Управління структурою викладацького складу в університеті

Міністерство загального характеру і професійного образования.

Російської Федерации.

Донськой Державний Технічний Університет кафедра «Вища математика «.

_______________________________________________________.

Доповідь на тему:

" Управління структурой.

викладацького состава.

в університеті «.

Выполнил.

Груздев Володимир Вікторович студент групи У-3−47.

Проверил.

Братищев Олександр Васильевич.

р. Ростов-на-Дону.

Содержание Содержание 2 1. Постановка завдання 2 2. Запаси і потоки 2 3. Припущення про потоки 2 4. Основне рівняння прогнозування 2 5. Прогнозування 2 6. Управління: сохраняемость структур 2 Укладання 2 Додаток 2 Список використаної літератури 2.

1. Постановка задачи.

У першому американському університеті довелося поводитися з завданням, типовою багатьом організації у завершальної фази періоду зростання. Штат викладачів поділили втричі категорії: професори, доценти і асистенти. Хоча загальна кількість штатних місць перестало збільшуватися, чисельність старших посад продовжувала зростати щодо нижчих. Складність полягала в тому, що персонал старших рангів небажаний, а тому, що він вище оплачується. У період застою у кар'єрному зростанні асигнувань перспектива постійного зростання витрат на зарплату поставила перед адміністрацією такі двоє ключових запитань. Чи є тенденція продовження зростання витрат, і якщо так, що може зроблено щодо його припинення чи, якщо можливо, навіть зниження расходов.

Наша мета у тому, аби роздивитися питання формулюванні це завдання в математичних термінах, та був спробувати вирішити завдання математичними методами. Інакше кажучи, ми ж збираємося розпочати побудові деякою математичну модель системі кадрів, яку потім можна використовуватиме вирішення питань, зазначених выше.

2. Запаси і потоки.

Центральне місце серед кількісних характеристик нашої завдання займають числа людей кожному класі нині часу — запаси. Будемо застосовувати позначення ni (T) (і = 1, 2, …, k) для записи числа людей класі і в останній момент часу T (поки що не доводиться припускати, що класи ранжированы по старшинству). Обсяги запасів можуть змінюватися в тому будь-яке час, однак у тому випадку найбільше змін відбувається у кінці академічного року. Відповідно до цьому будемо апроксимувати поведінка системи, допускаючи, що інтервал між змінами становить рік. Отже, T виявляється у роках та є цілим числом.

Розміри запасів змінюються через наявність потоків, спрямованих як і систему, що з системи (набір й), і навіть з допомогою внутрішніх переміщень (по більшу частину з допомогою переходу співробітників у клас з підвищеної зарплатою). Припустимо, що з запасу ni (T) число людей nij (T) переміщається до класу j вчасно T + 1 І що ni, k+1(T) людина залишають університет. Тоді запас у п’ятому класі і в останній момент T + 1 складаються які залишилися зі часу Т плюс нові прибульці; останні позначаються через n0i (T + 1). У результаті співвідношення між запасами і потоками записується наступним чином: [pic],.

(1) якщо визначити [pic] і кількість хто залишився класі j.

Ці співвідношення власними силами дають дуже обмаль відомостей. Їх роль у тому, щоб виявити основні обмеження, у яких діє система. Разом про те вони допомагають звернути увагу до питання, які необхідно конкретизувати завершення побудови моделі. Потоки викликають зміни у запасах, і тому слід розпочати виробленні допущень про те, як відбуваються переміщення. Якби були будь-які кошти прогнозування потоків, можна просто вивести розміри запасів роком Т + 1 з розмірів запасів роком Т тощо., просуваючись вперед, наскільки потребуется.

3. Припущення щодо потоков.

