Лекции по лінійної алгебрі (МГИЕМ, ФПМ)

ГРУПИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

1.Перемещения.

Нехай X — безліч всіх точок прямий [pic], площині [pic] чи тривимірного простору [pic]. Означимо через d (P, Q) відстань між точками P і Q безлічі X. Відображення f: X (X f (P) = (називається переміщенням, для всіх P і Q d (P, Q) = d ((, ().

Примеры.

1. нехай у [pic] обрано права декартова прямокутна система координат (x, y) з початком Про. Поворот [pic] площині на кут (навколо точки Про задається формулами (= [pic]R. Тут (= [pic], R = [pic]. Вочевидь, поворот є переміщенням площині. Зазначимо, що [pic](О) =Про, тобто точка Про залишається нерухомій при повороті. Аналогічно, в [pic] можна розгледіти поворот [pic]на кут (навколо осі, заданої одиничним вектором (і точкою Про. Легко перевірити, що це переміщення задається формулою: (=Rcos (+ (R (()sin (+((1-cos ()(R ((). Усі крапки осі повороту є нерухомими. 2. Переміщенням буде зрозумілою і паралельний перенесення [pic] на вектор v, Очевидно,.

(= R +v. Нерухомих точок перенесення немає. 3. Нехай l деяка пряма в [pic]. (Дзеркальне) відбиток [pic] щодо цієї прямий є переміщенням. Якщо декартовой прямокутної системі координат рівняння прямий має вигляд y = tg ((/2) x, то відбиток задається формулою: (= [pic]R. Аналогічно, якщо (деяка площину в [pic], то відбиток [pic] щодо цьому відношенні буде переміщенням. Якщо n одиничний вектор нормальний до площині (, що проходить через початок координат, то (= R — 2(R (n)n .

Перенесення і відображення (приклади 2 і трьох) можна розглядати і в [pic]. 4. Композиція U (V (послідовне виконання) двох переміщень U і V знову переміщенням: (U (V)(P) = U (V (P)). Наприклад, [pic] = [pic]([pic] = (- тотожне перемещение.

2. Зв’язок із лінійними операторами.

Теорему 1 Нехай f: X (X — переміщення, A, B, З, D — точки X, f (A) = (тощо. Якщо AB = CD (як вільні вектори), то ((= ((.

Доказательство. Досить перевірити, що за умови теореми чотирикутник ((((є параллелограммом. Нехай Про точка перетину діагоналей AD і BC. Належність точки Про відтинку АD рівносильне рівності: d (A, O) + d (O, D) = d (A, D). Коли щодо образів цих точок має місце аналогічне рівність d ((, () + d ((, () = d ((, (), бачимо, що (лежить відрізку ((і ділить його навпіл, оскільки d ((, () = d (A, O) = ½ d (A, D) = ½ d ((, (). Аналогічно, (лежить на жіночих ((і ділить його навпіл. Отже, ((((- паралелограм. З теореми 1 слід, що й [pic] - простір вільних векторів, то будь-кого переміщення f: X (X визначено відображення: f*: V (V. Зазначимо, що й Про — деяка фіксована точка X, то тут для будь-який точки P точка f (P) виходить з (перенесенням на вектор f*(OP). Звідси випливає, що переміщення f однозначно визначається відображенням f* і точкою (. Теорему 2. Відображення f* є лінійним оператором у і зберігає скалярне твір. Доказ. Властивість f*(u + v) = f*(u) +f*(v) випливає з визначення складання векторів: якщо u = AB, v = BC, то u + v = AC. Бо за переміщенні будь-який трикутник ABC перетворюється на рівний трикутник, то зберігаються як довжини, а й кути між векторами, отже, і скалярне твір. Нарешті, використовую збереження скалярного твори, маємо: [pic]= [pic]- 2[pic]+ [pic] = [pic]- 2[pic]+ [pic]=0. Отже, f*((v) = (f*(v), то є відображенням f* лінійно. Слідство Відображення [pic] евклидова простору V, що має властивістю [pic] є лінійним оператором і зберігає скалярне твір. Як відомо, оператор в конечномерном просторі визначається своєї матрицею. Матриця A оператора, сохраняющего скалярне твір, називається ортогональної і має такі властивості: Матриця, А невырождена, більше det (A) = [pic]1. Оператори з визначником 1 зберігають орієнтацію простору, і з визначником (- 1. 1) змінюють в протилежну. 2. Усі власні значення A — комплексні числа по модулю рівні 1. З іншого боку, відомі найпростіші форми ортогональних матриць в ортонормированном правом базисі. Ці найпростіші форми зазначені у наступній таблице:

|dimV |det (A) = 1 |Название|det (A) = -1 |Назва| |1 |(= (1) |Тождест-|(= (-1) |Отраже-н| | | |венний | |не | | | |оператор| | | |2 |[pic]=[pic] |Поворот |[pic]=[pic] |Отраже-н| | | |на кут | |не | | | |(| | | |3 |[pic]=[pic] |Поворот |[pic]=[pic] |Зеркаль-| | | |на кут | |ный | | | |(навколо| |пово-рот| | | |OZ | | |.

Замечание 1. З огляду на зв’язок між переміщенням f і оператором f*, можна стверджувати, що в підходящої декартовой системі координат має місце формула: (= АR + v, де, А — одне з матриць з таблиці, а v — певний вектор. Отже, всяке переміщення f має зворотне [pic], яке задається формулою R = [pic]((- v) = [pic](- [pic]v. Оскільки матриця [pic] - ортогональна, зворотне відображення є також переміщенням. Зазначимо ще, що з будь-якої ортогональної матриці P і жодного вектора w перетворення (= PR + w є переміщенням. Зауваження 2. Є велика різниця між математичним поняттям переміщення і фізичним поняттям руху. У другий випадок мають на увазі безупинне у часі зміну розташування точки, тоді як і першому фіксуються лише його початкова й кінцеве становища. Пересування з det (A) = 1 можна уявляти собі як і руху, тоді як із det (A)= -1 таке уявлення неможливо, якщо залишатися у межах вихідного простору X.

