Математичні поняття

Математические понятия

Термин «поняття «зазвичай застосовується для позначення уявної образу деякого класу речей, процесів, відносин об'єктивну реальність чи нашого свідомості.

Математические поняття відбивають у нашому мисленні певні форми й стосунку дійсності, абстраговані від ситуацій.

Каждое поняття об'єднує у собі клас об'єктів (речей, відносин) — обсяг цього поняття — і характеристична властивість, властиве всіх об'єктах цього, і тільки їм, — зміст цього поняття. Наприклад, поняття «трикутник «з'єднує у собі клас .різноманітних трикутників (обсяг цього поняття) і характеристичний властивість — наявність трьох сторін, трьох вершин, трьох кутів (зміст поняття); поняття «рівняння «з'єднує у собі клас різноманітних рівнянь (значення поняття) і характеристичне властивість — рівність, що містить одну чи кілька змінних (зміст поняття).

Содержание поняття розкривається з допомогою визначення, обсяг — з допомогою класифікації. З допомогою ухвали і класифікації окремі поняття організуються в систему взаємозалежних понять.

Формирование понять — складний психологічний процес, який з освіти найпростіших форм пізнання — відчуттів — і протекающий часто за такою схемою: відчуття — сприйняття — уявлення — поняття.

Обычно поділяють той процес на два щаблі: чуттєву, яке у освіті відчуттів, сприйняття й уявлення, і логічний, яка полягає у переході від уявлення до поняття з допомогою узагальнення і абстрагування.

Чувственная щабель у процесі формування понять відповідає першого етапу шляху пізнання взагалі, т. е. «живому споглядання », і тому її здійснення вимагає широко він наочності. Якщо учневі будь-коли показували модель куба чи предмети, мають форму куба, те в нього не було може утворитися уявлення, отже, й поняття куба.

Процесс формування понять буде ефективний, коли він орієнтує учнів на узагальнення і абстрагування істотних ознак (характеристичного властивості) формованого поняття.

Рассмотрим процес створення понять з прикладу поняття куба.

Детям (6−7лет) показують багато предметів, відмінних формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, із якого вони зроблено, причому таких, що з них мають форму куба, інші немає. Діти, коли їм показують одне з цих тіл і кажуть, що це куб, безпомилково відбирають всі ті тіла, які мають ті ж самі форму, нехтуючи відмінностями, які стосуються розміру, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з класу предметів підкласу, ототожнення тіл проводиться у разі одному ще досить проанализированному ознакою — зовнішньої формі. Діти ще не знають властивостей куба, вони розпізнають його тільки за формою.

Дальнейшая роботу з формування поняття куба полягає у аналізі цієї форми з єдиною метою з’ясування її властивостей. Учням пропонують шляхом спостереження знайти, що є спільного в всіх відібраних тіл, мають форму куба, чим різняться від інших. Встановлюється, що кожного куба 8 вершин, 6 граней. Але в деяких тіл, які ми віднесли до кубам, теж 8 вершин і шість граней. Виявляється, у куба всі грані - квадрати (цю роботу зазвичай проводиться після аналогічної роботи з виділенню класу квадратів з багатьох пласких постатей).

Остается один крок до утворення поняття куба — перехід від уявлення до поняття шляхом абстрагування, т. е. відділення загальних властивостей від г^рочих, несуттєвих. Зрозуміло, на початковому етапі знають навчання не можна ще говорити про повний абстрагуванні цих властивостей, в дітей віком ще утворюється поняття куба в чистому вигляді, вони ще визначають куб і протиставляють його прямокутному параллелепипеду з різними вимірами. Надалі, якщо буде сконструйована логічно упорядкована система геометричних понять (в рамках систематичного курсу геометрії), учні дізнаються, що куб — це вид прямокутного паралелепіпеда. У цьому вся — діалектика розвитку понять.

