Эрлангенская програма: колись і тепер

Эрлангенская програма: колись і тепер

Переворот в геометричній науці, вироблений Феліксом Кляйном наприкінці 19 століття, вони часто й справедливо порівнюють із реформою Евкліда у античній геометрії. До Евкліда був хаос (тобто, «газ ») з розрізнених об'єктів і фактів древньої науки. По ньому виник «кристал «з тієї ж атомів (теорем, аксіом і визначень), об'єднаних новими логічними зв’язками. Аналогічно, до Кляйна була розсип несхожих друг на друга кристалів, синтезованих у різний час Евклидом, Гауссом, Лобачевским чи Риманом. Після Кляйна ця розсип перетворилася на впорядковану колекцію, де кожен експонат заданий своєї групою допустимих перетворень цікавлять нас постатей.

20 століття колосально розширив цієї колекції, запровадивши до арсеналу математиків нескінченне сімейство нових груп, і відповідних геометрий. Щоб не потонути з нового хаосі «» газі «з груп, і однорідних просторів, математикам довелося впорядкувати різні способи порівняння груп собою. Так було в передували роки у працях Ісайя Шура виникла теорія уявлень груп; вона стала найважливішої опорою теоретичної фізики та нових геометрий (бесконечномерных, чи неархимедовых), які Кляйн було уявити в 1872 року.

Двойной досвід Евкліда і Кляйна в перебудові і спрощення високорозвиненою науки заслуговує розгляду з позицій оновленої фізики. Якщо обох випадках ми маємо справу з фазовим переходом у структурі наукової теорії, то як і енергетика цього переходу «Чи можна описати його за мові Кляйна-Шура, зіставивши кожної геометричній теорії якусь групу допустимих перетворень якихось фундаментальних об'єктів «Ці дві проблеми ми плануємо обговорити.

Вспомним, що система Евкліда охоплювала далеко ще не все факти і що об'єкти грецької геометрії 4 століття е. Конічні перерізу (еліпс, парабола, гіпербола) не згаданої «Засадах «жодним натяком. Звісно, Евклид був незадоволений таким станом справ. Відомо, що він зробив трактат про конічних перетинах «але з зумів уніфікувати його з логічного структурою «Почав », тому трактат не зберігся. Невдовзі Аполлоний повторив (чи перевершив) цей працю Евкліда; та його книжку конічних перетинах теж вдалося стыковать з «Началами » .

Унификация цього розмаїття почався тільки в в Новий час — в працях Декарта, з урахуванням італійської алгебри 16 століття і будівництва нової системи числових координат на площині. Такий підхід поєднав дві, начебто, незалежні гілочки математики: геометрію лідерів та арифметику чисел. Зрозуміло, що така синтез викликав захоплення багатьох поколінь молоді: від Ньютона до Галуа, який сформувався як математик під впливом підручників Лежандра по аналітичної геометрії і алгебраїчній теорії чисел.

Итак, між реформою Евкліда і реформою Кляйна геометрія пережила іще одна фазовий перехід: «координатну революцію «Декарта. У сфері досліджень ця революція відбулася впродовж одного покоління «між появою книжки Декарта (1637) і ньютоновским відкриттям обчислення флюксий і флюент (1667). Навпаки «в навчальний процес ідеї Декарта проникали довго і болісно. Невипадково Ньютон виклав відкриття в «Математичних Принципах Натурфілософії «(1687) на складному, але звичному геометричному мові «замість нової влади і простий, але з обгрунтованою алгебри статечних рядів, що вів думку Ньютона від однієї відкриття до іншого. Лише років через, коли нові обчислювальні методи стали основним апаратом математики механіки, Адриен Лежандр використовував цю систему викладанні геометрії майбутнім вчителям і інженерам в Нормальною і Політехнічної школах, породжених Французької революцією.

После цього (в початку 19 століття) класична геометрія виявилася розщеплена на частини: «евклидову «і «декартову », які повільно розвивалися, майже не допомагаючи одна одній. Це особливо помітно у творчості Карла Гаусса. У юності, йдучи шляху Декарта, він досяг чудового успіху: довів невиконання багатьох побудов циркулем і лінійкою. Двадцять років (в 1818 року) Гаусс вирішив випробувати шлях Евкліда: наскільки далеко може завести «тонка хірургія «прийнятої системи аксіом геометрії «У цьому зрілий Гаусс начебто забув ті алгебраїчні методи, що він успішно застосовував у юності. У результаті довгих інтуїтивних і логічних пошуків, не вводячи у геометрію чи логіку новопонять, Гаусс зумів лише вгадати нову велику істину: неповноту будь-який багатою системи аксіом і керував виведення, неминучість розгалуження кожної формальної теорії по черговому постулату, який вдається ані заперечити, ні довести. Певне, ця перспектива вразила Гаусса «і він вирішив промовчати про свої здогади, ніж вносити розпуста в уми наукової молоді, не робити математику посміховиськом для оточуючих неуків.

