Математическая інтуїція

Математическая интуиция

Введение

.

Еще древніх цікавило питання: як створюється нове, звідки ж береться то, що ще був вчора, хто або що є його джерелом? І вже древні намагалися на нього відповісти, створюючи грандіозні міфологічні, потім релігійно-філософські, та був і наукові картини світу. Однак стосовно творінь людини це запитання набував особливої гостроти. Бо, по-перше, шляху пошуку нового, навіть у області, часто дуже сильно відрізняються, а по-друге, здатність створювати нове властива далеко ще не всіх людей.

Деятельность людини, породжує якісно нове, оригінальний і унікальне, отримала назва творчість. Очевидно, перші спроби раціональної реконструкції творчого процесу почалися античності, причому тодішні мислителі мали в розпорядженні досить розвинену математику. Тому всі ці дослідження однак стосувалися її. Вже античні автори помітили специфічність математики, що полягала у втіленні принципів логічного послідовності висновків із прийнятих постулатів. У цьому підході вони побачили ідеал, якого треба було привести інші області знання — філософію, фізику, астрономію та інших. Однак у згодом від послуг цього відмовилися і зміну математичного ідеалу настали інші.

Дальнейшие дослідження лише підкреслили відособленість математики, унікальність її методів і висновків, що дозволяє говорити нам про Особливе вигляді творчості - математичному творчості. Нас цікавитиме питання, як здійснюється це творчість, тобто. з’являється нове у математиці, та яка роль інтуїції в появу цієї нової. З іншого боку, ми розглянемо деякі питання взаємовідносин математичної інтуїції і надзвичайно гуманітарного знания.

Интуиция в математичному творчестве.

«Чистая логіка завжди наводила б нам лише у тавтології; вона міг би створити жодних знахідок…».

А. Пуанкаре [17, стр.210].

Виды интуиции.

Во запровадження ми відзначили, що відкриття однієї й тієї ж можна протікати у різні люди по-різному. Не дивно, т.к. у кожному такому випадку ми маємо працювати з творчої індивідуальністю, яка багато чому визначається роботою унікального органу — людського мозку. Розкриття механізмів його роботи міг би дати точний у відповідь наші запитання. Але досі ці механізми залишаються загадкою. Понад те, сучасні дослідження підкреслюють складність їх розкриття. Так, І. Пригожин і І. Стенгерс наводили такі цікаві відомості: «У стадії глибокого сну в активності головного мозку можна знайти детерминистический хаос з фрактальным аттрактором в шестимерном просторі З іншого боку, може неспання конечномерный аттрактор ні ідентифікований. З погляду електричної активності ми маємо справу з істинної випадковістю» [16, стор. 78]. Це засвідчує тому, що дослідження процесу творчості через вивчення функціонування мозку неспроможна сьогодні істотно допомогти у досягненні нашої мети. Здається, цьому можна зупинятися у спробі вивчення творчості загалом і математичного — зокрема, оголосивши це завдання поки нерозв’язною. Така негативна реакція цілком природна. Проте, там куди ми доходимо розширюється до кордонів спеціального знання, куди ми усвідомлюємо принципову обмеженість цього знання і ми виникає потреба переступити межі, у нас залишається один спосіб — це гіпотеза і філософський аналіз проблеми. Тут ми встаємо на цей нелегкий шлях. Суть його залежить від вивченні свідчень суб'єктів творчості полягає і його продуктів. Як побачимо, цей шлях дозволить хоча б частково вирішити заявлені вопросы.

Исследователи давно помітили двоє геть різних магістральних шляху до розумінні математики: геометричний (чи топологічний) і алгебраїчний. Геометричний спосіб розуміння включає у собі оперування наочними ідеями, залучення креслень і малюнків, відмова, хоча на етапі самого твори, від формул і обчислень, огрубляя, можна сказати так: геометричне розуміння — це спочатку наочне уявлення, потім формула. Під алгебраїчним способом розуміють повну протилежність геометричному. Попри те що, що обидві підходу можна досить чітко ідентифікувати, вони є самодостатніми. Т. е. який завжди це може бути зведена лише у геометрії або тільки до алгебрі. Зауважимо, що історично була спроба такого сведения.

В VI в. до зв. е. піфагорійці висунули філософський принцип — «усе є число». І спробували все відомі їм закономірності зводити до числовим співвідношенням. Проте відкриття проблеми несумірності відрізків призвело до відмові цього принципу і переходу до геометричному способу міркувань. Такий їхній підхід проіснував досить довго. Наприклад, Д. Кардано (1501−1576) при виведення свої знамениті формул розмірковував приблизно таке: «…якщо куб зі стороною ?=?+х розрізати площинами, паралельними граням, на куб зі стороною? і куб зі стороною x, виходить, окрім двох кубів, три прямокутних паралелепіпеда зі сторонами ?, ?, x і трьох — зі сторонами ?, x, x; співвідношення між обсягами дает х3+3×2?+ 3х?2 +?3 = ?3 ;

для початку.

х3+3??х = ?3-?3.

параллелепипеды різних типів попарно об'єднуються." [9, стор. 27].

