Поверхні іншого порядку
Уравнение (3) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Якщо еліпсоїд заданий своїм канонічним рівнянням (3), то осі Ой, Зу і Оz. називаються його головними осями. (2°. З чотирьох коефіцієнтів a11, а22, a33, а44 два одного знака, а два других—противоположного. І тут поверхню P. S називається однополостным гіперболоїдом. Зазвичай рівняння однополостного гіперболоїда записують їх у канонічної… Читати ще >
Поверхні іншого порядку (реферат, курсова, диплом, контрольна)
. Поняття поверхні другого порядка.
1. Інваріанти рівняння поверхні другого порядка.
. Класифікація поверхонь другого порядка.
1. Класифікація центральних поверхностей.
(1°. Эллипсоид.
(2°. Однополостный гиперболоид.
(3°. Двуполостный гиперболоид.
(4°. Конус другого порядка.
2. Класифікація нецентральных поверхностей.
(1°. Еліптичний циліндр, гіперболічний циліндр, еліптичний параболоїд, гіперболічний параболоид.
(2°. Параболічний цилиндр
• Дослідження форми поверхонь другого порядку з їхньої канонічним уравнениям.
1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.
(1°. Однополостный гиперболоид.
(2°. Двуполостный гиперболоид.
3. Параболоиды.
(1°. Еліптичний параболоид.
(2°. Гіперболічний параболоид.
4. Конус і циліндри другого порядка.
(1°. Конус другого порядка.
(2°. Еліптичний цилиндр.
(3°. Гіперболічний цилиндр.
(4°. Параболічний цилиндр.
Список використаної литературы.
1. «Аналітична геометрія» В.А. Ільїн, Є.Г. Позняк.
§ 1. Поняття поверхні другого порядка.
Поверхня другого порядку — геометричне місце точок, декартовы прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду a11×2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1) у якому по крайнього заходу одне із коефіцієнтів a11, а22, a33, a12, a23, a13 різниться від нуля.
Рівняння (1) ми називати загальним рівнянням поверхні другого порядка.
Вочевидь, поверхню другого порядку, розглянута як геометричний об'єкт, не змінюється, якщо від даної декартовой прямокутної системи координат можливість перейти до інший декартовой системі координат. Зазначимо, що вихідне рівняння (1) і рівняння, отримане після перетворення координат, алгебраїчно эквивалентны.
1. Інваріанти рівняння поверхні другого порядку. Справедливо таке утверждение.
являются інваріантами рівняння (1) поверхні второго-порядка щодо перетворень декартовой системи координат. Доказ цьому затвердження наведено у числі «Лінійна алгебра» справжнього курса.
§ 2. Класифікація поверхонь другого порядка.
1. Класифікація центральних поверхонь. Нехай P. S — центральна поверхню другого порядку. Перенесемо початок координат до центру цієї поверхні, та був зробимо стандартне спрощення рівняння цієї поверхні. Через війну зазначених операцій рівняння поверхні прийме вид.
a11×2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2) Оскільки інваріант I3 для центральної поверхні різниться від нуля та її значення, розрахований для рівняння (2), одно a11 • а22 • a33, то коефіцієнти a11, а22, a33 задовольняють умові :
Можливі такі випадки :
(1°. Коефіцієнти a11, а22, a33 одного знака, а коефіцієнт а44 різниться від нуля. І тут поверхню P. S називається еліпсоїдом. Якщо коефіцієнти a11, а22, a33, а44 одного знака, то ліва частина (2) ані за яких значеннях x, у, z не звертається до нуль, т. е. рівнянню поверхні P. S не задовольняють координати ніякої точки. І тут поверхню P. S називається мнимим еліпсоїдом. Якщо знак коефіцієнтів a11, а22, a33 протилежний знаку коефіцієнта а44, то поверхню P. S називається речовинним еліпсоїдом. Надалі терміном «еліпсоїд» ми називати лише речовинний еліпсоїд. Зазвичай рівняння еліпсоїда записують їх у канонічної формі. Вочевидь, числа [pic] позитивні. Розкажемо про ці числа відповідно А2, b2, с2. Після нескладних перетворень рівняння еліпсоїда (2) можна записати в наступній форме:
Уравнение (3) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Якщо еліпсоїд заданий своїм канонічним рівнянням (3), то осі Ой, Зу і Оz. називаються його головними осями. (2°. З чотирьох коефіцієнтів a11, а22, a33, а44 два одного знака, а два других—противоположного. І тут поверхню P. S називається однополостным гіперболоїдом. Зазвичай рівняння однополостного гіперболоїда записують їх у канонічної формі. Нехай, заради визначеності, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тоді числа [pic] позитивні. Розкажемо про ці числа відповідно А2, b2, с2. Після нескладних перетворень рівняння (2) однополостного гіперболоїда можна записати у наступному форме:
Уравнение (4) називається канонічним рівнянням однополостного гиперболоида.
