Нестаціонарні задачі теплопровідності в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових областях

Зміст

Вступ Розділ 1. Нестаціонарні задачі теплопровідності в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових областях

1.1 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах

1.2 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах з порожниною.

1.3 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних суцільних циліндрично-кругових тілах.

1.4 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних порожнистих циліндрично-кругових тілах

Висновок Використана література

Вступ

Методом фундаментальних функцій, функцій Коші та функцій Гріна побудовано точні аналітичні розв’язки алгоритмічного характеру нестаціонарних крайових задач феноменологічної теорії теплопровідності в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових областях (напівобмеженому циліндрично-круговому просторі, напівобмеженому циліндрично-круговому просторі з порожниною, напівобмеженому суцільному та порожнистому циліндрично-круговому тілі).

Розділ 1. Нестаціонарні задачі теплопровідності в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових областях

1.1 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах.

Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1) — шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному циліндрично — круговому просторі математично зводиться до побудови обмеженого в області

= {(t, r, ц, z)}: t (0, ?); r = ,

? 0;? ?; ц (0;), < 2р; z (0; ?)}

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності

— [(+) + + ] = (t, r,, z), (1.1)

j =

за початковими умовами

(t, r,, z) = (r,, z), j =, (1.2)

крайовими умовами

(- +) = (t, r,) ?

j = (1.3)

) = 0, (1.4)

умовами неідеального теплового контакту

(1.5)

та одними з крайових умов

(1.6)

(1.7)

, (1.8)

(1.9)

на гранях клина.

Інтегральні оператори Фур'є та початково-крайовим задачам (1.1)-(1.5), (1.6), …, (1.1)-(1.5), (1.9) ставлять у відповідність задачу побудови обмеженого області

= {(t, r): t (0; ?); r

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності В-параболічного типу

(1.10)

за початковими умовами

(1.11)

крайовими умовами

(1.12)

за умовами спряження

(1.13)

У рівняннях (1.10) беруть участь функції

З точністю до позначень початково-крайова задача на спряження (1.10)-(1.13) співпадає із задачею побудови обмеженого в області розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідноті В-параболічного типу. Побудований методом гібридного інтегрального перетворення типу Фур'є-Бесселя розв’язок задачі (1.10)-(1.13), відповідно до формул

j = ,

визначають функції

j = (1.14)

Застосувавши послідовно до функції визначених формулами (1.14), обернені оператори одержуємо функції

(1.15)

які описують структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному циліндрично-круговому просторі.

У формулах (1.15) беруть участь: фундаментальні функції

(1.16)

функції Коші

((1.17)

(1.18)

і тангенціальні функції Гріна

(1.19)

початково-крайових задач (1.1)-(1.5), (1.6),…, (1.1)-(1.5), (1.9).

Тут прийняті позначення:

1.2 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах з порожниною

Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному циліндрично-круговому просторі з циліндрично-круговою порожниною радіуса математично зводиться до побудови обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності (1.1) за початковими умовами (1.2), крайовими умовами (1.3), крайовими умовами на радіальних поверхнях

(2.1)

умовами неідеального теплового контакту (1.5) та одними з крайових умов (1.6-(1.9) на гранях клина.

Оператори Фур'є крайовим задачам (1.1)-(1.3), (2.1), (1.5), (1.6),…, (1.1)-(1.3), (2.1), (1.5), (1.9) ставлять у відповідність задачу побудови обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь (1.10) за початковими умовами (1.11), крайовими умовами

(2.2)

та умовами спряження (1.13).

З точністю до позначень задача (1.10), (1.11), (2.2), (1.13) співпадає із задачею (1.10), (1.11), (2.2), (1.13). Побудований методом гібридного інтегрального перетворення типу Вебера розв’язок задачі (1.10), (1.11), (2.2), (1.13), відповідно до формул (2.2.8), визначають функції

(2,3)

Застосувавши послідовно до функцій визначених формулами (2.3), обернені перетворення, одержуємо функції

(2,4)

які описують структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному циліндрично-круговому просторі з циліндрично-круговою порожниною.