Т. про. виглядала звична нам викладка 3×2? +3х?2=3х? (х+?)= 3х? (з огляду на те, що х+?=?).

Переход на алгебраїчну символіку, зокрема відкриття аналітичної геометрії, істотно спростили міркування. І дозволив студентам-першокурсникам просто виконувати завдання, чимало з яких зажадали значних зусиль великі математиків древности.

Как бачимо, застосування геометричного підходу у цій завданню утрудняло її рішення, а алгебраїчна символізація істотно спростила її понимание.

Более цього у будь-який змістовної завданню можна як геометричну, і алгебраїчну складові, причому складові незалежні. Простий приклад — це поняття дійсного числа. Ось, що пише з цього приводу Р. Вейль [8]: «Система дійсних чисел подібна дволикому Янусові: з одного боку — це сукупність алгебраїчних операцій „+“ і „“ і це зворотних, з іншого — континуальное розмаїття, частини якого пов’язані одне з одним безупинно. Перший образ чисел алгебраїчний, другий топологічний.».

Необходимо відзначити, що поєднання обох підходів життєво необхідне розвитку математики. Ми частково продемонстрували на прикладі виведення формул Кардано. Наведемо ще кілька посвідчень у користь нашого виведення. Так, відомо, що основну теорему алгебри неможливо довести суто алгебраїчними методами. В якомусь етапі нам обов’язково знадобиться властивість безперервності у тому чи іншого геометричній інтерпретації.

Или візьмемо поняття групи Лі. Як справедливо зазначає видатний фахівець у галузі групового аналізу диференційних рівнянь П. Олвер [12]:

«На погляд група Лі виглядає якимось неприродним поєднанням алгебраического поняття групи, з одного боку, і дифференциальногеометричного поняття різноманіття, проте комбінація алгебри і політичного аналізу наводить до могутньої техніці вивчення симетрії … «[12, стор. 37−38].

Итак, ми виділили два напрями у розумінні математики. Причому засвідчили її їх принципову взаємодоповнюваність чи те, що Р. Вейль називав «наперед визначеної гармонією між геометрією і алгеброю». Вивчення творчості реально діючих математиків показує, що завжди тяжіють до якогось одного із напрямів. Класичним прикладом є школа теорії функцій До. Вейерштрасса з формально-алгебраической спрямованістю і топологічна теорія алгебраїчних функцій Р. Рімана. Таке поділ скоріш всього не лише дією оточуючих чинників. Так, самі До. Вейерштрасс і Р. Ріман творили за одну і те час, лише у й тієї культурної середовищі. Тому з великою ймовірністю можна стверджувати, що у основі такої пристрасті лежать особисті мотиви, основою якого є, при інших рівних умов, фізіологічні особливості мозку конкретного вченого. На підтвердження пошлюся для відкриття, зроблене професором Каліфорнійського технічного інституту Р. Сперрі. Р. Сперрі досліджував хворих з перерізаним «мозолистим тілом», що з'єднує два півкулі мозку довів, що функції цих півкуль мають певної несимметричностью. За свої дослідження Р. Сперрі отримав Нобелівську премію з біології та медицині в 1981 року. Коротко суть відкриття Р. Сперрі сформулював академік У. І. Арнольд: «Наш мозок і двох півкуль. Ліва відпо-відає множення багаточленів, мови, шахи, інтриги і послідовності силогізмів, а праве — за просторову орієнтацію, інтуїцію і потрібно якогось реального життя» [2, стор. 49].

Т. про., можна взяти поділ математиків на «правопівкульних» і «левополушарных». «Левополушарных» будемо ще називати аналітиками чи алгебраистами. Розглянемо докладніше «правопівкульних» математиків. Цю категорію називають ще геометрами. Але з те, що «правополушарные» математики черпають свої ідеї з просторових уявлень, таке назва здається занадто вузьким. Крім, власне, геометричних уявлень до математичного відкриттю можуть вести уявлення з суміжних областей знання. Найяскравіше виявляється у відносинах математики фізики. Причому фізика як ставить завдання, вона така ж є постачальником нових понять і методів. Так, основні факти теорії узагальнених функцій з’явилися з суто фізичних абстракцій і було сформульованими використані набагато раніше суворих математичних обгрунтувань. А згадуваний вище У. І. Арнольд взагалі свідчить про «фундаментальне єдність математики фізики» [6, стор. 10].

Физика довго була монопольним постачальником завдань, ідей методів у математику, і сьогодні спроби забрати цього прівілею іншими науками досить слабкі на на її фоні. Тому математиків, вихідних у творчості з уявлень суміжних наук, ми умовно називатимемо «физиками».

Кроме цих двох типів, серед «правопівкульних» математиків слід виділити математиків — «філософів», котрі у своїх дослідженнях звертаються до філософським уявленням. Потреба такий підхід зазвичай проявляється у переломні елементи історії науки, що їх лежать нові теорії та цілі напрями у науці. Історія математики рясніє прикладами що така. Філософськими установками у творчості користувалися І. Ньютон, Р. Ляйбніц, Н.І. Лобачевський, Л. Брауэр, Д. Гільберт та інших.

Итак, ми розділили всіх діючих математиків чотирма типу — аналітики, геометри, фізики та філософи. І впритул наблизилися до відповідальності питанням, що лежить основу акту творіння?