При побудові моделі ставиться завдання наскільки можна відбити характеристики реальної системи, яку ця модель представляє. На даному етапі, отже, звернутися до даних щодо поведінки аналізованої системи, щоб вивчити можливість запровадження виправданих допущень. Основою всіх наукових прогнозів є з’ясування закономірностей, мали местно у минулому, доповнене припущенням у тому, що цих закономірностей у майбутньому збережуться. Подальше просування в вирішення завдання можливо лише після статистичного дослідження даних із запасам і потокам за минулі годы.

Розглянемо насамперед потоки, що характеризують підвищення в посади. Вони управляються деякою сукупністю чинників, які варіюються від однієї виду найму до іншого. Іноді кількість підвищень напряму пов’язане із числом які виникають вакансії. За інших випадках підвищення відбуваються майже автоматично після досягнення певного рівня кваліфікації. Що стосується університету, який згадувався на початку глави, останню з зазначених можливостей ближчі один до дійсності. Візьмемо за основу під час встановлення співвідношень між потоками і запасами, породжують ці потоки. Це співвідношення виявляється простий пропорційної залежністю, тобто. відносини nij (T) / ni (T) (і = 1, 2, …, k+1), якщо відвернутися від статистичних коливань, суть константи. До такої пропорційної залежності ми звичайно і приходимо практично, навіть у тих випадках, коли функціонування системи викликає думка, що вона могло бути й інший. Втім, цю обставину завжди вимагає практичної перевірки; можуть бути висунуті та інші припущення, якби то є достатні причины.

Тепер було б розпочати прогнозуванню розмірів запасів, з пропорційності між nij (T) і ni (T) і використовуючи оцінку коефіцієнта пропорційності, виведену з даних. Вибравши такий шлях, ми мають розглядати модель як детерміновану. Це могло б б, звісно, виявитися прийнятним задля досягнення безпосередніх цілей, поставлених у главі, однак подібний підхід не відповідав б дійсності і би запровадив оману під час використання моделі для занадто віддалених періодів. Хоча відносини nij (T) / ni (T) можуть залежати від Т систематичним чином, тим щонайменше вони, ясна річ, змінюватимуться. Ці зміни можуть бути значними при малих ni (T), оскільки, наприклад, те що із системи лише на рівні окремих осіб стає у вищій ступеня непередбачуваним подією. Реалістична модель, отже, повинна мати у собі як регулярні явища, спостережувані в колективі, а й невизначеності поведінки індивідуумів. Теорія ймовірностей є гілка математики, що дає нам можливість кількісно оцінювати невизначеність, і основі ми вводитимемо в модель елемент ймовірностей (чи стохастичности). Припустимо, що переміщення відбуваються незалежно І що індивідуум у п’ятому класі і характеризується ймовірністю pij переходу до класу j протягом року, починаючи з даного. Нехай ймовірність залишення ним посади становить wi, тоді, очевидно,.

[pic], (2) оскільки індивідуум повинен залишатись у своєму класі, переправитися у інший клас, або вибути зовсім. У цьому допущенні число осіб, перехідних з класу і до класу j протягом року, буде випадкової завбільшки з биномиальным розподілом при заданому початковому запасі ni (T). Тоді очікуваний потік дорівнюватиме ni (T) pij, що він відповідає допущенню емпіричного характеру про те, що потоки пропорційні запасам.

Залишившись без розгляду питання належить до набору. Набір зручніше розглянути із двох позицій. Перша — загальна кількість осіб, набираемых до системи, друга — спосіб розподілу цих осіб із класам. У організації, загальне число співробітників якої фіксоване, як і прикладі, наведеному на початку доповіді, загальна кількість знову найманих має бути одно загальної кількості выбывающих:

[pic]. (3).

Розподіл найманих осіб із класам зазвичай цілком фіксоване, оскільки він визначається потребами чи політикою організації. Тоді скажімо, частка ri від загальної кількості найманих зарезервована для класу і (і = 1, 2, …, k), причому маємо [pic].

