Полный курс лекцій з математике

МАТЕМАТИКА.

Тема 1. Роль математики світі. Основні етапи становлення математики. Тема 2. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії. «Почала» Евкліда — зразок наукового методу. Історія створення неевклідової геометрії. Тема 3. Історія розвитку науки про кількість. Комплексні числа і дії з ними. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Тема 4. Аналітична геометрія. Координатний метод. Пряма лінія на площині. Тема 5. Криві другого порядку. Тема 6. Елементи лінійної алгебри. Визначники, їх властивості. Способи обчислення визначників. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь по формулам Крамера. Тема 7. Матриці. Алгебра матриць. Тема 8. Поняття безлічі. Перетин множин, об'єднання множин, безлічі на числової прямий. Тема 9. Математичний аналіз. Функція. Класифікація функцій. Тема 10. Межа функції. Теореми межі функцій. Чудові межі. Поняття безперервності функції. Тема 11. Похідна і диференціал. Тема 12. Поняття первообразной. Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених з дитинства інтегралів. Тема 13. Певний інтеграл, його властивості. Формула Ньютона — Лейбніца. Тема 14. Невласні інтеграли. Невласні інтеграли із безкінечними межами інтегрування. Невласні інтеграли від розривних функцій. Тести.

Литература

.

Базова навчальну літературу до курсу:

1.Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Короткий курс вищої математики. — М.: Наука, 1975 р. 2. Минорский В. П. Збірник завдань із вищу математику — М.:Наука, 1975 р Тема 1. Роль математики світі. Основні етапи становлення математики.

Метою вивчення математики є - підвищення загального кругозору, культури мислення, формування наукового мировоззрения.

Математика — наука про кількісних відносинах і просторових формах дійсного мира.

Академік Колмогоров О. Н. виділяє чотири періоди розвитку математики: зародження математики, елементарна математика, математика змінних величин, сучасна математика.

Початок періоду елементарної математики належать до VI—V вв.іці до нашої ери. Був нагромаджено на той час досить великий фактичний матеріал. Розуміння математики, як самостійної науки виникло вперше у Стародавньої Греции.

Протягом цієї періоду математичні дослідження мають справу лише з досить обмеженим запасом основних понять, що виникли для задоволення найпростіших запитів господарському житті. Розвивається арифметика — наука про числе.

У період розвитку елементарної математики з’являється теорія чисел, зросла поступово з арифметики. Складається алгебра, як буквене літочислення. Узагальнюється працю значної частини математиків, котрі займаються рішенням геометричних завдань в струнку і сувору систему елементарної геометрії - геометрію Евкліда, викладену у його чудовою книзі «Почала» (300 років до зв. э.).

У XVII столітті запити природознавства і техніки увінчалися створенням методів, дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних постатей. З вживання змінних величин в аналітичної геометрії й створення диференціального і інтегрального обчислення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введена Ньютоном і Лейбніцем поняття «нескінченно малої величини», створення основ аналізу нескінченно малих (математичного анализа).

На першому плані висувається поняття функції. Функція стає основним предметом вивчення. Вивчення функції призводить до основним поняттям математичного аналізу: межі, похідною, диференціалу, интегралу.

На той час належить і поява геніальною ідеї Р. Декарта — методу координат. Складається аналітична геометрія, що дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри та якісного аналізу. З іншого боку метод координат відкрив можливість геометричній інтерпретації алгебраїчних і аналітичних фактов.

Подальший розвиток математики привело на початку ХIX століття до постановки завдання вивчення можливих типів кількісних взаємин держави і просторових форм з досить загальної точки зрения.

Зв’язок математики природознавства набуває дедалі складніші форми. Виникають нові теорії. Нові теорії виникають у результаті запитів природознавства і техніки, а й у результаті внутрішньої потреби математики. Чудовим прикладом такий теорії є «уявна геометрія» М. І. Лобачевського. Розвиток математики XIX і XX століттях стаття дозволяє віднести її на період сучасної математики. Розвиток самої математики, «математизація» різноманітних галузей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, прогрес обчислювальної техніки призвели до появи нових математичних дисциплін, наприклад, дослідження операцій, теорія ігор, математична економіка і другие.

У основі побудови математичної теорії лежить аксіоматичний метод. У основу наукової теорії кладуться деякі вихідні становища, звані аксіомами, проте інші становища теорії виходять, як логічні слідства аксиом.

Основними методами в математичних дослідженнях є математичні докази — суворі логічні міркування. Математичне мислення не зводиться тільки в логічних розмірковувань. Для правильної постановки завдання, з оцінки вибору способу її вирішення необхідна математична интуиция.

