Проектна геометрія

Проективна геометрія розвинулася і виділилася в особливу гілка геометричних знань у перші десятиліття 19 століття. Джерелом цього з’явилися потреби графіки й архітектури, розвиток теорії зображень в перспективе.

Так, французький геометр Понселе однією з перших виділив особливі властивості геометричних постатей, названі ним проективными.

Что за свойства?

Нехай Fдовільна постать у певній площині a, b — яка — чи інша площину, т. А — довільна точка простору, не що належить жодної площині (a і b). Крапка, отсоединенная з кожного точкою М постаті F, визначає пряму (ОМ), що перетинає площину b в деякою точці М/, що її називатимемо проекцією точки М (на площині b з єдиного центру О).

Проекції всіх точок постаті F на площину b становитимуть деяку постать F/, що називається проекцією постаті F. Операція, з допомогою якої у даної завданню з постаті F отримана постать F/ називається центрального проектування з точки Про. Якщо змінити становище точки Про і площині b ми матимемо безліч фигур (или інакше кажучи, центральних проекцій постаті F), які у чомусь будуть нагадують постать F, але у чому й відрізнятися. Наприклад, проектуючи правильний трикутник, одержимо теж трикутник, але довільній форми. Проектуючи окружність, маємо очікувати еліпс чи параболу, і навіть гіперболу. За такої проектуванні не зберігаються метричні характеристики постатей (довжина, площу і т. буд.).

Які самого штибу зберігаються? Вони зазвичай називаються інваріантами перетворення, яким у разі є перетворення проектування. Саме це властивості постатей, інваріантні стосовно такому проектування, Понселе назвав проективными властивостями, а предмет, їх вивчавпроективної геометрией.

Примеры інваріантних свойств.

1) Якщо постать чи об'єкт — пряма, то після проектування одержимо також прямую.

2) Якщо постать Fконічне перетин, тобто. описується квадратичной формою a11×2+a22y2+a12xy+a13x+a23y+a33 =0, то проекцією точок на конічному сечении ляжуть на деяке конічне перетин. Отже, окремі види конічних перетинів (окружності, еліпси, параболи, гіперболи) в проективної геометрії немає - на відміну аффинной, наприклад, де еліпс завжди піде на эллипс.

Важливою передумовою перетворення проективної геометрії в самостійну дисципліну, було введення у її слововжиток нескінченно віддалених геометричних елементів. Займемося їх определением.

Нехай, А — довільна точка простору й a — пряма, тривка через точку А. Проведемо площину a через точку Проте й пряму а. Розглянемо різноманітні прямі, які відбуваються через точку Проте й які у площині a (рис.2).

Встановимо відповідність між прямими пучка, який струменіє через Проте й точками на прямий а. Наприклад, променю m відповідає точка M. Вочевидь, що хоч би точку на прямий a ми вибрали, їй відповідає певний промінь. Проте, не можна стверджувати, будь-якому променю відповідає точка прямий a. Справді, візьмемо промінь a/, відповідної крапки над a ми знайдемо. Отже, відповідність між променями пучка та крапками прямий a перестав бути взаємно однозначними. Це не зручно при операціях проектування. Щоб усунути це незручно, умовимося вважати паралельні прямі, що перетинають на нескінченності. Тоді промінь а/ з пучка А, паралельний а, матиме в цій прямий відповідну точку, але з звичайну, а звану нескінченно віддаленій точкою. Це нова геометричний об'єкт. Усі паралельні одна одній прямі у площині a мають одну загальну нескінченно найвіддаленіші точку, тому систему паралельних прямих називають пучком із неймовірно віддаленим центром (рис.3).

Нескінченно віддалені точки непараллельных прямих у площині вважаються різними. Отже, кожна площину містить нескінченно багато різних нескінченно віддалених точок. Сукупність усіх нескінченно віддалених точок площині називається нескінченно віддаленій прямой.

Отже, кожна площину містить одну нескінченно найвіддаленіші прямую.

Отож цілком логічно сукупність всіх нескінченно віддалених прямих назвати нескінченно віддаленій площиною. Висновки: безліч об'єктів звичайного евклидова простору доповнюється новими элементами:

1) До сили-силенної точок кожної прямий додається одна нескінченно віддалена точка;

2) До сили-силенної прямих кожної площині додається одна нескінченно віддалена прямая;

3) До сили-силенної всіх площин простору R3 додається нескінченно віддалена плоскость.

Визначення: пряма доповнена нескінченно віддаленій точкою називається проективної прямой.

Проективну пряму слід представляти як замкнутої лінії. Площину, доповнена нескінченно віддаленій прямий називається проективної площиною. Простір, доповнене нескінченно віддаленій площиною називається проективним пространством.

Термін нескінченності іноді вживається й у звичайній, елементарної геометрії (наприклад, що паралельні прямі поділяють думку бесконечности), но це лише словесне вираз, в проективної ж геометрії нескінченно віддалені елементи грають ті ж самі роль, як і звичайні геометричні образи. У звичайному геометрії великій ролі грає вивчення метричних властивостей постатей (довжини, площі, кути, объемы).