У формулах (2.4) беруть участь: фундаментальні функції, визначені формулами (1.16); функції Коші визначені формулами (1.17); функції визначені формулами (1.18); тангенціальні функції Гріна визначені формулами (1.19) та радіальні функції Гріна

(2.5)

крайових задач (1.1)-(1.3), (2.1), (1.5), (1,6),…, (1.1)-(1.3), (2.1), (1.5), (1.9).

1.3 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних суцільних циліндрично-кругових тілах

Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному суцільному циліндрично-круговому тілі математично зводиться до побудови обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності (1.1) за початковими умовами (1.12), крайовими умовами (1.3), крайовими умовами на радіальних поверхнях

(3.1)

умовами неідеального теплового контакту (1.5) та одними з крайових умов (1.6)-(1.9) на гранях клинах. Інтегральні оператори Фур'є початково-крайовим задачам (1.1)-(1.3),(3.1),(1.5),(1.6),(1.1)-(1.3), (3.1),(1.5),(1.9)ставлять у відповідність задачу побудови обмеженого в області

розв’язку системи диференціального рівняння (1.10) за початковими умовами (1.11), крайовими умовами

(3.2)

та умовами спряження (1.13).

З точністю до позначень початково-крайових задач на спряження (1.10), (1.11), (3.2), (1.13) співпадає із задачею (1.10), (1.11), (3.2), (1.13). Побудований методом скінченого гібридного інтегрального перетворення типу Ханкеля 1-го роду розв’язок задачі (1.10),(1.11), (3.2), (1.13), відповідно до формул (3.8), визначають функції

(3,3)

Застосувавши послідовно до функції визначених формулами (3.3), обернені оператори та, одержуємо функції

(3,4)

які описують структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1) — шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному суцільному циліндрично-круговому тілі.

У формулах (3.4) беруть участь:

фундаментальні функції

(3.5)

функції Коші

(3.6)

(3.7)

тангенціальні функції Гріна

(3.8)

та радіальні функції Гріна

(3.9)

початкових крайових задач (1.1)-(1.3), (3.1), (1.5), (1.6),…, (1.1)-(1.3), (3.1), (1.5), (1.9).

Тут прийняті позначення

1.4 Нестаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових ортотропних клиновидних порожнистих циліндрично-кругових тілах

Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному порожнистому циліндрично-круговому тілі математично зводиться до побудови обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності (1.1) за початковими умовами (1.2), крайовими умовами (1.3), крайовими умовами на радіальних поверхнях

(4.1)

умовами неідеального теплового контакту (1.5) та одними з крайових умов (1.6)-(1.9) на гранях клинах.

Оператори Фур'є початково-крайовим задачами на спряження (1.1)-(1.3), (4.1), (1.4), (1.6),…, (1.1)-(1.3), (4.1), (1.5), (1.9) ставлять у відповідність задачу побудови обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності В-параболічного типу (1.10) за початковими умовами

(4.2)

та умовами спряження (1.13).

З точністю до позначень початково-крайових задач на спряження (1.10), (1.11), (4.2), (1.13) співпадає із задачею (1.10), (1.11), (4.2), (1.13). Побудований методом скінченого гібридного інтегрального перетворення типу Ханкеля 2-го роду розв’язок задачі (1.10),(1.11), (4.2), (1.13), відповідно до формул визначають функції

(4,3)

Застосувавши послідовно до функції визначених формулами (4.3), обернені перетворення та, одержуємо функції

(4,4)

які описують структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1) — шаровому щодо радіальної змінної ортотропному клиновидному суцільному циліндрично-круговому тілі.

