Визначений інтеграл (реферат)

Визначений інтеграл.

Розглянемо функцію f (х), визначену на відрізку [аb]. Як і в § 7, відрізок [аb] точками.

$$X_i=a+\frac{b-a}{n}i,\begin{array}{cc}& i=\mathrm{0,}\begin{array}{cc}& \mathrm{1,}\end{array}\end{array}\begin{array}{cc}& \text{.}\text{.}\text{.},\begin{array}{cc}& n,\end{array}\end{array}$$.

поділимо на n рівних за довжиною відрізків.

У кожному х цих відрізків [Х1−1- Х1], і=1, …, n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" > [Х1−1- Х1]. Тоді сума.

f (math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >X1+…+ f (math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >Xn=i=in f (math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >X1 ,.

де $$X_1$$ = Х1-Хі-і, називається інтегральною сумою функції f.

Очевидно, ця сума залежить і від того, як поділено відрізок [аb], і від того, як взято точки p>

Означення. Якщо границя.

$$$$ $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{i=i}{\overset{n}{}}({}_1)X_1$$.

$$$$ існує і не залежить від вибору точок то функція f називається інтегрованою на відрізку [аb], а границя називається визначеним інтегралом від функції f на відрізку [аb]- його позначають.

$$$$ $$\underset{a}{\overset{b}{}}$$ f (х) bx.

Це позначення читають «Інтеграл від, а до b від функції f (х) bх». Знак $$$$ називається знаком інтеграла, функція f — підінтегральною функцією, змінна х — змінною інтегрування. Вираз f (х) bх — підінтегральним виразом. Числа, а і b називаються межами інтегрування, відповідно нижньою і верхньою. Таким чином, за означенням.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}$$ f (х) bx = $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{i=i}{\overset{n}{}}({}_1)X_1$$.

Зазначимо, що інтеграл не залежить від того, якою буквою позначено змінну інтегрування, тому, наприклад,.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}$$ f (х) bx = $$\underset{a}{\overset{b}{}}$$ f (t) bt = $$\underset{a}{\overset{b}{}}$$ f (u) bu.

Приклад безпосереднього обчислення визначених інтегралів (виходячи безпосередньо з означення) було дано в § 7 (див. приклади 1 і 2).