Приведенный приклад показує, що формування понять, зазвичай, тривалий процес, який сприяє розвиткові узагальнюючої і абстрагирующей діяльності учнів.

Однако формування математичних понять який завжди протікає по наведеної вище схемою, що починається з відчуттів. Зокрема, коли сформована поняття пов’язано, у тому чи іншого формі, з розумінням нескінченності (як, наприклад, поняття прямий, площині, щільності безлічі раціональних чисел, краю та інших.), то почуттєва щабель грає меншу роль, адже ми неспроможна сприймати нескінченне (у жодній формі), і наочність із засобу, що сприяє формуванню поняття, іноді стає який гальмує чинником.

Например, нескінченність безлічі раціональних чисел, лежачих між будь-якими двома раціональними числами, не підкріплюється, а, навпаки, «спростовується «конкретним сприйняттям кінцевого відрізка, що містить це безліч. Властивість щільності безлічі раціональних чисел не можна знайти дослідним шляхом, він підтверджується наочними геометричними уявленнями, а встановлюється логічно. Цей процес і інші численні приклади підтверджують висновки наших психологів у тому, що сприйняття наочного матеріалу з об'єктивних особливостей цієї статті може грати як позитивну, а й негативну роль.

Заключительным етапом формування поняття, зазвичай, є його визначення.

В математики й щодо навчання математиці застосовуються різні способи визначення понять.

Наиболее часто, особливо у навчанні геометрії, зустрічається визначення «через найближчий рід і видове відмінність ». Прикладом цього визначення є що: Прямокутник є паралелограм з прямим кутом. Як бачимо, визначення і двох частин: «прямокутник «- обумовлений поняття і «паралелограм з прямим кутом «- що б поняття. Зв’язка «є «(іноді замість «прямокутник є… «кажуть «прямокутником називається… ») означає тут, термін «прямокутник «(знову запроваджений) позначає те поняття, як і вираз «паралелограм з прямим кутом », складене раніше вже відомих термінів («паралелограм », «прямий кут »).

Анализируя що б поняття «паралелограм з прямим кутом », виділяємо поняття «паралелограм «(найближчий рід) і вміння «наявність прямого кута «(видове відмінність). Назва «найближчий рід «виправдано тим, що ні виділено інше поняття, обсяг якого входить у безліч паралелограмів і включає безліч прямокутників. Якщо ми визначили прямокутник як чотирикутник, яка має протилежні боку попарно паралельні й є прямий кут, ми змогли б отримати, як видно, більш громіздке визначення саме оскільки поняття «чотирикутник «перестав бути найближчим родом для прямокутника (є поняття «паралелограм », обсяг якого входить у безліч чотирикутників і включає безліч прямокутників), і тому ускладнилося характеристичне властивість (видове відмінність).

Общая схема визначення «через найближчий рід і видове відмінність «то, можливо записана мовою множин (класів).:

В={х | x Проте й Р (х)}.

(класс У складається з об'єктів x, що належать, А — найближчому роду — і властивістю Р — видовим відзнакою).

В прикладі У — визначається клас прямокутників (чи властивість «бути прямокутником »), А — клас паралелограмів (чи властивість «бути параллелограммом »), Р — властивість «наявність прямого кута » .

Такое визначення є явним визначенням, де чітко (явно) виділено обумовлений і що б поняття. Воно дозволяє нам замінити при необхідності одне поняття на інше. Найчастіше такий заміною користуємося ми у доказах теорем.

