Многообразия алгебраїчних систем

Многообразия алгебраїчних систем.

Л. М. Шеврин.

Алгебраической системою називається безліч, у якому заданий певний набір алгебраїчних операцій; операцій на цьому наборі то, можливо як кінцеве число (зокрема, одна), і нескінченно багато. Розуміння висловленої визначення передбачає знання математичних понять числа й алгебраїчній операції. З огляду на переважно читателя-нематематика, я — не буду тут заглиблюватися та послідовно приводити відповідні роз’яснення, а проілюструю визначення на кількох, сподіваюся, цілком зрозумілих прикладах. Безліч N всіх натуральних чисел так можна трактувати як алгебраїчну систему з одного операцією складання; чи з одного операцією множення; чи з набором з цих двох зазначених операцій; чи, наприклад, з набором, яка полягає з цих двох зазначених операцій та нескінченного безлічі операцій спорудження довільного числа в різні ступеня з натуральним показником. Отже, один і той ж безліч (у цьому прикладі - N) то, можливо перетворено на різні алгебраїчні системи. На безлічі всіх цілих чисел чи безлічі всіх дійсних чисел можна крім перелічених операцій розглядати, наприклад, операцію вирахування. Різні алгебраїчні операції природно розглядати як на числових безлічах, а й, наприклад, на безлічах векторів, функцій, матриць, ланцюжків сигналів і багатьох інших безлічах, службовців предметом уваги і вивчення у різних розділах математики і його додатків. Тим самим було ясно, що різноманітних алгебраїчні системи дуже поширені в «математичному світі «.

Алгебра, що є однією з найважливіших областей математики, в ХХ столітті сформувалася саме як наука про алгебраїчних системах. При цьому ній вивчаються й поліпшуючи властивості конкретних алгебраїчних систем, й різноманітні загальні властивості алгебраїчних систем, висловлені в термінах заданих ними операцій. Одне з найважливіших мов висловлення властивостей алгебраїчних систем є мову тотожностей. Тотожністю називають рівність буквених висловів, справедливе попри всі значеннях назв літер. Поняття тотожності вважатимуться унікальним по «дистанції «, охватываемой їм у математиці, — від найбільш початкових фактів, із якими знайомляться младшеклассники, до великих наукових досягнень останнього часу й відкритих проблем.

Простейшие приклади тотожності доставляє то властивість складання і множення натуральних чисел, що називається коммутативностью і який у шкільництві прийнято називати переместительным законом. Відповідні тотожності записуються добре відомими формулами.

x + y = y + x, x · y = y · x. (1).

В шкільному курсі до переместительному закону невдовзі додається сочетательный, що означає виконання для зазначених операцій cвойства асоціативності, т. е. тождеств.

(x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z). (2).

Позднее констатується так званий розподільний закон, що означає виконання тотожностей дистрибутивности.

x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x. (3).

Указанные тотожності поширюються більш широкі числові безлічі: на цілі числа, раціональні, справжні. Для числових множин в шкільної математиці відзначаються та інші тотожності, зазвичай, виведені з більш простих, серед яких, звісно, тотожності (1)-(3). Типові приклади таких тождеств:

(x + y)2 = x2 + 2· x·y + y2, x2 — y2 = (x + y) · (x — y) .

Имеется чимало прикладів важливих тотожностей (як у межах шкільної математики, і особливо поза цих рамок), у яких беруть участь інші операції, задані на числових і нечисловых безлічах. Можна сміливо сказати, що тотожності є неодмінними учасниками багатьох математичних викладок, й у величезному числі робіт, які стосуються найрізноманітнішим областям математики, однак має справу з тождествами алгебраїчних систем. Слід зазначити, що всі основні типи алгебраїчних систем і визначаються термінах тождеств.

Так, полугруппа — це безліч з одного асоціативної операцією; Якщо ця операція позначена, скажімо, символом °, то асоціативність означає виконання тождества.

(x ° y) ° z = x ° (y ° z) .

В частковості, якщо вона операція названа складанням [множенням], то полугруппа визначається першим [другим] з тотожностей (2); цим, наприклад, безліч N всіх натуральних чисел є полугруппой і щодо складання, і щодо умножения.

Группа може бути оцінена як полугруппа (з операцією, визначеної, скажімо, символом °), де задана додаткова операція, сопоставляющая кожному елементу x елемент, обозначаемый, скажімо, x ", причому крім тотожності асоціативності виконані тождества.

x ° x «= x „° x, (x ° x “) ° y = y ° (x ° x ») = y.

Группой, наприклад, буде безліч всіх цілих чисел, якщо як операції ° взяти складання, а роль x «відіграватиме елементx.