А. Пуанкаре якось зазначив: «…у тому, щоб зробити геометрію чи хоч би то не було науку, потрібно щось інше, ніж чиста логіка. Для позначення цього іншого в нас іншого слова, крім слова «інтуїція» [17, стор. 210]. Беручи цю думку, спробуємо показати, що кожному з чотирьох типів математиків властива своя интуиция.

Сегодня під інтуїцією прийнято розуміти здатність мислення безпосередніх умовиводів шляхом уявної схоплювання («осяяння») без проміжних обгрунтувань і доказів. Очевидно, їй належить вирішальна роль творчості, тому зупинимося у цьому феномен та його роль в математичному открытии.

Обратимся знову до нашої класифікації математиків. Ми розділили їх за способу виникнення вони нового бачення, т. е. за способом розуміння математики. Резонно припустити, що спосіб диктується особливим різновидом інтуїції, властивим тому чи іншому типу математиків, т. е. існує чотири типи інтуїції - аналітична, геометрична, фізична й философская.

Начнем з аналітиків. Звичайно їм відмовляють використання інтуїції у творчості, вважаючи, що вони йдуть на відкриття вміло оперуючи логічним висновком і формулами. Докладно вивчаючи це запитання, А. Пуанкаре зазначає, що залишаючись «майстерними майстрами силогізмів», вони «ми змогли б розширити кордону науки» [17, стор. 216]. І на них він вводить особливий вид інтуїції - інтуїції чистого числа, яка є основою аналогій. Така інтуїція дозволяє не виходити далеко за межі логічного знання і набутий тому рятує власника від логічних помилок. До математикам, які мають таким виглядом інтуїції А. Пуанкаре відніс Ш. Эрмита. Але, напевно, найяскравішим представником аналітиків був Сринивада Рамануджан. З. Рамануджан народився 1887 р. Півдні Індії селищі Эрод. Свій шлях у математиці він почав із двотомної посібники з тригонометрії Лони, що він дістав листа від студенти з Мадраса в 14 років. Потім у 16 років він почав освоювати двотомне керівництво англійського математика Карра. У цій книзі було зібрано 6165 теорем і формул, майже без доказів і з мінімальними поясненнями. Ця книга справила величезний впливом геть його стиль творчості. Без ставлення до тому, як проводити суворі докази, він формулював цілком нетривіальні затвердження. Чимало їх надіслав до Англії професору Кембриджського університету РР. Харді, який одержав в на самому початку 1913 року. Побачивши надіслані формули, Харді думав, що людина, який написав їх, володіє дуже потужної технікою доказів і може доводити загальніші результати. Проте, коли з клопотанню тієї самої Харді Рамануджан приїхав до Лондон, виявилося, що жодних доказів немає, є лише цілком туманні пояснення. Виявилося, що Рамануджан просто «живе у світі формул». Причому кожне, буквально, кожне число було його «іншому»! Показовий випадок, описаний Ч. П. Сноу: «Харді часто відвідував Рамануджана, коли людина, помираючи, перебував у лікарні в Патни. Саме одна з таких відвідувань стався «інцидент» з номером таксі. Харді приїхав до Патни на таксі, скориставшись своїм улюбленим транспортним засобом. Він ввійшов у палату, де лежав Рамануджан. Починати розмова Харді було дуже важко, і він мав свою першу фразу: «Не помиляюся, то номер таксі, у якому я приїхав, 1729. Мені здається, це нудне число». Для чого Рамануджан відразу ж відповів: «Ні, Харді! Про немає! Це цікаве число. Цю саму мале з чисел, представимых як суми двох кубів двома у різний спосіб». [22, стор. 26].

Будучи в Англії й працюючи у тандемі із Р. Харді, З. Рамануджан сформулював свої самі сильні результати. Причому з них знайшли собі доказ вже після її смерті. Як бачимо, З. Рамануджан мав унікальним задарма. Взагалі, поява математика з інтуїцією чистого числа дуже рідкісне явище. І більшості математиків треба залучати до рішенню своїх завдань уяву, т. е. більш наочні види інтуїції. Розглянемо их.

Геометрические інтуїції залучають до вирішення завдань просторові уявлення — безперервність простору, його зв’язність, замкнутість, відкритість тощо. буд. Чудово, що геометричній інтуїції починають із демонстрацій макетів постатей, креслень, преобразующихся комп’ютерних малюнків. Цей напрям своєї в викладанні математики зазвичай називають наочної геометрією. Всередині її, як як на мене, склалася деяка система вимог добору матеріалу, способами і прийомами його зображення. Причому освоєння геометрії як такої практично вимагає цього базису. Найбільш характерним прикладом тут є книга У. У. Прасолова «Наочна топологія».