Однако в усіх математичні поняття можуть визначатися в такий спосіб. Процес формально-логічного визначення, з наведеного вище прикладу, є процес відомості одного поняття до іншого, з ширшим обсягом, другого — до третьому, з Росією ще ширшим обсягом, тощо. буд. Процес відомості може бути нескінченним. Мають бути деякі вихідні, початкові поняття, які неопределяемы через інші поняття даної теорії, тому що їм не передують ніякі інші поняття цієї теорії. У процесі повинні створюватися такі педагогічні ситуації, які чи допомогли б учням відкрити характерну особливість системи математичних понять, пов’язану з дедуктивним побудовою теорії. З цією метою можна використовувати різний конкретний матеріал. Наприклад, можна побудувати таку послідовність визначень:

П1: квадрат — ромб з прямим кутом;

П2: ромб — паралелограм із рівними суміжними сторонами;

П3: паралелограм — чотирикутник, яка має супротивники попарно рівнобіжні;

П4: чотирикутник — багатокутник з чотирма сторонами;

П5: багатокутник — постать, обмежена замкнутої ламаної лінією;

П6: постать — безліч точок.

Как видно, цей процес відомості одних понять решти сягає понять «безліч «і «точка », затверджені за початкові і саме тому не визначаються через інші поняття.

Итак, початкові, вихідні поняття не визначаються явно через інші поняття даної теорії. Однак це, значить, що Вони аж ніяк не визначаються. У аксіомах виражаються основні властивості вихідних понять та відносин між ними, якими сповна користуються за розгортання теорії з урахуванням цих аксіом, т. е. при доказі теорем й визначенні інших (визначених) понять. Тому системи аксіом можна як неявні, непрямі визначення вихідних понять. Отже, коли говорять, наприклад, що поняття «точка «і «пряма «- вихідні поняття і тому визначаються, треба це розуміти точніше: «не визначаються явно через інші поняття » .

Один і хоча б розділ шкільного курсу математики може будуватися з допомогою різних систем понять, різняться між собою порядком запровадження понять чи самими поняттями. Вибір вихідних понять не визначає однозначно послідовність вивчення понять системи. Система понять виявляється лише частково упорядкованим. Наприклад, у традиційній системі понять стереометрії такі поняття, як «кут перехресних прямих «і «перпендикулярність прямих і площин », можуть вивчатися у кожному порядку. У підручнику А. П. Кисельова кут перехресних прямих вивчався після перпендикулярности і тому перпендикулярність прямих у просторі, ознака перпендикулярности прямий і площині, теорема про три перпендикулярах формувалися лише приватних випадках. Таке розташування матеріалу учні вивчали теорему про три перпендикулярах тільки до випадку, коли пряма на площині проходить через підставу похилій, і змогли побачити її використання у завданнях, де пряма на площині не проходить через підставу похилій. Здебільшого випадків саме що ситуація зокрема у завданнях.

Об визначенні втрачає сенс говорити, істинно воно чи брехливо. Визначення може бити правильним (коректним) чи неправильним (некоректним) залежно від цього, задовольняє воно чи ні певним вимогам.

Важнейшим вимогою, що ставляться до визначень, є зачарованого кола. Порушення цієї вимоги в тому, що обумовлений міститься (явно чи неявно) у визначальному. Наприклад, фрази: «Рішення рівняння — те число, що є його рішенням », «Такими називаються постаті, які між собою подібні «- що неспроможні служити визначеннями рішення рівняння та інших постатей відповідно, позаяк у кожному з цих пропозицій міститься порочне коло.

Порочный коло може зараховуватися немає окремому визначенню, а до двох або декільком визначень. Наприклад, у двох визначеннях: «Кут називається прямим, якщо її боку взаємно перпендикулярні «і «Дві прямі взаємно перпендикулярні, якщо вони утворюють прямий кут «- є порочне коло, позаяк у одному поняття прямого кута визначається через перпендикулярні прямі, а іншому це друге поняття визначається через перше.

Другое важливе вимога, виконання якого треба для коректності визначення, — це відсутність омонімії: кожен термін (символ) повинен зустрітися трохи більше одного десь у ролі що визначається. Порушення цієї вимоги призводить до того, що і той ж термін (символ) позначає різні поняття, т. е. порушується одне із принципів вживання символів чи термінів як імен.