Кольцо окреслюється безліч з цими двома операціями, званими зазвичай складанням і множенням, і шляхом додаткової операцією, сопоставляющей кожному елементу x елементx, причому щодо складання і зазначеної додаткової операції це група, складання коммутативно, т. е. виконано перше з тотожностей (1), а складання і множення пов’язані тождествами дистрибутивности (3). Найпростіший приклад кільця — безліч всіх цілих чисел щодо звичайних операцій складання і умножения.

Очевидно, що різних тотожностей нескінченно багато, навіть якщо розглядати лише тотожності, у яких фігурує якась одна операція. Понад те, із будь-якої тотожності, выполняющегося у цій алгебраїчній системі, можна вивести нескінченно багато інших тотожностей, виконуються у тій системі. Вже ці прості міркування наводять на думка про багатстві ситуацій, у яких можуть виникати питання, пов’язані з розглядом тотожностей. (Наприклад, одне із принципових питань що така полягає в з’ясуванні того, чи можуть все тотожності, виконуються у цій алгебраїчній системі, бути виведено з кінцевого числа таких тотожностей. Це правда звана проблема кінцевого базису. Відомі приклади як позитивного, і негативного розв’язання проблеми багатьом що вивчались алгебраїчних систем, — в більшості випадків відповідні результати є вагомі досягнення у сприйнятті сучасних алгебраїчних дослідженнях*). Проблематика, пов’язана вивчення тотожностей, надзвичайно багата й обумовила формування широкого напрями досліджень, званого теорією різноманіть. Різноманіттям у цьому контексті прийнято називати всякий клас алгебраїчних систем, що може бути заданий деякою сукупністю тотожностей. Важливими прикладами різноманіть є, як випливає з сказаного у трьох попередніх абзацах, такі «великі «класи, як клас всіх полугрупп, клас всіх груп, клас всіх кілець. В кожного з неї лише нескінченно багато підкласів, також є многообразиями; вони називаються подмногообразиями. Подмногообразия будь-якого різноманіття утворюють так звану грати (це теж одна з основних типів алгебраїчних систем, але, не забуваючи про читателе-нематематике, я — не наводитиму визначення грати, яке, до речі, також може бути дано мовою тотожностей). Значна частка власності досліджень з теорії різноманіть встановлює різні зв’язки між многообразиями і гратами їх подмногообразий.

Начало розвитку теорії різноманіть алгебраїчних систем було покладено в 1935 року основної роботою американського математика Р. Биркгофа. У другій половині ХХ століття теорія різноманіть перетворилася на одна з магістральних напрямів в алгебрі. Цією теорії присвячено дуже багато досліджень, що проглядали, мабуть, у кількох тисячах робіт. Значне місце займає займає теорія різноманіть й у дослідженнях учасників єкатеринбурзької семінару «Алгебраїчні системи », керованого автором цієї статті. У доповіді на ювілейної науковій конференції Уральського університету 17 жовтня 2000 року коротко розповів про основних напрямах досліджень з теорії різноманіть, які у семінарі. Можна виділити п’ять таких напрямів: тотожності, структурні аспекти, грати різноманіть, вільні системи в многообразиях, алгоритмічні проблеми; у кожному їх, своєю чергою, природно виділяються конкретніші розділи. У доповіді було охарактеризовано типові проблеми, влади на рішення яких направлялися зусилля багатьох учасників семінару. У тому числі, наприклад, згадана у минулому абзаці проблема кінцевого базису, проблема класифікації різноманіть з тими чи інші обмеженнями на грати їх подмногообразий і чимало інших важливих проблем. Багато істотних результатів отримали учасниками семінару у кожному з п’яти зазначених направлений.

Но зміст згаданого доповіді не обмежилося рамками оголошеної теми «Різноманіття алгебраїчних систем »: у доповіді була змальована і загальну картину діяльності семінару протягом 34 років. Наступний текст даної нотатки відбиває цю, другу, частина доповіді. Семінар «Алгебраїчні системи «розпочав роботу Уральському університеті у листопаді 1966 року. На той час навколо пише ці рядки згрупувалася трохи більше молодих дослідників — і виникає звичайна у разі потреба крім індивідуальних розмов із кожним регулярно зустрічатися всім спільно до обговорення отриманих результатів і взагалі до обговорення проблематики. Пізніше традицію семінару ввійшло також обговорення тез доповідей, посылаемых його учасниками різні великі конференції. Чимале увагу приділялося й виховання в молоді дослідників вміння робити наукові доповіді. Спочатку на семінарі було виплачено близько 10 постійних учасників. У наступні роки їх кількість сягала 20−25. Пік, очевидно, були 80-ті роки, коли на окремих засіданнях було присутнє до 30 людина. Із середини 80-х серед постійних учасників семінару, поруч із учнями керівника семінару, з’явилися б і учні учнів художника. Кількість таких «наукових онуків «відтоді неухильно зростає; їх підготовкою успішно займаються У. А. Баранский, Ю. М. Важенин, М. У. Волков, Є. У. Суханов.