У формулах (4.4) беруть участь: фундаментальні функції, визначені формулами (3.5); функції Коші, визначені формулами (3.6); функції, визначені формулами (3.7); тангенціальні функції Гріна, визначені формулами (3.8); ліві радіальні функції Гріна

(4.5)

та праві радіальні функції Гріна

(4.6)

початкових крайових задач (1.1)-(1.3), (4.1), (1.5), (1.6),…, (1.1)-(1.3), (4.1), (1.5), (1.9).

Висновок

1) аналіз формул (1.15) в залежності від типу крайових умов на гранях клина повторює аналіз нестаціонарних температурних полів в необмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах;

2) випадок зміни в межах зводиться до розглянутого нами заміною ;

3) параметр h = дає можливість виділяти із формул (1.15) розв’язки початково-крайових задач у випадках завдання на поверхні z = 0 крайової умови 1-го, 2-го й 3-го роду;

4) при формули (1.15) описують структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ізотропному клиновидному циліндрично-круговому просторі;

5) аналіз формул (2.4) в залежності від типу крайових умов на гранях клина ідентичний аналізу нестаціонарних температурних полів в необмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах;

6) випадок зміни в межах від до зводиться до розглянутого нами заміною ' = ;

7) параметри h, дають можливість виділяти із формул (2.4) розв’язки початково-крайових задач у випадках задання на поверхнях z = 0 та r = крайових умов 1-го, 2-го й 3-го роду та їх можливих комбінацій;

8) у випадку формули (2.4) описують структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ізотропному клиновидному циліндрично-круговому просторі з циліндрично-круговою порожниною.

9) аналіз формул (3.4) в залежності від типу крайових умов на гранях клина повторює аналіз нестаціонарних температурних полів в необмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах;

10) випадок зміни в межах зводиться до розглянутої нами заміною

h, дають можливість виділяти із формул (3.4) розв’язки початково-крайових задач у випадках задання на поверхнях z = 0 та r = R крайових умов 1-го, 2-го 1 3-го роду та їх можливих комбінацій;

12) у випадку формули (3.4) визначають структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ізотропному клиновидному суцільному циліндрично-круговому тілі.

13) аналіз формул (4.4) в залежності від типу крайових умов на гранях клина повторює аналіз нестаціонарних температурних полів в необмежених багатошарових ортотропних клиновидних циліндрично-кругових просторах;

14) випадок зміни в межах від зводиться до розглянутої нами нами заміною

h, дають можливість виділяти із формул (4.4) розв’язки початково-крайових задач у випадках завдання на поверхнях z = 0, r = та r = R крайових умов 1-го, 2-го 1 3-го роду та їх можливих комбінацій;

16) у випадку формули (4.4) визначають структуру нестаціонарного температурного поля в напівобмеженому (n+1)-шаровому щодо радіальної змінної ізотропному клиновидному суцільному циліндрично-круговому тілі.

Використана література

1. Конет І.М., Ленюк М. П. Нестаціонарні задачі теплопровідності для багатошарових ортотропних клиновидних парашутних областей. —Київ, 1998;36 с. (Препр./НАН України. Ін-тут математики:98.2).

2. Конет І.М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотропних сферичних областях. — Київ: Ін-тут математики НАН України, 1998.-209 с.

3. Ленюк М. П. Узагальнення інтегралу Фур'є-Бесселя // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. — Київ: Ін-т математики АН України, 1993.-Вип.2, ч.1.-С.89−101.

4. Грей Э., Метьюз Г. Б. Функции Бесселя и их приложения в физике и механике. — М.:Изд-во иностр. лит., 1949.-386 с.

5. Быблов О. Я., Ленюк М. П. Интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода для кусочно-однородных сегментов с применением к задачам математической физики // Вычисл. и прикл. математика.-1988.-Вып.45.-С.24−34.

6. Быблов О. Я., Ленюк М. П. Интегральные преобразования Ханкеля 2-го рода для кусочно-однородных сегментов // Изв. вузов. Математика.-1987.-5.-С.82−85.