Определенные мовні висловлювання (символи штучного мови чи терміни, слова чи групи слів природної мови) виконують функцію позначення. Вони сопоставляются певним класам об'єктів (речей, відносин) чи його уявним образам (поняттям) як назв, імен.

Связь імен із їх значеннями (з обозначаемыми ними об'єктами) відбиває зв’язок мислення з промовою. Формування понять можливе лише за умови їх іменування, т. е. приписування їм певних імен. Тому важливо нагадати принципи коректного вживання імен.

1) Принцип предметності: пропозицію говорить про предметах, чиї імена зустрічаються у тому пропозиції (а чи не про їхнє іменах). Наприклад, пропозицію «3 < 5 «свідчить, що кількість, позначене цифрою 3, менше ніж, визначеного цифрою 5, т. е. говорить про числах, а чи не про їхнє іменах, можна зустріти у тому пропозиції; пропозицію «Трикутник — багатокутник «свідчить, що клас об'єктів, які охоплюють терміном «трикутник », є подклассом класу об'єктів, які охоплюють терміном «багатокутник », т. е. свідчить про об'єктах, чиї імена зустрічаються у тому пропозиції, та не самих цих іменах.

2) Принцип однозначності: кожен символ (термін), вживаний у ролі імені, позначає трохи більше одного об'єкта, інакше кажучи, кожне ім'я має більш одного значення. Чому говоримо, що кожен ім'я має точно одне значення, а говоримо: «трохи більше одного значення »? Наприклад, стверджуючи, що кількість, а не можна поділяти на 0, ми стверджуємо, що неможлива запис «а: 0 »; ця запис так само припустима, як, наприклад, запис «про: 2 ». Стверджується лише відсутність об'єкта, ім'я якого є мовне вираз «а: 0 », т. е. цей вислів перестав бути ім'ям будь-якого числа, чи це без значення.

Нарушение принципу однозначності має неабиякі наслідки, особливо у навчанні, так як і означає застосування імен із більш як одним значенням, що веде до плутанини і зміщення понятті.

3) Принцип заміни імен: пропозицію не змінює свого истинностного значення, коли одна з назв імен замінюється інакше, у яких той самий значення (т. е. синонімом).

Различные імена однієї й тієї ж предмета часто по-різному характеризують його, з допомогою різноманітної інформації про неї. У разі кажуть, що імена мають один і той ж значення, але різні сенси. Наприклад, сама й той самий пряма може позначатися символом «а «чи символом «АВ ». Перше з цих именпростое ім'я, довільно закрепляемое за прямий (ми можемо позначити цю пряму буквою b), аналізованих як неподільне. Друге ім'я «AB «- складене ім'я, що містить інші імена («A », «У ») у своїх частин 17-ї та що має будовою, відбиваючим той спосіб, яким вона позначає предмет (пряму, яка стелиться через точки Проте й У). Зрозуміло, друге, складене ім'я має більшої пізнавальної цінністю. Воно повідомляє нам, що позначена цим ім'ям пряма проходить через точки Проте й У.

Таким чином, щодо іменування беруть участь три різних поняття: «ім'я », «значення імені «, «сенс імені «. Кажуть, що ім'я називає своє значення і своє свій сенс (або він має такоето значення і такий-то сенс), а сенс визначає значення.

Из сказаного слід, що треба розрізняти висловлювання «Немає сенсу «і «Не має значення ». Наприклад, у сфері натуральних чисел ім'я «корінь рівняння x + 4 = 3 «має значення. У той самий що час цей ім'я має ясний сенс: це така кількість, що тепер після підстановки його замість x на даний рівняння зліва і від знака рівності вийдуть імена однієї й тієї ж числа. Точнісінько також у області дійсних чисел ім'я « «не має значення, але є сенс (така кількість, що тепер після спорудження їх у квадрат вийде число — 4) чи ім'я «2: 0 «має значення, однак має сенс (число, яке, будучи помножене на 0, дає 2).