У математиці вивчаються математичні моделі об'єктів. Одна й та математична модель може описувати властивості далеких друг від друга реальних явищ. Так, те й теж диференціальний рівняння може описувати процеси росту населення і побудову розпад радіоактивного речовини. Для математика важлива не природа аналізованих об'єктів, а що існують між ними отношения.

У математиці використовують два виду умовиводів: дедукція і индукция.

Індукція — метод дослідження, у якому загальний висновок будується не основі приватних посылок.

Дедукція — спосіб міркування, з якого загальних посилок слід висновок приватного характера.

Математика відіграє в природничонаукових, інженернотехнічних і гуманітарних дослідженнях. Причина проникнення математики у різні галузі знань у тому, що вона пропонує дуже чіткі моделі вивчення навколишньої дійсності на відміну менш спільних цінностей і більш розпливчастих моделей, запропонованих іншими науками. Без сучасної математики з її розвиненим логічними і обчислювальним апаратом був би неможливий прогрес у різноманітних галузях людської деятельности.

Математика не лише потужним засобом рішення прикладних завдань і універсальним мовою науки, але й елементом загальної культуры.

Тема 2. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії. «Почала» Евклида.

— зразок аксіоматичного побудови наукової теорії. Історія створення неевклідової геометрии.

Створення дедуктивного чи аксіоматичного методу побудови науки одна із найбільших досягнень математичної думки. Воно зажадало роботи багатьох поколінь ученых.

Основні риси дедуктивного метода.

Чудовій рисою дедуктивної системи викладу є простота цього побудови, що дозволяє описати їх у небагатьох словах.

Дедуктивна система викладу зводиться: 1) до переліку основних понять, 2) до викладу визначень, 3) до викладу аксіом, 4) до викладу теорем, 5) до доведенню цих теорем.

Аксіома — твердження, прийняте без доказательств.

Теорему — твердження, що з аксиом.

Доказ — складова частина дедуктивної системи, це є міркування, який показує, що істинність затвердження випливає логічно з істинності попередніх теорем чи аксиом.

Усередині дедуктивної системи неможливо знайти вирішені двоє ключових запитань: 1) Про сенсі основних понять, 2) про істинності аксіом. Але це отже, що це питання взагалі неразрешимы.

Історія природознавства свідчить, можливість аксіоматичного побудови тій чи іншій науки з’являється тільки досить рівні розвитку цієї науки, з урахуванням великого фактичного матеріалу, дозволяє чітко виявити ті основні зв’язку й співвідношення, що існують між об'єктами, изучаемыми даної наукой.

Зразком аксіоматичного побудови математичної науки є елементарна геометрія. Система аксіом геометрії були викладені Евклидом (близько р. до зв. е.) в неперевершеному за значенням праці - «Почала». Цю систему в основних рисах збереглася б і по цей день.

Основні поняття: точка, пряма, площину — основні образи; лежати між, належати, рух — основні отношения.

Елементарна геометрія має 13 аксіом, які розбиті п’ять груп. У п’ятій групі одна аксіома — аксіома про паралельних (V постулат Евкліда). Через точку на площині можна навести тільки один пряму, не що перетинає цю пряму. Це був єдиний аксіома, вызывавшая потреба докази. Спроби довести п’ятий постулат займали математиків більш 2-х тисячоліть, до у першій половині 19 століття, тобто. доти, коли Миколо Івановичу Лобачевський довів у своїх працях повну безнадійність цих спроб. Нині недовідність п’ятого постулату є суворо доведеним математичним фактом.

Аксіому про паралельних Н.І. Лобачевський замінив аксіомою: нехай у даної площині дана пряма і що поза прямий точка. Через цю точку можна навести до цієї прямий, по крайнього заходу, дві паралельні прямые.

З нової виборчої системи аксіом Н.І. Лобачевський з бездоганною логічного строгістю вивів струнку систему теорем, складових зміст неевклідової геометрії. Обидві геометрії Евкліда і Лобачевського, як логічні системи равноправны.

Три великих математика о 19-й столітті майже одночасно, незалежно друг від друга дійшли одним результатам — недовідності п’ятого постулату і до створенню неевклідової геометрии.

Миколо Івановичу Лобачевський (1792−1856).

Карл Фрідріх Гаусс (1777−1855).

Янош Бойяй (1802−1860).

Доля відкриття Лобачевского.

В лютому 2004 р. Казанський Державний Університет відзначатиме 200 річчя свого існування. Ім'я Миколу Івановича Лобачевського тісно пов’язані з Казанським Університетом і як його гордость.