Збираючи ці припущення разом, отримуємо, що наш модель у результаті характеризуется:

1) матрицею ймовірностей переходів, керуючої переміщеннями у системі, цю матрицю позначимо через P = {pij};

2) вектором ймовірностей догляду w = (w1, w2, …, wk), що з pij рівнянням (2);

3) вектором r = (r1, r2, …, rk), визначальним розподіл найманих по классам;

4) обмеженням [pic].

4. Основне рівняння прогнозирования.

Відповідно до нашої моделлю запаси наступного суть випадкові величини, і тому їх значення неможливо знайти передбачити точно. У цих умови зазвичай використовуємо очікувані величини випадкової перемінної в ролі прогноза.

Перейдемо до математичним очікуванням на обох частинах рівняння (1) для запасів у рік Т. Ми сказали, что.

[pic], де риса над n означає математичне очікування. Набір у п’ятому класі j, n0j (T + 1) можна записати як R (T + 1) rj, отже необхідно знайти математичне очікування для R (T + 1). Маємо [pic] і з (3) [pic],.

Тепер, отже, з підстановкою в (1) получим.

[pic]. (4) Ці рівняння може бути коротко записані в матричної формі, наприклад, как.

[pic]. (5).

Отже, якщо параметри моделі відомі, то запас наступного року (тобто. Т + 1) може бути знайдений за запасом цього року (рік Т) шляхом простого перемножения матриць. Прогноз наступного року, [pic], то, можливо потім використаний у ролі підстави для прогнозу ще на рік уперед, якщо взять.

[pic] (6) (ми можемо писати n (T + 1) у правій частині, оскільки їх кількість не відома рік Т; тому використовуємо очікувану величину).

Матриця Q належить до класу матриць, званих стохастическими, і становить різноманітні переходи від однієї класу до іншому. Вона має неотрицательные елементи, та незначною сумою всіх елементів кожної з рядків рівні одиниці. Такі матриці грають основну роль теорії марківських ланцюгів, і ми можемо застосувати цю теорію для відповіді питання поведінці модели.

5. Прогнозирование.

Перше питання, який поставили щодо структури викладацького складу університету, стало те, чи є тенденція продовження зростання. Саме це питання можна відповісти, використовуючи запис (6). Припустимо, що початкові запаси й величини параметрів таковы:

[pic], де класи перераховані гаразд збільшення рівня кваліфікації (асистенти, доценти, професори). Вигляд матриці Р, представлений вище, цілком типовий. Нули нижче діагоналі означають, що рух з вищих класів на більш низькі відсутня; відбуваються лиш переклади на більш високі класи. Вектор догляду говорить про високому коефіцієнті втрат нагорі і внизу; нагорі — це смерть і догляд у відставку, трапляються частіше, ніж у двох нижніх класах. Найбільший рівень прийому працювати має місце у нижньому классе.

Побудуємо матрицю Q й одержимо структуру класів п’ять і десяти років наперед з допомогою формули (5). І тому створюємо програму для MatLab uspsvu1. m (текст програми приведено у додатку). Результати виконання программы:

— матриця [pic];

— структура класів п’ять років наперед: [pic];

— структура класів на 10 років наперед: [pic].

Явно спостерігається постійно що стан, оскільки система набирає ознак переобтяженості високих класів. Така поведінка системи залежить, зрозуміло, від структури Р, але його взятий дуже типовий випадок, який, щоправда, відповідає великим можливостям підвищення, чому це має місце у багатьох організаціях. Висновок повинна бути такою, що політики набору і підвищення, представлені як r і P, несумісними з збереженням структури виду n (0). (Слід зазначити, що елементи вектора передбачених численностей класів у випадку ні цілими; це пояснюється лише тим, що саме оперують з математичними очікуваннями. Математику відомо, що математичні очікування цілих чисел, є випадковими перемінними, не обов’язково цілі, однак за поданні результатів адміністрації балачки про дробових значеннях числа людей іноді може підірвати довіру до методу!).