Физические інтуїції беруть своє керівництво в образах навколишньої дійсності. Часто цей тип інтуїції змішують з геометричній, проте і є підстави поділяти їхню. Так, А. Пуанкаре, як приклад геометричній інтуїції, розглядає рішення Р. Клейном завдання у тому, може бути на даної поверхні Рімана функція, яка припускає дані сингулярності. За позитивного рішення це завдання Р. Клейн «заміняє поверхню Рімана металевої поверхнею, електропровідність якої змінюється по відомим законам, і з'єднує дві точки її з цими двома полюсами елемента. Струм, говорить він про, неодмінно пройде, і розподіл цього струму по поверхні визначить функцію, особливі властивості якій будуть саме ті, передбачених условием."[17, стор. 206]. Як бачимо, Р. Клейн користується фізичними уявленнями, лежать поза просто просторового уяви.

Физические інтуїції зіграли величезну роль становленні математики. Ми вже зазначали, що фізика довго була монопольним постачальником змістовних завдань для математики.

Уже перші спроби відкрити закони руху дали математиці безліч завдань і сформулювали багато її внутриматематических понять. Наприклад, Р. Галілей, вивчаючи вільне падіння, спочатку припустив, що рух має протікати по закону v=c· S, де v — швидкість, P. S — шлях, і з — постійне число. Поклавши шлях рівним нулю в початковий час, він несподівано собі виявив, що рух щодо такому закону відбуватися не може. І, відкинувши цей варіант, вона до своїм знаменитим рівнянням руху. Проте, рівняння v=c· S продовжив своє життя дослідженнях шотландця Д. Непера, який, вважаючи шлях у нульової час відмінними від нуля, отримав показову функцію, число е і логарифмы.

Дальнейшее розвиток механіки породило диференціальний і інтегральне літочислення, теорію диференційних рівнянь і топологію. Народження ж некласичної механіки стимулювало теорію ймовірностей і математичну статистику, функціональний аналіз стану і теорію заходи.

Интересно те, що, ставлячи завдання, фізика одночасно пропонувала математиці шляху їхнього рішення. Взяти б теорію рівнянь у приватних похідних. Самі назви і співвідношення її конструкцій несуть у собі печатку фізичних уявлень (потенціал подвійного шару, інтеграл енергії, резонанс тощо. буд.). Понад те, спроба формулювань у цієї теорії суто математичних завдань, відірваних від реальності (зокрема, спроба побудувати загальну теорію рівнянь у приватних похідних) — веде до «виродження важливою общематематической теорії в нескінченного потоку робіт «про один властивості одного рішення однієї крайової завдання на одне рівняння» [3, стор. IX].

Обратимся тепер до філософським інтуїціям. Як зазначалося, вона вступає у залежить від переломні елементи історії. Через те, що наявність таких інтуїцій практично не описано, я для більшої переконливості наведу два, мій погляд, яскравих приклади з історії математики. Перший — це створення интуиционистской програми обгрунтування математики.

Всего програм обгрунтування було три — логицизм, интуиционизм і формалізм. Історія створення кожної зажадала від розробників неабияких здібностей в філософії математики. Проте, на мою думку, интуиционизм був найбільш екстравагантної програмою, т. до. до центру її ставився людина, що погодьтеся, був і залишається викликом для математичного знания.

Считается, що интуиционизм народився 1907 року, коли дисертація Л. Брауэра «Про підставах математики». На противагу цієї точки зору сучасний дослідник интуиционизма М. І. Панов вважає, що народження його сталося дещо раніше — в 1905 року. Він пов’язує цій даті після виходу іншої Л. Брауэра — «Життя, мистецтво містицизм». На погляд, цей працю дуже далекий до математики. І якщо краще прочитати деякі уривки, доступними на російській мові і зберігають у роботах М. І. Панова, то така думка в процесі зміцнення. Але це тільки погляд. Ось із витягів: «Інтелект безпосередньо пов’язані з мовою. Життя приносить в інтелект неможливість самому безпосередньо — з допомогою жесту чи погляду інстинктивно (або як нематеріально) крізь ці перешкоди — встановлювати відносини друг з одним», і далі «ніхто не зміг з допомогою мови передати свою душу «[13] І водночас пригадаємо, що у обгрунтуванні интуиционизма Л. Брауэр підкреслював, що математичні побудови здійснюються на інтуїтивному рівні у доязыковой формі, причому «достеменним у математиці можна вважати лише те, що інтуїтивно ясним.» [14, стор. 144]. А необхідність спілкування, і збереження результатів, потребує їх закріплення мові призводила до вичленовуванню логічного каркаса, т. е., інакше кажучи, до появі логіки, і далі потребою в конструюванні математичних объектов.

В свої дослідження Л. Брауэр широко використовував интроспекцию — психологічний метод, що полягає в самоспостереженні людини за психологічними реакціями своєї свідомості. З її допомогою він увів у интуиционизм поняття «ідеального математика» чи «що робить субъекта».

Так, однією з основних понять интуиционизма є вільно становящаяся послідовність, яка передбачає вільний вибір «ідеального математика» і формується відповідно до такими правилами: «а) становище будь-якого члена послідовності, певного актом вибору, не змінюється від результатів наступних актів; б) вибір можна обірвати будь-якою кроці» [14, стор. 133].

Из всього сказаного видно, що Брауэр-философ передував Брауэру-математику.