М. І. Лобачевський народився 1 грудня 1792 г. у Нижньому Новгороді, в 1807 році вступив в Імператорський Казанський Університет, в 1811 року закінчив його. 19 лютого 1826 року представив доповідь про своє відкритті физикоматематичного факультету. У перебігу всього життя він розвивав свої ідеї, викладених в працях «Почала геометрії», «Уявлювана геометрія» та інших. Протягом року на смерть він опублікував своєї роботи «Пангеометрия» (1855г.).

Миколо Івановичу крім наукової праці, вів величезну роботу, як професор, головний бібліотекар, декан, а пізніше — ректор Університету, за нього розгорнулося будівництво Університетського прекрасного архітектурного ансамблю. Помер 12 лютого 1856 г., не дочекавшись визнання і ідей. Ці ідеї були вороже зустрінуті навіть відомими математиками на той час. Ідеї Н.І. Лобачевського далеко випередили своє час, але не всі розвиток науки підготувало їх неминуче торжество. Через п’ятнадцять років його смерті його відкриття стало загальновідомим і визначило століттям вперед розвиток геометричній науки, справила сильне впливом геть інші розділи математики, стало одній з передумов глибокого перетворення фізичних поглядів на просторі і времени.

Тема 3. Історія розвитку науки про числе.

Складність цивілізації, як у дзеркалі відбивається у складності використовуваних нею чисел. Дві з тисячі років тому вони вавілоняни задовольнялися натуральними числами, підраховуючи свої кілька овець, сьогодні економісти користуються метричної алгеброю для описи взаємозв'язків сотень предприятий.

Числові системи, застосовувані у математиці, може бути розчленовані на п’ять головних щаблів: 1) безліч цілих позитивних чисел — натуральне безліч N 2) відносні числа, які включають позитивні числа, негативні числа і нуль; 3) раціональні числа, куди входять цілі числа і дробу; 4) справжні числа, включаючи ірраціональні числа, тобто. числа, які можна безкінечною неперіодичної десяткової дробом, такі як? , [pic], [pic] тощо. 5) комплексні числа, що запроваджують в розгляд «нещире число» [pic].

Історія розвитку числа цілої числа до ірраціонального знайома нам по шкільного курсу.

З епохи Відродження математики використовують числа виду z = x+iy на вирішення квадратних рівнянь, дискриминант які мають негативний, де і =[pic], iІ = -1, x і в — речові числа.

Саме число z = x + і y називається комплексним, а і =[pic], мнимої одиницею. Не можна назвати число і ні позитивним ні отрицательным.

«Удавані числа — разючий політ духу Божого» — писав Ляйбніц в 1702 року. Сьогодні комплексні числа надійно ввійшли в математичний апарат. Мовою комплексних чисел написані багато праці з математиці, фізиці, технике.

Приклад. Знайти коріння рівняння хІ+x+1=0.

1) Знаходимо дискриминант Д= 1 — 4 = -3 < 0; 2) Знаходимо коріння рівняння х[pic] = (-1+[pic])/2 = (-1+i[pic])/2;

х[pic] = (-1-[pic])/2 = (-1-i[pic])/2; Це рівняння має комплексні коріння, де і =[pic].

Отже, число z = x + і y називається комплексним числом. x = Rez — називається речовинної приватної числа, y = Im z — називається мнимої приватного числа, x і в — речові числа.

Наприклад, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 — речовинна частина числа, Im z = 3 мнима частина числа.

2) z = -15 + і, Rez = -15 — ввещественная частина числа, Im z =1 — мнима частина числа.

Властивості комплексних чисел 1. Комплексне число одно нулю тоді й тільки тоді, коли рівні нулю його речовинна і мнима частини, тобто. z = 0 Rez = х=0, Im z =у=0.

(- знак еквівалентності, чи усунути слова «тоді й тільки тоді», необхідне й досить). 2. Якщо мнима частина числа Im z =у=0, то z = x є речовинне число, тобто. речові числа є частиною комплексних чисел.

Наприклад,. z = 5+i0 = 5. Несправжня частина числа 5 дорівнює 0. 3. Два комплексних числа рівні тоді й тільки тоді, коли відповідно рівні їх речові й удавані частини. Нехай. z[pic] = х[pic]+iy[pic], z[pic] = х[pic]+iy[pic], z[pic] = z[pic] якщо х[pic] = х[pic] і y[pic]= y[pic]. 4. Безліч комплексних чисел неупорядковане безліч, тобто. з цих двох комплексних чисел не можна вказати наступне і попереднє. Між двома комплексними числами не можна поставити знаки нерівності >или.