Объектом розглядів в семінарі служить ряд основних типів алгебраїчних систем: полугруппы, групи, кільця, грати та деяких інших. У останнім часом тематика семінару збагатилася деякими питаннями, які сьогодні прийнято відносити до дискретної математиці, зокрема питаннями дискретної оптимізації. Дослідження в семінарі ведуться за цілою низкою напрямів. Теорія різноманіть становитиме із найпомітніших ліній, про дослідження у цьому напрямі коротко зазначалося. Докладніше про дослідження в семінарі розказано у статті [5], де у тому числі перераховані все дисертації, захищені учасниками семінару до 1999 року; на сьогодні захищене 45 кандидатських і побачили 8-го докторських диссертаций.

За роки існування семінару його учасниками опубліковано більш 600 статей і більше 500 тез доповідей в різних конференціях, головним чином всесоюзних та Міжнародних. У цьому більш 270 статей надрукований центральних вітчизняних математичних журналах, понад 130 видів — у міжнародних журналах чи працях міжнародних конференцій, більш 110 — в «Математичних записках Уральського університету «(яка виходили в 60−80-х роках). Зазначу узагальнюючі публікації по областям досліджень, що у семінарі приділялося особливо великого увага фахівців і у яких учасники семінару внесли помітний (а деякі неясні питання — визначальний) внесок. Це оглядові статті [6]-[13], і навіть монографії [14] і [15]; друга з монографій є непросто англійський переклад, а модифіковану і розширену версію першої. Кілька зі згаданих оглядових статей, як безпосередньо видно з їхньої назв, присвячені проблематики тотожностей та інших аспектам теорії різноманіть. У пропонованих працях бачаться все основні досягнення у відповідних областях, належать численним авторам різних країн. Глава [16] довідкової монографії із загальної алгебрі присвячена алгебраїчній теорії полугрупп загалом і дає має енциклопедичний характер розгорнутий нарис цієї теорії (включаючи додатку до теоріям формальних мов, автоматів і кодів) за станом початок 90-х. Аналогічний характер мають попередні публікації автора даної замітки у Великий радянської енциклопедії (3-тє вид.) і п’ятитомної Математичної енциклопедії (1977;1985): для першої було написано статтю «Полугруппа », для другий — цикл з 40 статей з теорії полугрупп. Нещодавно кілька учасників семінару (М. У. Волковим, А. П. Замятін і І. Про. Коряковым) під керівництвом країни та з участю автора даної нотатки підготовлений цикл з одинадцяти статей для однотомной енциклопедії «Дискретна математика », вихід якої повинна відбутися на 2001 году.

Помимо оригінальних публікацій, певна увага було приділено нами і перекладам російською мовою кількох фундаментальних зарубіжних праць в західних областях, які входять у коло інтересів учасників семінару. Це двотомна монографія [17], основним перекладачем якої було У. А. Баранский (він перевів 11 глав з 12, одна глава переведена У. Р. Житомирським), монографія [18] і навчальних посібників [19], перекладені І. Про. Коряковым. Зазначені переклади виконані під редакцією пише ці строки.

Семинар брав участь у організації кілька великих алгебраїчних конференцій, зокрема всіх трьох всесоюзних симпозіумів з теорії полугрупп, проведених у Свердловську Уральским університетом у 1969, 1978 і 1988 роках, і двох міжнародних конференціях з теорії полугрупп і його додатків на вшанування Є. З. Ляпіна, проведених у Санкт-Петербурзі в 1995 і 1999 роках (Уральський університет був співорганізатором цих двох конференцій). З учасників семінару полягала редколегія збірника невирішених проблем з теорії полугрупп «Свердловська зошит », який тричі випускався Уральским університетом після кожного всесоюзного симпозиума.

Заседания семінару відбуваються у протягом учбового року щотижня (із рідкими пропущеннями і, зазвичай, перервою на зимову сесію). До 2001 року відбулося 880 засідань. Із початком публікації випусків серії «Математика і механіка «журналу «Вісті Уральського державного університету «у яких стали публікуватися досить інформативні звіти про засіданнях семінару — з тезами багатьох зроблених у ньому доповідей. У які вийшли на сьогодні випусках цієї серії можна побачити звіти про засіданнях з 800-го по 872-е. З кінця 1960;х років крім свердловських (екатеринбургских) учасників на семінарі раз у раз виступають іногородні, і з 1989 року — й іноземні алгебраисты. Усього під час роботи семінару у ньому виступили більш 200 доповідачів, зокрема більш 120 іногородніх (з 43 міст колишнього Радянського Союзу, і 11 міст низки розвинених країн: Австралії, Австрії, Великобританії, Угорщини, Іспанії, Канади, Монголії, Польщі, США). Кілька вихованців семінару працюють у зарубіжних університетах; що з них відвідують рідного міста, використовуючи такі візити й у виступів на семінарі, де проходило їх наукове становление.