Якщо однополостный гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням (4), то осі Ой, Зу і Oz називаються його головними осями. (3°. Знак однієї з перших трьох коефіцієнтів a11, а22, a33, а44 протилежний знаку інших коефіцієнтів. І тут поверхню P. S називається двуполостным гиперболоидом.
Запишемо рівняння двуполостного гіперболоїда в канонічної формі. Нехай, заради визначеності, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тоді :
[pic].
Розкажемо про ці числа відповідно через a2, b2, с2. Поcли нескладних перетворень рівняння (2) двуполостного гіперболоїда можна записати в наступній форме:
Уравнение (5) називається канонічним рівнянням двуполостного гіперболоїда. Якщо двуполостный гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням, то осі Ой, Зу і Оz називаються його головними осями. (4°. Коефіцієнт а44 нульовий. І тут поверхню P. S називається конусом другого порядку. Якщо коефіцієнти a11, а22, a33 одного знака, то ліва частина (2) звертається до нуль (а44 = 0) тільки до х=у=z=0, т. е. рівнянню поверхні P. S задовольняють координати лише едной точки. І тут поверхню P. S називається мнимим конусом другого порядку. Якщо коефіцієнти a11, а22, a33 мають різні знаки, то поверхню P. S є речовинним конусом другого порядка.
Зазвичай рівняння речовинного конуса другого порядку записують їх у канонічної формі. Нехай, заради определенности,.
a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим.
[pic].
соответственно через А2, b2, с2. Тоді рівняння (2) можна записати в виде.
Рівняння (6) називається канонічним рівнянням речовинного конуса другого порядка.
2. Класифікація нецентральных поверхонь другого порядка.
Нехай P. S — нецентральная поверхню другого порядку, т. е. поверхню, на яку інваріант I3 нульовий. Зробимо стандартне спрощення рівняння цієї поверхні. Через війну рівняння поверхні набуде вигляду aґ11хґ2 + аґ22уґ2 + aґ33zґ2 + 2аґ14 xґ + 2аґ24уґ+2аґ34zґ +аґ44 = 0.
(7) системі координат Oxґyґzґ.
Оскільки інваріант I3 = 0 та її значення, розрахований для рівняння (7), одно aґ11 • аґ22 • aґ33, то одну чи дві з коефіцієнтів aґ11, аґ22, aґ33 рівні нулю. Відповідно до цим розглянемо такі можливі випадки. (1°. Одне з коефіцієнтів aґ11, аґ22, aґ33 нульовий. Заради визначеності вважатимемо, що aґ33 = 0 (якщо нульовий будь-якої більше з зазначених коефіцієнтів, можна можливість перейти до оскільки він розглядався випадку шляхом перейменування осей координат). Перейдемо від координат x ", у ", z «до нових координатам x, у, z по формулам.
Підставляючи x ", у «і z », знайдені з (8), у ліві частина (7) і замінюючи потім aґ11 на a11, аґ22 на а22, аґ34 на p і аґ44 на q, одержимо наступне рівняння поверхні P. S у новій системі координат Oxyz :
a11×2 + а22у2 + 2pz + q = 0 (9).
1) Нехай р = 0, q = 0. Поверхня P. S розпадається разом плоскостей При цьому, очевидно, ці площині будуть вдаваними, якщо знаки a11 і а22 однакові, і речовими, якщо знаки a11 і а22 різні. 2) Нехай р = 0, q? 0. Рівняння (9) приймає вид.
a11×2 + а22у2 + q = 0 (10).