Маючи прогноз несприятливого властивості, треба зазначити міру того, наскільки все може бути неблагополучним. У математичних термінах — яке граничне стан n (T) при [pic]? Після Т років будет.

[pic]. (7) Теоретично марківських ланцюгів показується за дуже загальні умови, які робитиметься у будь-якій розумної постановці завдання про кадрах, что.

[pic], (8) де Q? — стохастичну матриця з рядками. Якщо за q позначити загальну рядок цієї матриці, то спрямовуючи Т до нескінченності в (7), отримуємо n (?) = n (0)Q? = N q, (9) де N — загальний (фіксований) розмір системи. Отже, є гранична структура, яка залежить від початковій структури. Найпростіший спосіб підрахунку q пов’язаний із тим, що гранична структура повинна задовольняти умові n (?) = n (?)Q чи q = qQ. (10) Цю систему рівнянь є вырожденной, та якщо ми опустимо одна з рівнянь і використовуємо те що, что.

[pic], то рівняння може бути легко вирішені. Складаємо програму для MatLab uspsvu2. m (текст програми приведено у додатку). Були отримані такі результати для аналізованого примера:

[pic], [pic], [pic]. Як бачимо, зрештою ситуація стає дуже неблагополучної: 1) перевищення чисельності професорів над асистентами; 2) зростання чисельності професорів в 3 разу проти початковим рівнем при зменшенні чисельності асистентів більш ніж 2 раза.

Наприкінці даного параграфа слід підкреслити 2 момента,.

1) в аналізованому прикладі найбільше погіршення ситуації відбувається у перші 3−5 років (див. рис. 1), тобто. досить быстро.

2) наявність граничною структури при даних Р, w і r свідчить, що цілком імовірно, змінюючи Р, w і r, домогтися виконання умови n = nQ (тобто сохраняемости структури, починаючи з будь-якої світової року). Про це докладніше наступного параграфі. [pic].

6. Управління: сохраняемость структур

З виявленням неминучості зростання кількості вищих класів з відомої швидкістю наступній завданням стає завдання управління ситуацією. Нехай першої обмеженою метою наших зусиль буде утримання системи у тому рівні, якою вона перебуває. Якщо n — існуюча структура, яку б зберегти, вона, очевидно, повинна задовольняти умові n = nQ (11).

У математичних термінах завдання управління зводиться до пошуку матриці Q, такий, що співвідношення (11) задовольняється. У той самий час Q є деякою функцією від Р, w і r, а ці величини в усіх піддаються управлінню. Природні втрати, наприклад, не під безпосереднім контролем адміністрації, а звільнення є моментом, який більшість роботодавців воліють уникати. Переклад на більш високий клас перебуває під контролем адміністрації, проте нестача підхожих кандидатур для підвищення чи політика, спрямовану заповнення вакансій шляхом підвищень, можуть створити для підвищень цю ситуацію, що вони буде зведено тісними рамками. Вектор прийому є також об'єктом безпосереднього управління, але й тут знову виникатимуть обмеження через можливостей запрошувати кваліфікованих кандидатів, або через обмеження, що з проведеної политикой.

Математична завдання, з якою ми зіштовхнулися, полягає, таким чином, у пошуках матриці Q, задовольняє умові (11) і котра враховує все ті обмеження, які накладаються практично реалізованої політикою на роботу системи. Зрозуміло, може бути взагалі неможливим підібрати підходящу политику.

Для ілюстрацій рішення зробимо досить проста припущення, яке тим щонайменше часто чи реальні. Припустимо, що Р і став бути, w взагалі можуть змінитися. Усі управління, отже, має бути реалізовано через вектор r, який, як нам здається, може змінюватися за нашим бажанням при условии.

[pic]. (12).

(Нерівність, що пов’язує два вектора, має розумітись як чинне у кожному парі елементів.) І тут поставлена завдання може бути розв’язана відшуканням такого вектора r, який задовольняє умовам (11) і (12). Помітивши, що [pic], легко показати, что.