Успешность интуиционистской програми обгрунтування математики пізніше було поставлено під сумнів Д. Гільбертом. Його філософська складова як і викликала багато суперечок [див., наприклад: 15, Глава 4]. Проте, интуиционизм як математична теорія довів свою життєвість і у працях учня Л. Брауэра А. Гейтинга й нашого співвітчизника А. А. Маркова.

Второй приклад необхідності філософських інтуїцій у математиці взяти із Києва кілька іншої галузі, описавши поява неевклідової геометрії. Честь створення цієї геометрії заведено поділяти між трьома вченими в нерівній пропорції - між Н.І. Лобачевским, До. Гауссом, Я. Бойяи. До них основним посібником з геометрії на протязі двох років служили «Почала» Евкліда. Природно, що вони були детально вивчені. І протягом двох століть геометрів приваблювала особлива роль п’ятого постулату Евкліда. По-перше, він формулювався дуже довго: «якщо пряма, перетинаючи дві інші прямі, утворює із нею внутрішні односторонні кути, сума котрих значно менша двох прямих кутів, то ці прямі, будучи продовжені необмежено, перетинаються з протилежного боку від третьої прямий, з якою лежать згадані вище кути». По-друге, Евклид вперше скористався своїм постулатом лише 28 пропозиції.

Все це вело до спроб довести п’ятий постулат, з перших чотирьох, але вони виявлялися безуспішними. Першим, хто засумнівався у необхідності цього докази, був До. Гаусс. Проте король математики, оберігаючи свою репутацію, не висловив свої волелюбні ідеї публічно. І вперше вони були було опубліковано у працях нашого співвітчизника Н.І. Лобачевського, який був до них самостійно й більше, ще, розвинув в досить струнку теорию.

Вначале, він здатний як все намагався довести п’ятий постулат. У збережених записах його лекцій від 1816−1817 рр., міститься така спроба. Але невдовзі учений розуміє даремність зусиль у цьому напрямі.

Следующим етапом усвідомлення нової геометрії послужив працю «Геометрія». У ньому він чітко простежив які затвердження не залежить від п’ятого постулату (які він зібрав у перших п’яти розділах) і які залежать, тобто. неможливо знайти зафіксовано яким чином без її використання. Інакше кажучи він чітко виділив сьогодні називають абсолютної геометрією. Таке поділ послужило відправною точкою подальших роздумів. Які були реалізовані яка «Стислий виклад основ геометрії із суворим доказом теореми про паралельних». Він був представлено наукової громадськості 11 лютого 1826 року в засіданні Відділення фізико-математичних наук. Основою праці служило припущення, що за точку З, що лежить поза прямий АВ, площині АВС проходить кілька прямих, не зустрічаючих АВ. Це короткий висловлювання перевертало всі дотеперішні інтуїтивні уявлення. І закономірно, що відкриття Н.І. Лобачевського зрозуміли лише після закінчення 12 років по смерті математика. Факт, що поворотное припущення настільки просто, але тягне у себе великі слідства, свідчить про глибокому філософському аналізі, якому він піддав предшествовавшею йому геометрію. Вочевидь, що це аналіз було протікати у межах самої математики зажадав залучення зовнішніх, стосовно ній, міркувань.

Из наведених прикладів видно, що філософські уявлення, і якщо завгодно, інтуїції, є необхідними і дуже корисними на етапі створення нових теорій, причому там їм належить вирішальна роль.

Итак, ми виділили чотири типи інтуїції. Можна подумати, що їхнє застосування лише тими областями, назви що вони успадковують у іменах. Але це зовсім так! Понад те, історія математики показує, що саме вторгнення вчених у суміжні області, може бути дуже продуктивним й у цих галузей й у учених.

Ж. Дьедоне [11] називає той процес перенесенням інтуїції. У його дослідженні він розглядає взаємодія теорії різноманіть, теорії аналітичних різноманіть і теорії чисел. І вже в прикладі робіт Рімана доводить всю не очевидність й те водночас ефективність цього взаємодії. Так, Ріман, застосувавши математичний аналіз до алгебраїчній геометрії, створив нову теорію, звану бирациональной алгебраїчній геометрією кривих. Потім, використовуючи вчення про мероморфных функціях на римановой поверхні, він переходить «до поняття з чистісінької алгебри — полю раціональних функцій кривою, що є просто кінцевим розширенням поля раціональних дробів над комплексними числами» [11]. Далі, Ж. Дьедоне розгортає воістину грандіозну картину взаємодії трьох теорій, у якому крім Рімана було залучено Дедекинд, Вебер, Куммер, Гендель та інших. Такі самі процеси спостерігаються як всередині математики (т. е. як лініями аналітична інтуїція — геометрія, геометрична інтуїція — алгебра). Так було в вже цитованому інтерв'ю У. І. Арнольда, останній помічає: «топологія корисна в квантової теорії, а методи квантової теорії поля наводять іноді до важким топологічним результатам» [6]. Т. е. тут маємо працювати з лініями геометрична інтуїція — фізика, фізична інтуїція — геометрия.

«Я покладав проти ночі великі надії. Правильне рішення суду було тепер настільки близько, мій розум могла чинити останній крок і уві сні. Я вважав корисним вкотре подумки перебрати основні пункти своїх міркувань.».

Шестиугольник. [5, стор. 282].