3. Класифікація перемещений.

Нагадаємо, що нам відомі деякі переміщення. Переміщеннями прямий [pic]являются тотожне перетворення I, перенесення [pic] на вектор v і відбиток [pic] щодо точки Про. Для випадку площині [pic] переміщеннями будуть вже згадані I і [pic], а також поворот [pic] навколо точки Про на кут (і відбиток [pic] щодо прямий l. Визначимо додатково ковзне відбиток [pic]как комбінацію відображення щодо прямий l з перенесення на вектор v ((l. Нарешті, для простору [pic]мы маємо переміщення I і [pic], крім того поворот [pic]вокруг осі, заданої точкою Про поодиноким котрі спрямовують вектором (на кут (і відбиток [pic] щодо площині (. Визначимо додатково дзеркальний поворот [pic] як комбінацію відображення щодо площині, заданої точкою Про і вектором нормальний n з поворотом [pic] і ковзне відбиток [pic] - композицію відображення. [pic] щодо площині (й переносу на вектор v (((. Нарешті, визначимо гвинтове переміщення [pic] як комбінацію повороту [pic] і паралельного перенесення вектор h (. Зазначимо, що з зазначених вище переміщень є приватними випадками інших. Наприклад, тотожне переміщення так можна трактувати як перенесення у нульової вектор (чи як поворот на нульової кут), відбиток [pic] є приватною випадком ковзаючого відображення [pic] при v = 0 тощо. буд. Теорему 3. Кожне переміщення f в [pic](n = 1, 2, 3) суть один з наступних: 1. n = 1 [pic], [pic] 2. n = 2 [pic], [pic], [pic] 3. n = 3 [pic], [pic], [pic]. Доказ. Як зазначалося, можна вибрати такий ортонормированный базис, що переміщення f має вигляд (= АR + v, де v — певний вектор. Якщо змінити початок координат: R = r + u, (= (+ u, отримуємо: (= Ar + (, де (= Auu +v = (A — E) u + v .Ми, що й число 1 перестав бути власним значенням матриці А (чи, якщо хочете, оператора f*), можна вибрати u отож у нову систему координат (= 0. (Оскільки матриця A — E невырождена). Тим самим було твердження теореми доведено n=1 і за n=2 в разі det (A) = 1 (оскільки власні значення [pic] суть exp ([pic]i ()(1 при ((((n). Що стосується матриці [pic] можна домогтися, щоб (= [pic], що зумовлює що ковзає відображенню [pic]. Для матриці [pic] при ((((n отримуємо (= [pic], і ми дійшли гвинтовому переміщенню [pic]. (При (=((n ми приходимо до переносу). Нарешті, для [pic]при ((((n вважатимуться (= 0, що призводить до дзеркального повороту [pic], а при (=((n — (= [pic] виходить ковзне відбиток [pic]. Зауваження. (про параметрах переміщень) Параметр [pic] для повороту площині [pic] вважатимемо змінюваним mod ((т. е. [pic] = [pic]. Така ж угода використовуватимемо й у винтового переміщення [pic]при h > 0. Якщо ж h = 0, і йдеться про повороті у просторі, слід враховувати, що [pic] = [pic]. Зокрема, [pic] = [pic] (відбиток щодо прямий паралельної (і що проходить через Про). Аналогічно, [pic] = [pic]. Якщо за цьому (((це перетворення залежить від вектора n і є відбитком щодо точки О.

4* Композиції 1.

Теорема 4 Якщо f і g два переміщення X, а f*, g* - відповідні оператори в V, то (f (g)* = f*g*(Символом (позначена композиція переміщень). Доказ. Використовуємо координатну форму записи: f (R) = AR + v, g (R) = BR + w. Тоді: (f (g)(R) = f ((g (R)) = f (BR + w) = A (BR +w) +v = (AB)R + (Aw + v). Отже, (f (g)* = AB = f*g*. Слідство. Композиція двох переміщень з визначниками одного знака має визначник (+1); якщо знаки визначників протилежні, композиція має визначник (-1). Обчислення композиції переміщень простору [pic] бракує труднощів. Зазначимо лише, що [pic]([pic] = [pic], де v =2AB. Для випадку простору [pic]удобно використовувати комплексні числа. Ототожнюючи його з точками площині, отримуємо зручний спосіб записи переміщень. Наприклад, поворот [pic] можна записати як: z ([pic]z + з. Крапка Про є нерухомій і відповідне комплексне число [pic] перебуває з рівняння [pic]= [pic][pic] + з, звідки [pic]= с/(1-[pic]). Отже, [pic] Зазначимо, що [pic]=[pic] при ((((((mod ((). У той самий час при (((= 0 зазначена композиція буде перенесенням на вектор AD, де D = [pic]. Перетворення z ([pic]+c є ковзним відбитком щодо прямий Im ([pic]= 0 на вектор 0,5 (з + [pic]). Якщо пряма l проходить через точку [pic] і його спрямовує вектор (аналізований як комплексне число) має аргумент [pic], то переміщення [pic]можно записати як [pic] Композиція двох що ковзають відображень щодо від перетинання прямих буде поворотом. У той самий час, якщо прямі рівнобіжні, композиція — перенос.