Каждое 100-те («ювілейний ») засідання семінару проходить за спеціальної програмі: обговорюються основні результати роботи семінару у попередні сто засідань і досліджень на найближчими роками, повідомляється статистика, належить доповідачам і публікаціям. 500-е засідання було особливим: ми зробили його розширеним і ми запросили багатьох чи інакше що з семінаром колег із різних міст СРСР. Номінально одне засідання насправді полягала з п’яти окремих засідань і розвивався протягом трьох днів — з 31 січня до 2 лютого 1985 року. Фактично вийшла своєрідна всесоюзна алгебраїчна конференція, у якої взяли участь понад 90 людина з 20-ти міст, зокрема більш 40 іногородніх. На розширеному 500-м засіданні було зроблено 36 докладов.

В більш-менш найближчому майбутньому бачиться день, коли семінар збереться і своє 1000-е засідання: це може бути може відбутися 2005 року. Сподіваюся, у найближчі роки учасники семінару успішно продовжать свою дослідницьку діяльність як і напрямах, стали для семінару традиційними, і, можливо, у тих чи інших нові напрями. Хочеться також сподіватися, що і далі семінар поповнюватиметься молодими исследователями.

Список литературы

1 Шеврин Л. М. Тотожності в алгебрі // Соросівський Освітній Журнал. 1996. N 7. З. 111−118.

2 Шеврин Л. М. Тотожності в алгебрі // Сучасне природознавство: Енциклопедія. Т. 3. Математика. Механіка. М., 2000. З. 17−22.

3 Волков М. У. Проблема кінцівки базису тотожностей // МІФ. Єкатеринбург, 1996/97. N 2. С.4−15.

4 Бахтурин Ю. А., Ольшанський А. Ю. Тотожності // Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрями. Т. 18. М., 1988. З. 117−240.

5 Шеврин Л. М. Про семінарі «Алгебраїчні системи «// Вісті Уральського державного університету. 1998. N 10. (Математика і механіка. Вип. 1). З. 167−173.

6 Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and their subsemigroup lattices // Semigroup Forum. 1983. Vol. 27. P. 1−154.

7 Shevrin L. N., Martynov L. M. Attainability and solvability for classes of algebras // Semigroups (Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 39. Eds. G. Pollбk, `t.Schwarz, O. Steinfeld). Amsterdam-Oxford-New York, 1985. P. 397−459.

8 Шеврин Л. М., Волков М. У. Тотожності полугрупп // Изв. вузів. Математика. 1985. N 11. З. 3−47.

9 Важенин Ю. М. Разрешимость теорій першого порядку класів полугрупп // Алгебраїчні системи та їх різноманіття. (Матем. записки УрГУ. Т. 14, тетр. 3). 1988. С.23−40.

10 Шеврин Л. М., Суханов Є. У. Структурні аспекти теорії різноманіть полугрупп // Изв. вузів. Математика. 1989. N 6. З. 3−39.

11 Kelarev A. V. Radicals of semigroup rings of commutative semigroups // Semigroup Forum. 1994. Vol. 48. P. 1−17.

12 Kharlampovich O. G., Sapir M. V. Algorithmic problems in varieties // Inter. J. Algebra and Comput. 1995. Vol.5. P.379−602.

13 Volkov M. V. The finite basis problem for finite semigroups // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2000. Vol.53, N 1. P.171−199.

14 Шеврин Л. М., Овсянников А. Я. Полугруппы та його подполугрупповые грати. Свердловськ, 1990. Ч. 1; 1991. Ч. 2.

15 Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and their subsemigroup lattices. Dordrecht-Boston-London, 1996.

16 Шеврин Л. М. Полугруппы // Загальна алгебра /Під ред. Л. А. Скорнякова. М., 1991. Т. 2. С.11−191.

17 Кліффорд А., Престогін Р. Алгебраїчна теорія полугрупп. М., 1972. Т.1, 2.

18 Лаллеман Ж. Полугруппы і комбінаторні докладання. М., 1985.

19 Лидл Р., Пильц Р. Прикладна абстрактна алгебра. Єкатеринбург, 1996.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.