Механизмы интуиции

После того, як ми виділили основні типи інтуїції і надзвичайно обгрунтували їх існування, природним бажанням є намагання розкрити механізми його роботи. Я мають дякувати А. Пуанкаре через те, що він залишив унікальний самоаналіз власного процесу математичного відкриття статті «Математичне творчість». У ньому він навів оповідання про те, як було написано мемуар про фуксовых функціях. Коротенько цю історію така. Протягом тижнів він намагався довести, що функцій, схожих на ті, що він згодом назвав фуксовыми, немає. Щодня він витрачав один — дві години й безрезультатно перебирав велика кількість комбінацій. Але якось ввечері він випив чашку чорної кави не міг заснути. І потім із ним сталося таке: «ідеї виникали в багатьох і зробив висновок, що відчуваю, як зіштовхнуться між собою, поки, нарешті, дві їх, хіба що зчепившись друг з одним, не утворили стійкого об'єднання. Вранці я встановив існування класу функцій Фукса я могла лише сформулювати результат, що відняло в мене лише кілька годин». [17, стор. 404−405] у цьому не обриває свого розповіді, проте до нашої мети цього уривка досить, тим більше подальше лише підтверджує загальну схему.

В аналізі творчого акта А. Пуанкаре свідчить про великій ролі несвідомого. Він, у процесі з так званого «відпочинку» між сеансами свідомої роботи (часто безуспішною) несвідоме створює величезну кількість комбінацій, більшість яких абсолютно некорисна. Далі вони всі пропускаються через решето особливого естетичного почуття, знайомого кожному реально чинному математику. Це почуття відбирає лише ті математичні предмети, «…елементи яких розташовані так гармонійно, що легко може охопити ціле, проникаючи в той час й у деталі» [17, стор. 410] (пригадаємо, що інтуїція — це спроможність до згорнутим умовиводів). Особливо важливим є, що це почуття може спричинить оманам, потім також А. Пуанкаре.

Анализируя процес математичного творчості, Ж. Адамар виділив наступний ряд його етапів [1]. (Цікаво порівняти з наведених вище розповіддю А. Пуанкаре). Перший етап — це «підготовка», коли відбувається свідоме дослідження проблеми; другий етап — «інкубація», коли проблема хіба що витісняється в підсвідомість і дослідник може взагалі забути неї; третій, етап — «осяяння», коли розв’язання проблеми раптом «проривається» до тями (іноді цей етап супроводжується психологічним передчуттям); і другий етап залежить від перевірки й теоретичному оформленні результатов.

Наиболее загадковим є третій. Саме на цей момент по гіпотезі Пуанкаре в застосовується якесь особливе естетичне почуття. Що ж лежить основу цього почуття? Ґрунтуючись на чому роблять висновок про гармонії між досліджуваними математичними об'єктами? Це питання, безумовно, складні (навіть саме поняття естетичного почуття — гипотетично). Однак усе-таки можна зробити деякі припущення. Очевидно, основу естетичного почуття лежать пласти апріорного і неявного знання. До апріорному знання як основу математики математичного знання зверталися багато філософи та математики. Так, І. Кант в своїй фундаментальній праці «Критика чистого розуму» питання, як можлива математика, як наука, зводив стосовно питання про: як можливі синтетичні судження апріорі? Л. Еге. Брауэр поклав їх у основу програми обгрунтування. А. Пуанкаре як і звертався до означеній темі. Наприклад, він вважав: «ми всі володіємо інтуїцією безперервності будь-якого числа вимірів, адже ми маємо здатність побудувати фізичну й математичну безперервності, що ця здатність існує у нас до будь-якого досвіду «[17, стор. 580].

Априорное знання цьому в різних філософів має різні витоки. Так, В. Я. Перминов виводить априоризм та її загальзначимість з практичної діяльнісною орієнтації познающего людини. Він вважає, що «уявлення, які у основі математичних понять, — не абстракції і теоретичні ідеалізації, а інтуїції, що виникають з діяльнісною орієнтації познающего суб'єкта» [15, стор. 47].

Г. Фоллмер і з нею усі послідовники еволюційної епістемології вважають, що апріорні структури — «продукт еволюції [і вони] належать до генетичному оснащенню, когнитивному «інвентарю» індивіда, є успадкованими і в широкому значенні, тому лише незалежні від будь-якого (індивідуального!) досвіду, але є до досвіду і роблять взагалі досвід можливим «[20, стор. 157].. Т. про. видно, що питання витоках існування апріорного знання потребує окремого дослідження. Проте досить того, що його існує.

Кроме апріорного зазначили існувати неявного знання. Під ним мається на увазі то знання, «яких ми користуємося неусвідомлено» [19, стор. 68]. Деякі дослідники вважають апріорна знання частиною неявного. Однак я геть гадаю, що вони мають розділяти. Так, апріорна знання має яскраво виражений интрсубъективный характер, тоді як неявний — спочатку суб'єктивно, або залежно від соціокультурних чинників. Отож, апріорна і неявний знання служить тим базисом, з яким мислення співвідносить результат роботи несвідомого. А якщо ж об'єкти з несвідомого добре корелюють з цим базисом, це служить поштовхом до «прориву» і «озарению».