У проективної, процес виміру утрачає будь-який сенс, т. до наприклад, один кінець відрізка може у нескінченності. Отже, метричні властивості постатей є проективными свойствами.

Проективна геометрія, як будь-який інший, будується на деякою системі аксіом. Усі аксіоми розбиті втричі группы:

1.Аксиомы связи:

Кратко сформулюємо їх, врахувавши, що нині у поняття будь-якого об'єкта включається нескінченно віддалені элементы.

1. Хоч би які не були дві точки Проте й У завжди є прямий, через них.

2. Хоч би які не були дві різні точки Проте й У, є до одній прямій, що проходить через них.

3. В кожній прямий є щонайменше трьох точок. Існує по крайнього заходу 3 точки, не що лежать в одній прямой.

4. Через щотри точки А, B, З не що лежать в одній прямий, проходить деяка площину a. В кожній площині є щонайменше однієї точки.

5. Через щотри точки А, B, З не що лежать в одній прямий, проходить трохи більше однієї плоскости.

6. Якщо дві точки Проте й У безпосередній, а лежать у площині a, кожен точка прямий, а у площині a .

7. Якщо дві площині a і b мають загальну точку Бо ж вони мають ще у крайнього заходу одну загальну точку.

8. Є щонайменше чотирьох точок, не лежачих в одній плоскости.

9. Кожні два прямі, які працюють у площині мають загальну точку.

Ці аксіоми повторюють аксіоми звичайній евклідовій геометрії за винятком пункту 1.9, якого там нет.

2.Аксиомы порядка:

У елементарної геометрії основою визначення порядку прямування точок на прямий закладено поняття розташування точки між двома іншими точками. Т. е. є дві точки Проте й У той неодмінно знайдеться точка З на прямий, А У, що між Проте й В.

Такий порядок розташування точок є основою запровадження координат точок на прямий (надалі на площини і у просторі), тобто. дозволяє: зробити відображення взаємного розташування точок силою-силенною дійсних чисел, запровадити одиницю измерения.

У проективної геометрії пряма є замкнута у нескінченності лінія, тому не можна визначення порядку покласти принцип: що з заданих Проте й У знайдеться точка З з-поміж них, визначальна порядок прямування точок на прямий як А, У, З. Та все ж, якесь визначення порядку точок на проективної прямий необхідно зробити хоча для запровадження ній системи координат, визначення проекції фігур у обчислювальної геометрії чи машинної графике.

На прямий у звичайній евклідовій геометрії становище точок можна було характеризувати одним числом, однієї координатою, отсчитываемой у певному масштабі від точки, прийнятої за нуль. Позаяк у проективної геометрії нескінченно віддалена точка є рівноправної з іншою точкою, то вже неможливо одним числом уявити координату цієї нескінченно віддаленій точки.

Тут ми вже, на проективної прямий походять від розгляду взаємного розташування двох пар точек.

Нехай A і B, З і D пари точок, розташовані на проективної прямий (див. мал.5). Тоді щоб поєднати точку З з іншого точкою своєї пари, тобто. CD ми на своєму шляху її за прямий обов’язково зустрінемося у якийсь момент з т. A чи т. B. Аналогічно, щоб поєднати B з A, на своєму шляху точки B вона коли-небудь співпаде з З чи D. У разі кажуть, що пара точок A і B поділяє пару точок З і D. У цьому засновані аксіоми порядку й запровадження координат на проективної прямой.

1. Хоч би якими були три різні точки A, B, З довільній прямий U, в цій прямий є така точка D, що пара A, B поділяє пару З, D.

2. Якщо подружжя A, B поділяє пару З, D; пара З, D поділяє пару A, B.

3. Хоч би якими були чотири різні точки A, B, З, D прямий може бути завжди єдиним чином складено дві роздільні пары.

Аксіоми 2.4, 2.5 стосуються взаємного розташування п’яти точок. Якщо пари С, D і З, E поділяють A, B, то D E поділяє A, У (див. мал.6). Якщо З, D і З, E не поділяють A, B, то D, E поділяє A, B (рис.7).

6. Нехай A, B і З, D пари точок прямий U, A/, B/ і З/, D/ їх проекції з жодної центру на довільну іншу пряму U/.

Тоді якщо пари A, B і З, D поділяють одне одного, то пари A/, B/ и.

З/, D/ теж поділяють друг друга.

Отже, роздільність двох пар точок є властивість, інваріантне щодо проектування. Це з інваріантів проективної геометрии.

Це властивість дозволяє упорядкувати крапки над прямий. Тож якщо дано відрізок АВ на проективної прямий, то безліч внутрішніх точок можна впорядкувати так: точка M передує точці N, якщо пара A, N поділяє пару M, B (див. мал.8). ———————————- [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].