В шкільному викладанні необхідно старанно стежити, щоб вжиті терміни і символи мали певні зміст і значення.

Не все явні визначення можна зарахувати до визначень через найближчий рід і видове відмінність. Наведемо приклади:

(1) «Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна будь-який прямий цьому відношенні «,.

(2) «Кількість, а ділиться на число b, якщо є число з таке, що, а = b * з » ,.

В кожному з цих визначень нове ставлення (обумовлений) визначається через раніше відомі відносини (що визначають): перпендикулярність прямий і в пласкості - через перпендикулярність прямих, ставлення «ділиться на «- через ставлення «бути твором ». Всі ці визначення є явними, але у них не можна виокремити найближчий рід і видове відмінність.

Применяемый тут знак « «читається: «означає з визначення «чи «тоді й тільки тоді з визначенню » .

Добавление «з визначення «істотно оскільки, хоча словесні формулювання явних визначень мають вигляд оповідальних пропозицій, цих пропозицій не висловлюють висловлювання (тому, що не термін «висловлювання «розуміється в математичної логіці), оскільки безглуздо говорити про їхнє істинності чи помилковості. Тому, зокрема, немає сенсу їх доводити чи спростовувати. З логічного погляду словесні формулювання визначень ближче до наказовим, ніж до оповідальним пропозицій, їх так можна трактувати як накази чи дозволу користуватися одним вираженням (визначальним) замість іншого, більш громіздкого (визначального).

Знание визначення ще гарантує засвоєння поняття. Одне з аспектів формалізму в математичних знаннях якраз і у цьому, деякі учні, знаючи точну формулювання визначення, не розпізнають визначається об'єкт у різних ситуаціях, де зараз його зустрічається. Тому методика навчання має розробляти систему роботи з визначеннями, аби здолати кривду можливий формалізм у тому засвоєнні.

Важное місце у цієї роботи займає навчання розпізнаванню об'єкта, відповідного даному визначенню, і побудові різноманітних контрпримеров. З цією метою необхідно чітко уявити собі структуру визначення.

Под структурою визначення, побудованого за схемою А (х) В (х) розуміють структуру її правої частини, т. е. пропозиції «У ». У шкільної математиці зустрічаються визначення різної структури, інколи досить складної, і що складніше структура визначення, тим паче ретельної мусить бути робота з його роз’яснення, із запобігання формального засвоєння.

Одна з найпоширеніших структур визначень — конъюнктивная структура.

Пока індуктивні визначення не часто трапляються в шкільному навчанні, але, враховуючи їх стала вельми поширеною і значення у математиці (рекурсивні функції - одна з математичних уточнень інтуїтивного поняття алгоритму), можна припустити, що їхнє застосування у навчанні математиці буде поступово разширяться.

Мы згадували у тому, що відсотковий вміст поняття розкривається з допомогою визначення (явного чи неявного), а обсяг — з допомогою класифікації.

Часто класифікація складається з багатоступінчастого розбивки безлічі об'єктів на два десь із класу допомогою деякого властивості (двучленное розподіл, чи «дихотомія », в термінах класичної логіки).

Методически корисними можуть опинитись і схеми без слів.

Для наочного уявлення класифікації можна скористатися й дуже званими діаграмами Эйлера — Венна, у яких різні класи об'єктів зображуються як множин точок, обмежених простими замкнутими лініями.

С допомогою діаграм Эйлера — Венна можна виконати широке розмаїтість вправ, сприяють систематизації знань учнів, правильному розумінню відносин між різними поняттями. Вони є також апаратом для аналізу деяких класів міркувань (про які піде далі).

Значение діяльності з класифікації (однієї з важливих видів розумової діяльності) далеко за межі засвоєння математичних знань. Необхідність класифікувати виникає у будь-якій галузі людської діяльності. Цьому потрібно вчити в школе.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.