«В «Пані Ленін» хотів.

найти «нескінченно малые».

художественные слова".

В. Хлебников.

Математические інтуїції і людська культура.

Нет потреби доводити, що математика має значення для людської культури. Грандіозні досягнення людства — польоти до космосу, обчислювальна техніка та інших. не уникають застосування математики. Т. про., опосередковано неї і математична інтуїція надає великий вплив на навколишній світ. Але тут піде не звідси цілком очевидному виведення. Поговоримо про такі явищах у людській культурі, коли математична інтуїція стає сама явищем культури чи породжує таковые.

Современный математик, публікуючи результати своїх досліджень, намагається зробити свій текст максимально формальним. Чільну увагу у своїй приділяється логічного суворості, і з опублікованій роботи виганяються все неявні і інтуїтивні установки. Такий їхній підхід дозволяє самому математику й навколишнього його математичного співтовариству бути впевненими правильності доведених результатів. Це явища й інша сторона медалі. Найчастіше таким текст зрозумілий лише невеликий групі фахівців у цьому питанні. Якщо само одержувати його захоче зрозуміти неспеціаліст, йому необхідно затратити багато часу і зусиль, щоб за формальному тексту сформувати необхідні інтуїтивні уявлення та співвіднести їх між собою, або він повинен отримати ці уявлення від фахівців. Цей процес відбувається передачі неформальних уявлень можна часто спостерігати на лекціях і семінарах, коли викладач робить «ліричні» відступу. Саме у ньому очевидно криється секрет зі школи і традиції. Недарма А. Гротендик зазначив, що «наука живе зв’язком для людей і наступністю поколінь» [10, стор. 137].

Необходимость передавати і формувати у учнів інтуїтивні уявлення призвела до народженню цілого пласта навчальної літератури, автори якої уникають суто формальних викладок і прагнуть наочності викладу. І цей під час першого чергу книжки з геометрії і математичної фізики (цікаво, що у шкільної програмі саме геометрія адекватне всього відбиває сучасний погляд на математичну строгість). Серед авторів таких підручників треба сказати В.І. Арнольда, В, В, Прасолова, О. Т. Фоменка та ін. А спроби донести математичні ідеї до широкого загалу ведуть до народження цілком дивних творів. Людина нездатна наочно уявити схиблене простір размерностью більше трьох. Проте, у математиці з більшими на размерностями зустрічаються часто-густо поруч. У цьому використовуються специфічні інтуїції, які стоять далеко за рамками наочності. Спроби доступно описати ці інтуїції сприяли народженню дивних за своєю якістю творів, далеко виходять далеко за межі методики навчання. Я маю на увазі особливий жанр літератури і мистецтва, головним героєм якого є математична інтуїція. Наприклад, роман Еге. Эбботта «Флатландия» [25] та її продовження, написане Д. Бюргером «Сферландия», хоча і покликані виробити у читає ставлення до связности, орієнтації, розмірності і кривизні просторів, читаються як захоплюючі пригоди. А читачі усесвітньо відомого роману Л. Керролла «Аліса у країні Див», взагалі часто забувають про її істинному призначення.

Кроме спроб описати геометричні інтуїції була спроба їх намалювати. Тут, в ролі першого прикладу я пошлюся на творчість голландського графіка М.Эшера. Особливістю його творчості було віртуозне зображення на площині «неможливих» конструкцій і просторових побудов, і навіть використання зорових ілюзій, причому більшість мотивів однак було взято з геометрии.

Следующим прикладом є наші графічні листи нашого співвітчизника видатного геометра О. Т. Фоменка. У книжці «Наочна геометрія і топологія» [21] він дає цим зображенням суто математичну інтерпретацію, зрозумілу фахівцям, проте самі зображення зробили б честь будь-який виставці сучасного искусства.

Большой потенціал на цьому разі має комп’ютерна геометрія. Особливо це після вдалих експериментів одержання зображень множин дробової розмірності чи інакше фракталів. Група західних учених стала виставляти їх у огляд широкому загалу. Причому публіка сприйняла це з великим ентузіазмом, і висновком виставки користувалися незмінним успіхом. Цікаво, що не цікавила справжня природа фракталів, їх залучали привертають незвичні яскраві барвисті зображення лише вони. Т. про., можна говорити про особливому напрямі, у образотворчому искусстве.

Еще один приклад життя математичних інтуїцій мистецтво дає творчість поета Велиміра Хлєбнікова. Час його життя довелося наприкінці XIX — початок ХХ століття — час бурхливих змін у світовому політичному устрої, науці, зокрема, фізики й, звісно, мистецтві. І У. Хлєбніков був у цьому вирі. Широке освіту, здатність швидко засвоювати і переробляти нові театральні ідеї дозволило створити йому твори, які тяжко з чимось сплутати. Не останню роль них грала математика. Чого вартий, наприклад, така фраза: «У „Пані Ленін“ хотів знайти „нескінченно малі“ художнього слова» [23, стор. 7]. Він вжився в світ математичних абстракцій та змусив їх жити нематематической життям. Ось як він описує процес осмислення геометрії Лобачевского:

«Мир з непоперечними кривыми».