Выход від цього кризи геометрії можливий лише з допомогою алгебри «і Фелікс Кляйн знайшов цей вихід, щойно нова алгебра (теорія груп) досягла необхідної понятійної зрілості в працях Камілла Жордана. Пригадаємо, що створювати теорію груп перестановок S (n) почав Огюстен Коші в 1810-е роки. Невдовзі юний Эварист Галуа блискуче застосував алгебраїчні властивості груп S (n), довівши нерозв’язність уравнений-многочленов ступеня n>4 в радикалів. Але рання смерть Галуа не дозволила йому (на відміну Ньютона чи Гаусса) викласти йому свої відкриття на загальнозрозумілою мовою. Ця праця був завершел Жорданом тільки в 1870 року, коли Кляйну виповнилося 20 років і він прибув Париж.

Слушая лекції Жордана, юний Кляйн відчув таку ж потрясіння, які колись відвідували Евкліда і Ньютона, Гаусса і Галуа. Групи перестановок кінцевих множин виявилися могутнім робочим засобом геометрії і алгебри. Очікується тієї самої від груп взаимно-однозначных перетворень геометричних постатей! Ці групи різні у трьох відомих геометриях: Евкліда, Лобачевського і Рімана. Мабуть, вони розрізняють будь-які можливі геометричні світи! Так народилася 1872 року Эрлангенская програма 23-річного професора Кляйна «перший маніфест нової синтетичної математики, не розщепленої на алгебру і геометрія. Невдовзі Георг Кантор оголосив другий маніфест оновленої математики: загальну теорію множин, яка швидко перетворилися на топологію метричних просторів і остаточно срастила літочислення функцій з обчисленням постатей чи чисел. Кляйн палко привітав цю новинку, пропонуючи вважати функцію (і його символ «графік) так само універсальним «ієрогліфом «математичної науки, якими здавна служили числа і фігури.

Очень важливо, що (подібно Ньютону і Гауссу, та на відміну від Евкліда чи Галуа) Кляйн змолоду отримав хорошу освіту області теоретичної фізики, вважав її сестрою і спільницею «чистої «математики. Висуваючи Эрлангенскую програму, Кляйн було замислитися про ту групу перетворень евклидова простору, що відповідає ньютоновой механіці масивних крапок і твердих тіл. Тим більш, що ці ж 1870-е роки Джемс Максвелл створив теорію електромагнітного поля (другу главу єдиної математичної фізики), а Джозайя Гіббс поширив математичну термодинаміку до області хімічних реакцій.

Успехи Максвелла переконали Кляйна, що Эрлангенская програма неминуче включить геометричні дослідження нових фізичних світів «з допомогою тієї ж теорії груп. Але науковий талант Кляйна явно поступався таланту Ньютона чи Гаусса. Розуміючи це, Кляйн не прагнув стати законодавцем мод в народжуваної геометричній фізиці, надавши цією честю друзям і учням «колись всього Максу НTтеру, що у 1918 року ухвалив взаимно-однозначное відповідність між геометричними і фізичними світами. НTтер довів, що всякий закон збереження у фізиці відповідає симетрії фізичної середовища щодо деякою групи її перетворень «однією з імовірних груп Лі. Так теорія груп об'єднала, нарешті, математичну фізику з геометрією і алгеброю; головна мрія Кляйна виповнилася. Незадовго перед тим правоту Кляйна визнали головний математик та головний фізик нової доби: Давид Гільберт захопився математичної фізикою, Альберт Ейнштейн висловив суть загальної теорії відносності мовою диференціальної геометрії.

Для нас, професіоналів, усе це «події й далекого минулого, давно поняті і з гідності оцінені світовою науковою спільнотою. Для абсолютного більшості школярів (навіть у математичному класі) це «Terra Incognita, про відкриття якої прочитаєш в жодному підручнику математики, фізики чи історії. Довідаються російські юнаки 21 ст. про надії і побоюваннях, удачах і помилках наукових Колумбів і Магелланів 17−20 століть «це лише від рішучості й ерудиції того вчителя, з яким їх зіштовхнула доля. Байдуже, як і вузька спеціальність такого вчителя. Автору цих рядків доводилося успішно викладати драму ідей, зав’язану Евклидом і розв’язану Кляйном, у межах різних навчальних курсів, перед різними аудиторіями «від математиків до гуманітаріїв.