Известно, що рівняння (10) є рівнянням циліндра з утворюючими, паралельними осі Оz. У цьому якщо a11, а22, q мають однакову знак, то ліва частина (10) відрізняється від нуля для будь-яких x і y, т. е. циліндр буде мнимим. Якщо серед коефіцієнтів a11, а22, q є коефіцієнти різних знаків, то циліндр буде речовинним. Зазначимо, у разі, коли a11 і а22 мають однакові знаки, a q — протилежний, то величины положительны.
Позначаючи їх відповідно через А2 і b2, ми наведемо рівняння (10) до виду Таким чином, у відзначеному випадку ми маємо еліптичний циліндр. У разі, a11 і а22 мають різні знаки, ми матимемо гіперболічний циліндр. Легко переконатися, що рівняння гіперболічного циліндра може бути наведено до виду.
3) Нехай р?0. Зробимо паралельний перенесення системи координат, обираючи нове початок у точці з координатами.
(0, 0,).
При цьому залишимо старі позначення координат x, у, z. Вочевидь, у тому щоб отримати рівняння поверхні P. S у новій системі координат, досить замінити в рівнянні (9).
Одержимо таке уравнение:
a11×2 + а22у2 + 2pz = 0 (13).
Рівняння (13) визначає звані параболоиды. Причому якщо a11 і а22 мають однакову знак, то параболоїд називається эллиптическим. Зазвичай рівняння еліптичного параболоїда записують їх у канонічної форме:
Уравнение (14) легко виходить з (13). Якщо a11 і а22 мають різні знаки, то параболоїд називається гіперболічним. Канонічне рівняння гіперболічного параболоїда має вид Это рівняння також легко то, можливо отримано з (13). (2°. Два з коефіцієнтів aґ11, аґ22, aґ33 рівні нулю. Заради визначеності вважатимемо, що aґ11 = 0 і аґ22 = 0 Перейдемо від x, «, у », z «до. новим координатам x, у, z по формулам :
Подставляя x ", у «і z », знайдені з (16) у ліві частина (7) і замінюючи потім aґ33 на a33, aґ14 на р, aґ24 на q і aґ44 на r, одержимо наступне рівняння поверхні P. S у новій системі координат Охуz: a33 z2 + 2px + 2qy + r = 0 (17).
1) Нехай р=0, q=0. Поверхня P. S розпадається разом паралельних площин У цьому, очевидно, ці площині будуть вдаваними, якщо знаки a33 і r однакові, і речовими, якщо знаки a33 і r різні, причому при r = 0 ці площині зливаються в одну.
2) Хоча б з коефіцієнтів р чи q різниться від нуля. І тут повернемо систему координат навколо осі Oz те щоб нова вісь абсцис стала паралельній площині 2рх+2qy+r=0. Легко переконатися, що за такого виборі системи координат, за умови збереження позначення x, у і z нових координат точок, рівняння (17) прийме вид.
a33 z2 + 2qґy = 0 (19).
которое є рівнянням параболического циліндра з утворюючими, паралельними нової осі Ох.
§ 3. Дослідження форми поверхонь другого порядку з їхньої канонічним уравнениям.
1. Эллипсоид.
Из рівняння (3) випливає, що координатні площині є площинами симетрії еліпсоїда, а початок координат—центром симетрії. Числа а, b, з називаються полуосями еліпсоїда і є довжини відрізків, від початку координат до точок перетину еліпсоїда з осями координат. Щоб наочнішим виявиться уявити форму еліпсоїда, з’ясуємо форму ліній перетину його площинами, паралельними якійсь із координатних площин. Заради визначеності розглянемо лінії Lh перетину еліпсоїда з площинами z = h (20).
параллельными площині Оху. Рівняння проекції L*h лінії Lh на площину Оху виходить з рівняння (3), якщо покласти у ньому z = h. Отже, рівняння цієї проекції має вид Если положить то рівняння (21) можна записати в виде т. е. L*h є еліпс з полуосями а* і b*, які можуть опинитися бути враховано по формулам (22). Оскільки Lh виходить «підйомом» L*h на висоту h по осі Оz (див. (20)), те й Lh є еліпс. Уявлення про эллипсоиде можна отримати роботу так. Розглянемо на площині Оху сімейство еліпсів (23) (рис. 1), полуоси а* і b* яких залежить від h (див. (22)), й у такий еліпс постачимо оцінкою h, що б, яку висоту по осі Оz може бути «піднято» цей еліпс. Ми одержимо свого роду «карту» еліпсоїда. За такою «карту», легко уявити просторовий вид еліпсоїда. (Метод уявлення форми постаті шляхом отримання «карти» постаті я наводжу лише еліпсоїда, уявити форму інших постатей цим методом можна аналогично) Наглядное зображення еліпсоїда перебуває в наступній странице.