Во дні «давно» і весел Сел у перших ряди кресел Думы моей, Чей завісу вже піднято." [цит., по: 24].

Обнаружив велике значення в природознавстві числа , він додав то своїх літературних пошуках загальний характер: «Час навчити людей видобувати вторинні коріння з себе і з негативних людей. Нехай дещо іскор великих мистецтв впаде в уми сучасників.» [23, стор. 51]. Творчість Хлєбнікова непросто літературна пеленица з математичним ухилом. Дослідники відзначають глибину його проникнення інтуїтивний світ науки. І фраза «Хлєбніков — з одного боку, Вавілов, Планк, Ейнштейн — з іншого, харчувалися одному й тому ж міфологією, почерпая з її вихідні інтуїції» [24] не позбавлена підстав. На закінчення проведеного огляду розглянемо прояви математичних інтуїцій у взаємовідносинах математики гуманітарних наук. Нас нічого очікувати цікавити математичне моделювання у тих науках. Хоча, безперечно, під час складання і вивченні моделі використовується широкий набір математичних інтуїцій. Проте, тут «живуть» всередині моделі, підпорядковуються математичним закономірностям. Нам ж тепер цікава ситуація, коли уявлення, народжені в математиці, відриваються від нього, переносяться до іншої науку і починають по законам цієї науки. Причому переноситься саме уявлення без супутніх визначень, формул тощо. буд. Пояснимо сказане з прикладу. Ось витяг із сучасної монографії, присвяченій самоорганізації в соціальних системах: «…траєкторія соціального циклу має як буфуркационные зони стохастичного вибору, і стійкіші ділянки розвитку…» [7, стр.287]. Отже, щодо одного пропозиції ми зустрічаємо по крайнього заходу три математичних терміна — траєкторія, біфуркація, стохастический. Перші дві запозичені із якісної теорії звичайних диференційних рівнянь, третій є синонімом випадковості. Хоча це й вказувалося вище, їх використовують власними силами, без будь-якого відповідності породила їх математичної теорією. Але найцікавіше у тому, що й визначення у книзі відповідають тим інтуїтивним уявленням, які зазвичай формуються щодо відповідного математичного визначення. Відбувається свого роду неформальна вербалізація інтуїтивного образу математичного об'єкта. Цей процес нагадує своєрідну математизацію, відрізняється від класичного її розуміння. Так, класична математизація накладає жорсткі вимоги на об'єкт моделювання. На думку Г.І. Рузавина, «об'єктивної основою застосування математичних методів служить якісна однорідність досліджуваних класів явищ» [18, стор. 189]. Він також вказує, що «в соціальних і гуманітарних науках виділення однорідної якості та її математичного вивчення пов’язані з великою кількістю труднощів, бо за цьому припадає враховуватиме й такі суб'єктивні чинники, як воля, мети, ціннісні орієнтування і мотивації людей» [18, стор. 191]. У нашому випадку умови диктує гуманітарні науки. Вона органічно вплітає у собі математичні уявлення. Причому доцільність такого «вплетення» визначається на інтуїтивному рівні. Така математизація нині дуже популярна. Багато робіт з філософії, соціології, екології рясніють термінами — нелінійний, біфуркація, флуктуація, диссипативная система, стохастический, фракталы тощо. буд. Про ефективність цього підходу судити поки що важко. Для важливий, що він есть.

Выводы.

В роботі питання про механізм математичного творчості зведений до вивчення видів математичної інтуїції і надзвичайно розкриття її механізмів. Виділяється чотири типи інтуїцій: аналітична, геометрична, фізично й філософська. Звісно, це умовний розподіл. Реально математики що ніколи не користуються ним тільки одним типом інтуїції. Так, «правополушарные» математики може бути одночасно геометрами, фізиками і філософами. Прикладами таких математиків можуть бути А. Пуанкаре, Н.І. Лобачевський та інших.

Надо зазначити, що значної ролі у творчості грає перенесення інтуїції. Діяльність це добре показано з прикладу перенесення фізичної інтуїції в геометричну, коли Р. Клейн «…заміняє поверхню Рімана металевої поверхнею, електропровідність якої по відомим законам… «.

На погляд, дуже важливо виділення філософської інтуїції. Вона проявляється у граничних ситуаціях та сприяє формуванню нових теорій і сучасних напрямів в науці.

Математическая інтуїція застосовується як безпосередньо, в областях науки, як економіка, і побічно — мистецтво, музиці, літератури і т. буд. Тому важливо розвивати математичну інтуїцію у математиків. Оце той багаж для будь-якого освіченої людини. До речі, прем'єр-міністр Росії Вітте був по освіті математиком. Життя його склалася тож він стане займатися математикою, але застосовував математичну інтуїцію у житті. Ось що говорить про ньому В.І. Арнольд [2, стор. 28]: «Звісно, сила Вітте полягала зовсім не від в застосуванні будь-якої математики („обчислення“), суть у тому спосіб мислення, що він називає „математикой-философией“ і що змушує людини з математичним освітою думати скоріш про всіх реаліях навколишнього світу з допомогою (свідомого чи несвідомого) м’якого математичного моделирования.».

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.