[pic], (13) де I — одинична матриця; відзначимо, що nw'— скаляр. Можна переконаємося у цьому, що елементи вектора r, одержуваного по (13), у сумі дають одиницю. Разом про те ці елементи дедалі неотрицательны, если.

[pic]. (14).

Відтак можна легко перевірити, чи має певна структура здатність зберігатися при управлінні наймом.

Такі арифметична перевірка готовий до досягнення безпосередньої мети, але він непридатна у тому, щоб зрозуміти питання про типі структур, що потенційно можуть зберігатися. Тому ми продовжимо пошук характеристик безлічі структур, які задовольняють умові (14).

Оскільки розміри всієї системи фіксовані, працюватимемо в термінах пропорцій кожного з класів та визначимо з допомогою x = nN-1. Таким чином, будемо цікавитися безліччю таких x, які задовольняють условию.

[pic]. (15).

При k = 3 можна зробити завдання геометрично наочної. Вектор x може бути представлений як точка в тривимірному евклідовому просторі. Кожна така точка має лежати на площині x1 + x2 + x3 = 1 і бути в позитивному октанте. Тоді безліч всіх можливих структур то, можливо представлено безліччю всіх точок рівностороннього трикутника з вершинами (1, 0, 0), (0,1,0) і (0,0,1), показаного на рис. 2.

[pic].

Нерівність (15) визначає деяку область у цьому трикутнику, що містить все структури, які можуть опинитися зберігатися. Якщо знайти кордон цій галузі, то можливо безпосередньо побачити, які структури зберігаються. Це досягається алгебраїчним шляхом уявлення будь-якого x, задовольняючого умові (15), як лінійної комбінації (лінійної функції з позитивними коефіцієнтами, дають у сумі одиницю) фіксованого безлічі вершин. У результаті виходить, що область сохраняемости є опуклої оболонкою, обумовленою цими вершинами.

Говоритимемо в термінах довільного k, проте збережемо геометричну термінологію, використану для k = 3.

З (13) для x получаем.

[pic]. (16).

Примножуючи обидві частини співвідношення (16) на вектор-столбец з одиниць, записываемый як I', знаходимо, что.

[pic], (17) де елементи d суть суми елементів рядків матриці (I — P)-1. Тоді, виробляючи підстановку (17) в (16), получаем.

[pic], (18) де ei — вектор, i-я координата якого 1, інші ж координати — нули.

Пусть.

[pic], тоді x можна записати как.

[pic]. (19).

Коефіцієнти ai неотрицательны, та його сума дорівнює одиниці. отже, будь-яка така точка x лежать у опуклої області з вершинами, мають координаты.

[pic], й кожна така точка відповідає своєму r.

Щоб проілюструвати викладки, візьмемо дані приклади з попереднього параграфа:

[pic].

Для такий матриці Р получаем.

[pic].

Провівши розподіл кожного рядка у сумі елементів цього рядка, отримуємо вершини області, що містить що зберігаються структуры.

(0; 0; 1), (0; 0.5; 0.5), (0.429; 0.286; 0.286). Ці точки завдані на рис. 2, і науковотехнологічна галузь, яка містить що зберігаються структури, є трикутник. Зробимо перевірку. Візьмемо, наприклад, структуру (0.429; 0.286; 0.286), домножим в загальний розмір системи N = 450: (193.05; 128.7; 128.7) і підставимо в (13), тим самим ми знайдемо керований вектор набору r = (1; 0; 0). Легко перевіряється, що структура (193.05; 128.7; 128.7) зберігається при заданих P, w і знайденому r (скориставшись, наприклад, програмою uspsvu1. m).