Вывод простий: зрозуміти справи здатні все допитливі підлітки, хоча кожна їх категорія розмовляє своєму діалекті і ставить запитання особливий. Сучасних підлітків об'єднує ще одне риса: справедливо вважаючи початок 20 століття «древньої історією », вони вимагає від вчителя зв’язати вищі досягнення Ейнштейна, Гільберта чи ГTделя з наукою і побутом нашого часу. Кляйн передбачав цю ситуацію в 1910;е роки, що він боровся за чергову реформу математичного і загальнонаукового освіти у «класичних «(тобто, застиглих лише на рівні Евкліда чи Лежандра) німецьких гімназіях. На жаль «навіть кращі гімназії ліцеї сучасної Росії аналогічно застигли лише на рівні Резерфорда і Бору, Менделя і Моргана, Ключевського і Моммзена, і, нарешті «самого Кляйна, який схвалював перетворення Эрлангенской програми в вічну ікону.

Если виявилося, що світом чисел чи постатей управляють групи симетрій, що може управляти самими групами Лі «У природі таке управління спостерігається щокроку «від фазових переходів у фізиці твердого тіла, через перебудову ценозів і галуження таксонов в біології, до переворотів у російській чи всесвітньої історії 20 століття. Заради об'єднання дуже різних і важливих поглядів на природу вчителю математики стоїть потрудитися! Тим паче, шлях такого поєднання був намічено топологом Пуанкаре на початку ХХ століття, а невдовзі фізики-теоретики перевірили був цей шлях.

Он веде через відомий принцип найменшого дії його квантової формулюванні, знайденою Фейнманом: у природі спостерігаються всі ті і ті траєкторії руху тіл чи систем, які відповідають екстремальним значенням функціоналу Дії. Якщо такі траєкторії «мінімальні (як і механіці), то поведінка системи якісно не змінюється. Якщо ж траєкторія «экстремаль ненульового індексу (тобто, сідло чи максимум — на графіці Дії), то рух щодо ній викликає фазовий перехід у системі «чи це тающий лід, осінній ліс чи російське суспільство 1917 року.

Согласно топологічної теорії Морсу (створеної 1930 року), сукупність всіх екстремальних траєкторій задає клітинне розбивка рівного різноманіття з двома краями, чи БОРДИЗМА, заменяющего у новій фізиці класичне поняття світової лінії. У 1950;ті роки Рене Том створив теорію бордизмов будь-який розмірності. Після цього топологи і фізики почали вивчати бордизмы довільних постатей, особливо груп Лі «і до 1970 року алгебро-геометрический апарат загальної теорії еволюції був, переважно, створено (хоча біологи та соціологи не одразу ж помітили це). Пригадаємо, як трьома століттями раніше Ньютон створив з урахуванням диференційних рівнянь єдину математичну теорію механічних процесів, які викликають еволюції. Осмислення та вдосконалення механіки Ньютона затяглося на півтораста літ — до епохи Лагранжа і Лапласа, які зуміли пояснити все, крім походження Сонячної системи.

Сейчас Эрлангенской програмі Кляйна виповнилося 125 років. Очевидно, як 25 років тому я математики завершили її розуміння, створивши топологічну теорію управління симетріями природних систем. Після 1967 року проникнення цієї теорії в фізику елементарних частинок і вакууму. Зараз, поколінням пізніше, час починати експорт нової моделі фізичного світу у уми школярів! До перших спроб цього були у важливих фізматшколах Росії пройшли успішно. Старшокласники швидко звикають до того що, що ваша програма Кляйна охоплює всю природу «включаючи биоэволюцию, соціальні катаклізми і діяльність людей-творців, чиї біографії зображуються траєкторіями максимального дії. Звісно, обчислювальні труднощі цьому шляху величезні «адже й шкільний курс математичного аналізу включає далеко ще не усе, що вмів робити Ньютон!

Нужно кріпити намічувану зв’язок, наводячи дедалі нові містки поміж шкільними курсами математики різних гілок природознавства «включаючи історію науки, нероздільно сплетену з історією людства. Чим більший вчителів різного профілю захопиться цієї мрією, тим паче зрілим і впевненим вступить у 21 століття нинішнє покоління юних росіян. Фелікс Кляйн, Давид Гільберт і вищезгаданий Микола Лузин вирішували подібну завдання початку 20 століття. Досвід розвитку російської науки у нашій столітті показав, що це праці не були марними. Не можна не, аби за півстоліття чи через століття нащадки сказали щось схоже наші зусиллях…

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.