Еліпсоїд .
2. Гиперболоиды. (1°. Однополостный гіперболоїд. Звернімося до канонічного рівнянню (4) однополостного гиперболоида Из рівняння (4) випливає, що координатні площині є площинами симетрії, а початок координат — центром симетрії однополостного гиперболоида.
(2°. Двуполостный гиперболоид.
З канонічного рівняння (5) двуполостного гіперболоїда випливає, що координатні площині є її площинами симетрії, а початок координат — його центром симметрии.
3. Параболоиды. (1°. Еліптичний параболоїд. Звертаючись до канонічного рівнянню (14) еліптичного параболоида мы бачимо, що з нього Oxz і Оуz є площинами симетрії. Вісь Oz, що становить лінію перетину цих площин, називається віссю еліптичного параболоида.
(2°. Гіперболічний параболоїд. З канонічного рівняння (15).
гиперболического параболоїда випливає, що площині Oxz і Оуz є площинами симетрії. Вісь Oz називається віссю гіперболічного пaраболоида.
прим.: отримання «карти висот» для гіперболічного пaраболоида трохи відрізняється від аналогічної процедури для вищенаведених поверхонь 2-го порядку, тож також включив його у свій реферат.
Лінії z=h перетину гіперболічного параболоїда площинами z=h є при h>0 гиперболы.
з полуосями, а при h < 0 —поєднані гіперболи для гіпербол (24).
з полуосями.
Використовуючи формули (24)—(27), легко побудувати «карту» гіперболічного параболоїда. Зазначимо ще, площину z=0 перетинає гіперболічний параболоїд з двох прямим :
З формул (25) і (27) випливає, що прямі (28) є асимптотами гіпербол (24) і (26).
Карта гіперболічного параболоїда дає чітке уявлення про його просторової формі. Як і разі еліптичного параболоїда, можна переконатися, що гіперболічний параболоїд можна отримати шляхом паралельного переміщення параболи, що є перетин площиною Oxz (Оуz), коли її вершина рухається вздовж параболи, що є перерізом параболоїда площиною Oyz (Oxz).
прим.: Зображення гіперболічного пaраболоида дано наступного странице.
Гіперболічний параболоид.
4. Конус і циліндри другого порядку. (1°. Конус другого порядка Убедимся, що речовинний конус P. S освічений прямими лініями, що проходять через початок Про координат. Природно називати точку Про вершиною конуса.
Аби довести сформульованого затвердження, очевидно, досить встановити, що пряма L, з'єднує довільну, відрізняється від початку координат точку М0(х0, у0, z0) конуса (6) і почав координат Про, повністю розташований конусі, т. е. координати (x, у, z) будь-який точки М прямий L задовольняють рівнянню (6).
Оскільки точка М0(х0, у0, z0) лежить конусі (6), то :
Координаты (x, у, z) будь-який точки М прямий L рівні відповідно tx0, ty0, tz0, де t—некоторое число. Підставляючи цих значень для x, у і z у ліві частина (6), виносячи потім t2 за скобку та враховуючи (29), ми переконаємося у цьому, що М лежить на жіночих конусі. Отже, твердження доведено. Ставлення до формі конуса то, можливо отримано методом перетинів. Легко переконатися, що перерізу конуса площинами z = h є еліпси з полуосями :
(2°. Еліптичний цилиндр.
Состоит з прямих ліній, паралельних осі Oz .
(3°. Гіперболічний цилиндр.
Состоит з прямих ліній, паралельних осі Oz .
(4°. Параболічний цилиндр.
a33 z2 + 2qґy = 0 (19).
Путем перейменування осей координат і найпростіших арифметичних операцій з рівняння, (19) ми матимемо нове, компактне рівняння параболического цилиндра.
———————————- [pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].
[pic].