Аналогічний аналіз можна навести для випадку, коли управляти можна лише часткою підвищень. У разі ми фіксуємо r і w і вивчаємо вплив зміни елементів Р при обмеження виду di = 1 — wi всім і. Що стосується матриці Р загального виду завдання ускладнюється тим, що є нескінченно багато матриць Р, які відповідають умові (11). Але якщо розглядається деяка проста ієрархія, у якій підвищення проводяться лише у наступній, вищий клас, то Р має ненульові елементи лише з головною діагоналі і діагоналі над нею. І тут існує єдине рішення рівняння (11), і безліч n, якому відповідає деяка матриця Р з неотрицательными елементами, представляє область репродуктивности. На відміну від області, обумовленою управлінням набором, виявляється, що ця галузь включає структури з перевантаженими нижчими класами. Отриманий результат викликає думку, що сохраняемость структури, перевантаженої нижніми класами, може бути успішніше реалізована шляхом управління підвищенням, а чи не набором.

Заключение

.

Модель системи кадрів, що склала основу доповіді, зрозуміло, є надто спрощеної. Складові втрат, наприклад, не можуть завжди вважатися постійними у межах класу. Усі складові виявляють схильність до змін згодом, і за певних умов досягається можливість планування цих змін. Одною з найбільш привабливих особливостей марковської моделі полягає у цьому, що може бути легко налаштована охоплення узагальнень що така не змінювалась її головною структури. Отже, продемонстрований в цій доповіді підхід належить до підходів, що залишаються придатними при значно більше загальні умови проти приватними випадками, про котрих тут докладно обсуждались.

Вище ми встановили різницю між використанням моделі для прогнозування й у управління. У першому випадку запроваджувані припущення повинні відображати — настільки точно, наскільки може бути, — реальне поведінка системи у минулому. З використанням моделі керувати припущення розпадаються на дві групи. Ті припущення, які належать до некерованим аспектам системи, повинні, як у разі прогнозування, відбивати дійсність. Ті ж, які належать до змінним управління, мають інший характер: вони стосуються можливостей адміністрації отже, мають грунтуватися на відомостях про організацію системы.

Приложение.

1) Текст програми uspsvu1. m:

% uspsvu1. m — програма прогнозування структури викладацького % складу будь-яку кількість лет.

% Автор: студент ДГТУ групи У-3−47 В. В. Груздев < 21.05.02 >

clc;clear; disp («Вектор запасів нинішнього року »); n=[300 100 50] disp («Вектор вероятнотей догляду (звільнення тощо) »); w=[0.2 0.1 0.2] disp («Вектор, визначальний розподіл найманих за класами »); r=[0.75 0.25 0] disp («Матриця ймовірностей переходів, управляюча переміщеннями у системі «) P=[0.6 0.2 0;

0 0.7 0.2;

0 0 0.8].

% Імовірнісна матриця (матриця Маркова) Q=P+w «*r;

while 1==1 t=input («Enter year: »); if t.

clc;clear; disp («Вектор запасів нинішнього року »); n=[300 100 50] disp («Вектор вероятнотей догляду (звільнення тощо) »); w=[0.2 0.1 0.2] disp («Вектор, визначальний розподіл найманих за класами »); r=[0.75 0.25 0] disp («Матриця ймовірностей переходів, управляюча переміщеннями у системі «) P=[0.6 0.2 0;

0 0.7 0.2;

0 0 0.8].

% Імовірнісна матриця (матриця Маркова) Q=P+w «*r;

disp («Що стосується t=infinity визначимо матрицю Qt=Q^infinity. »); disp («В неї все рядки будуть равными. Строку позначимо q. »);

siz=length (n); A=(Q-eye (siz)) "; A=[A (1:siz-1:); ones (1,siz)]; b=zeros (siz, 1);b (siz)=1; q=(inv (A)*b) «Qinf=[]; for I=1:siz, Qinf=[Qinf;q]; end disp («Вектор запасів у нескінченності - насичення »); ninf=n*Qinf.

Список використаної литературы.

1) Завдання по математичному моделюванню. Збірник. 1979. 2) Розанов Ю. О. Випадкові процеси. Короткий курс.— М.: Наука, 1971. 3) Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей.— М.: Наука, 1988.