 to n do.

tx:=tx+p[i];

ser:=tx/n-t:=ser;

Edit15.text:=t;

{Deviacia}.

tx:=0;

for i:=1 to n do.

tx:=tx+(p[i]-ser)*(p[i]-ser);

t:=tx;

Edit8.Text:=t;

{Variansa}.

if n<>1 then dx:=tx/(n-1)-t:=dx;

Edit9.Text:=t;

{momenty}.

for i:=1 to n do {1}.

dx:=dx+p[i]-ser;

dx:=dx/n;

t:=dx;

Edit7.Text:=t;

tx:=tx/n-t:=tx- {2}.

Edit12.Text:=t;

dx:=0;

for i:=1 to n do {3}.

dx:=dx+(p[i]-ser)*(p[i]-ser)*(p[i]-ser);

dx:=dx/n;

t:=dx;

Edit13.Text:=t;

{Assymetrija}.

if tx<>0 then dx:=dx/(sqrt (tx)*sqrt (tx)*sqrt (tx));

t:=dx;

Edit10.Text:=t;

dx:=0;

for i:=1 to n do {4}.

dx:=dx+(p[i]-ser)*(p[i]-ser)*(p[i]-ser)*(p[i]-ser);

dx:=dx/n;

t:=dx;

Edit14.Text:=t;

{Eksces}.

dx:=dx/(tx*tx)-3;

t:=tx;

Edit11.Text:=t;

s:=ser;

end;

procedure TForm2. Button3Click (Sender: TObject);

begin.

Form3.ShowModal;

end;

end.

unit Unit3;

interface.

uses main, unit2,.

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,.

OleCtrls, graphsv3;

type.

TForm3 = class (TForm).

Graph1: TGraph;

Graph2: TGraph;

Graph3: TGraph;

Graph4: TGraph;

procedure FormActivate (Sender: TObject);

private.

{ Private declarations }.

public.

{ Public declarations }.

end;

var.

Form3: TForm3;

implementation.

{$R *.DFM}.

procedure TForm3. FormActivate (Sender: TObject);

var i, j: integer-dx:double-nxi, fi: variant;

begin.

dx:=sx;

sx:=0;

if typ=true then begin.

Graph1.RandomData:=0;

Graph1.GraphTitle:='Гістограма';

Graph1.GraphType:=3;

Graph1.NumPoints:=m;

for i:=1 to m do begin.

Graph1.Data[i]: =ni[i];

Graph1.XPosData:=xi[i];

end;

Graph2.RandomData:=0;

Graph2.GraphTitle:='Полігон';

Graph2.GraphType:=6;

Graph2.NumPoints:=m;

for i:=1 to m do begin.

Graph2.Data[i]: =ni[i];

Graph2.XPosData:=xi[i];

end;

Graph3.RandomData:=0;

Graph3.GraphTitle:='Діаграма';

Graph3.GraphType:=6;

Graph3.GraphStyle:=2;

Graph3.NumPoints:=m;

for i:=1 to m do begin.

Graph3.XPosData:=xi[i];

Graph3.Data[i]:=ni[i];

end;

Graph4.RandomData:=0;

Graph4.GraphTitle:='Функція розподілу';

Graph4.GraphType:=6;

Graph4.NumPoints:=2*m+2;

fi := VarArrayCreate ([0,2*m+2], varDouble);

nxi := VarArrayCreate ([0,2*m+2], varDouble);

for i:=1 to m do begin.

sx:=wi[i]+sx;

fi[2*i]: =sx-wi[i];

fi[2*i+1]:=sx;

nxi[2*i]:=xi[i];

nxi[2*i+1]:=xi[i];

end;

fi[2*m+2]:=1;

nxi[1]:=xi[1]-s;

nxi[2*m+2]:=xi[m]+s;

j:=0;

for i:=1 to 2*m+2 do begin.

Graph4.Data[i]: =fi[i];

Graph4.XPosData:=nxi[i];

end;

end.

else begin.

Graph1.RandomData:=0;

Graph1.GraphTitle:='Гістограма';

Graph1.GraphType:=3;

Graph1.NumPoints:=r-1;

for i:=1 to r-1 do begin.

Graph1.Data[i]: =ni[i];

Graph1.XPosData:=xi[i];

end;

Graph2.RandomData:=0;

Graph2.GraphTitle:='Полігон';

Graph2.GraphType:=6;

Graph2.NumPoints:=r-1;

for i:=1 to r-1 do begin.

Graph2.Data[i]: =ni[i];

Graph2.XPosData:=xi[i]+dx/2;

end;

Graph3.RandomData:=0;

Graph3.GraphTitle:='Діаграма';

Graph3.GraphType:=6;

Graph3.GraphStyle:=2;

Graph3.NumPoints:=r-1;

for i:=1 to r-1 do begin.

Graph3.XPosData:=xi[i]+dx/2;

Graph3.Data[i]: =ni[i];

end;

Graph4.RandomData:=0;

Graph4.GraphTitle:='Функція розподілу';

Graph4.GraphType:=6;

Graph4.NumPoints:=2*(r-1)+2;

fi := VarArrayCreate ([0,2*(r-1)+2], varDouble);

nxi := VarArrayCreate ([0,2*(r-1)+2], varDouble);

sx:=0;

for i:=1 to r-1 do begin.

sx:=wi[i]+sx;

fi[2*i]: =sx-wi[i];

fi[2*i+1]:=sx;

nxi[2*i]:=xi[i];

nxi[2*i+1]:=xi[i];

end;

fi[2*(r-1)+2]:=1;

nxi[1]:=xi[1]-3;

nxi[2*(r-1)+2]:=xi[r-1]+3;

j:=0;

for i:=1 to 2*(r-1)+2 do begin.

Graph4.Data[i]: =fi[i];

Graph4.XPosData:=nxi[i];

end;

end.

Список літератури.

1. Крамер Гарольд. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.

2. Бух Арлей.

Введение

в теорию вероятностей и математическую статистику. М., 1951.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою