Роль теорії диференційних рівнянь у сучасній математики й її додатках

Роль теорії диференційних рівнянь у сучасній математики й її приложениях

Олейник О.А.

Московский державний університет ім. М. В. Ломоносова.

В роботі викладено характерні риси теорії диференційних рівнянь. Ця теорія виникла з додатків й у час найбезпосереднішим чином пов’язані з додатками. Вона надає великий вплив в розвитку інших галузей математики.

Теория диференційних рівнянь одна із найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце у сучасної математичної науці, насамперед потрібно підкреслити основні особливості теорії диференційних рівнянь, складається з двох великих областей математики: теорії звичайних диференційних рівнянь і теорії рівнянь із приватними похідними.

Первая особливість — це безпосередній зв’язок теорії диференційних рівнянь з додатками. Характеризуючи математику як засіб проникнення таємниці природи, можна сказати, основним шляхом застосування цієї методу є формування вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи будь-які фізичні явища, дослідник передусім створює його математичну ідеалізацію чи, інакше кажучи, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони, управляючі цим явищем, в математичної формі. Найчастіше цих законів можна сформулювати як диференційних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільний середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ та інших.

Исследуя отримані диференціальні рівняння разом із додатковими умовами, які, зазвичай, задаються як початкових і граничних умов, математик отримує інформацію про що відбувається явище, іноді може дізнатися лише його минуле існує і майбутнє. Вивчення математичну модель математичними методами дозволяє не отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати з заданої ступенем точності хід реального процесу, але й дає можливість поринути у суть фізичних явищ, інколи ж передбачити й нові фізичні ефекти. Буває, що саме природа фізичного явища підказує і, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичну модель є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичну модель як диференційних рівнянь потрібно, зазвичай, знати лише локальні зв’язку й непотрібна інформація про все фізичному явище загалом. Математична модель дає можливість вивчати явище загалом, передбачити його розвитку, робити кількісних оцінок змін, що відбуваються у ньому з часом. Нагадаємо, що у основі аналізу диференційних рівнянь так було відкрито електромагнітні хвилі, і тільки після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань можна було розглядати рівняння Максвелла як математичну модель реального фізичного явища.

Как відомо, теорія звичайних диференційних рівнянь почала розвиватися XVII столітті разом з виникненням диференціального і інтегрального обчислення. Можна сміливо сказати, потреби вирішувати диференціальні рівняння потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, своєю чергою, стала поштовхом до створення Ньютоном нового обчислення. Органічна зв’язок фізичного і математичного ясно проявилася у методі флюксий Ньютона. Закони Ньютона є математичну модель механічного руху. Через звичайні диференціальні рівняння йшли докладання нового обчислення до завданням геометрії і механіки; у своїй вдалося розв’язати завдання, що протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесної механіці стало можливим як отримати й пояснити вже відомі факти, а й здійснити нові відкриття (наприклад, відкриття Леверье в 1846 року планети Нептун з урахуванням аналізу диференційних рівнянь).

Обыкновенные диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної перемінної. Співвідношення між незалежної перемінної, невідомої функцією і його похідними до деякого порядку становить диференціальний рівняння. Нині теорія звичайних диференційних рівнянь є багату, широко розгалужену теорію. Одним із основних цілей цієї теорії є існування в диференційних рівнянь таких рішень, які задовольняють додатковим умовам (початкові дані Коші, коли потрібно визначити рішення, яка набирає задані значення деякою точці, й задані значення похідних до деякого кінцевого порядку, крайові умови та інші), одиничність рішення, його стійкість. Під сталістю рішення розуміють малі зміни рішення за малих змінах додаткових даних завдання й функцій, визначальних саме рівняння. Важливими для додатків є дослідження характеру рішення, чи, кажуть, якісного поведінки рішення, перебування методів чисельного рішення рівнянь. Теорія має дати до рук інженера і фізика методи економного та швидкого обчислення рішення.

Уравнения з приватними похідними почали вивчатися значно пізніше. Слід наголосити, що теорія рівнянь із приватними похідними виникла з урахуванням конкретних фізичних завдань, що призводять до дослідженню окремих рівнянь із приватними похідними, які дістали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань призвело до створення середині XVIII століття нової галузі аналізу — рівнянь математичної фізики, що можна розглядати, як науку про математичних моделях фізичних явищ.

Основы цієї науки було закладено працями Д «Аламбера (1717 — 1783), Эйлера (1707 — 1783), Бернуллі (1700 — 1782), Лагранжа (1736 — 1813), Лапласа (1749 — 1827), Пуассона (1781 — 1840), Фур'є (1768 — 1830) та інших вчених. Цікаво, що з них як математиками, а й астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними для дослідження конкретних завдань математичної фізики ідеї та художні засоби виявилися застосовними до вивчення широких класів диференційних рівнянь, що стало наприкінці ХІХ століття підвалинами розвитку загальної теорії диференційних рівнянь.

Важнейшими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвилеве рівняння.

Здесь ми припускаємо, що функція u залежить від t й трьох змінних x1, x2, x3. Рівняння із приватними похідними — це співвідношення між незалежними перемінними, невідомої функцією і його приватними похідними до деякого порядку. Аналогічно визначається система рівнянь, коли є кілька невідомих функцій.

Разве не дивовижним є також те, що така проста формою рівняння, як рівняння Лапласа, містить у величезну багатство чудових властивостей, має найрізноманітніші докладання, про неї написані чимало книг, йому присвячені багато сотень статей, опублікованих у протягом останніх століть, і, попри це, залишилося ще багато важких пов’язаних із нею невирішених проблем.

К вивченню рівняння Лапласа наводять найрізноманітніші фізичні завдання цілком різною природи. Це рівняння є у завданнях электростатики, теорії потенціалу, гідродинаміці, теорії теплопередачі і багатьох інших розділах фізики, соціальній та теорії функцій комплексного перемінного й у різних областях математичного аналізу. Рівняння Лапласа є найпростішим представником широкого класу про еліптичних рівнянь.

Здесь, може бути, варто пригадати слова А. Пуанкаре: «Математика — це мистецтво давати різним речам одне найменування ». Цей вислів є вираженням того, що математика вивчає одним методом, з допомогою математичну модель, різні явища дійсного світу.

Так само як і рівняння Лапласа, важливе місце у теорії рівнянь із приватними похідними і його додатках займає рівняння теплопровідності. Це рівняння є у теорії теплопередачі, теоретично дифузії і багатьох інших розділах фізики, а теж відіграє значної ролі теоретично ймовірностей. Воно є найпростішим представником класу про параболічних рівнянь. Деякі властивості рішень рівняння теплопровідності нагадують властивості рішень рівняння Лапласа, що у злагоді із їх фізичним змістом, оскільки рівняння Лапласа описує, зокрема, стаціонарне розподіл температури. Рівняння теплопровідності виводився і вперше досліджувана в 1822 року у знаменитої роботі Ж. Фур'є «Аналітична теорія тепла », яка відіграла важливу роль розвитку методів математичної фізики та теорії тригонометрических рядів.

Волновое рівняння описує різні хвильові процеси, зокрема поширення звукових хвиль. Воно відіграє в акустиці. Це представник класу так званих гіперболічних рівнянь.

Изучение основних рівнянь математичної фізики дозволило провести класифікацію рівнянь і систем із приватними похідними. І.Г. Петровським в 1930;ті роки виділили і вперше вивчені класи еліптичних, параболічних і гіперболічних систем, що тепер носять його ім'я. Нині це найкраще вивчені класи рівнянь.

Важно відзначити, для перевірки правильності математичну модель дуже важливі теореми існування рішень відповідних диференційних рівнянь, оскільки математична модель який завжди адекватна конкретному явища і з існування розв’язання якогось реального завдання (фізичної, хімічної, біологічної) годі було існування рішення відповідної математичної завдання.

В справжнє час значної ролі у розвитку теорії диференційних рівнянь грає застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Дослідження диференційних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент виявлення тих чи інших властивостей їх вирішень, які потім можуть бути теоретично обгрунтовані і послужать фундаментом для подальших теоретичних досліджень.

Вычислительный експеримент став і потужним засобом теоретичних досліджень, у фізиці. Він проводиться над математичної моделлю фізичного явища, та заодно з одних параметрами моделі обчислюються інші параметри і робляться висновки про властивості досліджуваного фізичного явища. Мета обчислювального експерименту — побудова із необхідною точністю з допомогою ЕОМ за можливо менше машинне час адекватного кількісного описи досліджуваного фізичного явища. У основі такого експерименту часто-густо лежить чисельна рішення системи рівнянь з приватними похідними. Звідси відбувається зв’язок теорії диференційних рівнянь з обчислювальної математикою і зокрема, з цими її важливими розділами, як засіб кінцевих разностей, метод кінцевих елементів та інші.

Итак, перша риса теорії диференційних рівнянь — її тісний зв’язку з додатками. Інакше кажучи, можна сказати, що теорія диференційних рівнянь народилася з додатків. У цьому вся своєму розділі - теорії диференційних рівнянь — математика передусім постає як невід'ємний елемент природознавства, на якої грунтується висновок й розуміння кількісних і якісних закономірностей, складових зміст наук про природу.

Именно природознавство для теорії диференційних рівнянь чудовим джерелом нових проблем, він у значною мірою визначає спрямування їх досліджень, дає правильну орієнтацію цих досліджень. Понад те, диференціальні рівняння що неспроможні плідно повинна розвиватися у відриві від фізичних завдань. Причому лише оскільки природа багатшими людської фантазії. Розвинена останніми роками теорія про нерозв’язності деяких класів рівнянь з приватними похідними показує, що прості формою лінійні рівняння із приватними похідними із неймовірно дифференцируемыми коефіцієнтами можуть мати жодного рішення у звичному значенні, але й в класах узагальнених функцій, й у класах гиперфункций, і, отже, їм не то, можливо побудована змістовна теорія (теорія узагальнених функцій, узагальнювальна основне поняття математичного аналізу — поняття функції, була створена середині ХХ століття працями С.Л. Соболєва і Л. Шварца).

Изучение рівнянь із приватними похідними у випадку — така складна завдання, що якщо хтось навмання напише якесь навіть лінійне диференціальний рівняння із приватними похідними, те з із високою імовірністю жоден математик зможе про неї щось сказати і зокрема, з’ясувати, чи є це рівняння хоча одне рішення.

Задачи фізики та інших математично-природничої грамотності постачають теорію диференційних рівнянь проблемами, у тому числі виростають багаті змістом теорії. Однак буває й дуже, що математичне дослідження, народжене рамках самої математики, через чимало часу саме його проведення знаходить додаток у конкретних фізичних проблемах внаслідок їх понад глибокого вивчення. Таким прикладом може бути завдання Трикоми для рівнянь змішаного типу, яка через понад чверть століття після його рішення знайшла важливі застосування в завданнях сучасної газової динаміки щодо надзвукових течій газу.

Ф. Клейн в книзі «Лекції про розвиток математики ХІХ столітті «писав, що «математика супроводжувала слідом фізичне мислення та, назад, отримала найпотужніші імпульси із боку проблем, выдвигавшихся фізикою » .

Второй особливістю теорії диференційних рівнянь є його зв’язку з іншими розділами математики, такі як функціональний аналіз, алгебра і теорія ймовірностей. Теорія диференційних рівнянь і особливо теорія рівнянь з приватними похідними широко використовують засадничі поняття, ідеї, й методи цих областей математики, більше, впливають з їхньої проблематику і характеру досліджень. Деякі великі наклади і важливі розділи математики були викликані до життя завданнями теорії диференційних рівнянь. Класичним прикладом такого взаємодії з іншими галузями математики є дослідження коливань струни, які проводилися у середині XVIII століття.

Уравнение коливань струни виводився Д «Аламбером в 1747 року. Він також формулу, що дає рішення цього рівняння: u (t, x) = F1(x + t) + F2(x — t), де F1 і F2 — довільні функції. Эйлер отримав йому формулу, яка дає йому рішення із наперед заданими початковими умовами (завдання Коші). (Ця формула нині називається формулою Д «Аламбера.) Постало питання, які функції вважати рішенням. Эйлер думав, що це може бути насильно накреслена крива. Д «Аламбер вважав, що ухвалено рішення має записуватися аналітичним вираженням. Д. Бернуллі стверджував, що рішення видаються як тригонометрических рядів. за таким не погоджувалися Д «Аламбер і Эйлер. У зв’язку з цим суперечкою виникли завдання уточнення поняття функції, найважливішого поняття математичного аналізу, і навіть питання про умови представимости функції в вигляді тригонометричного низки, який згодом розглядали Фур'є, Дирихле і інші великі математики вивчення якого створило теорії тригонометрических рядів. Як відомо, потреби розвитку теорії тригонометрических рядів увінчалися створенням сучасної теорії заходи, теорії множин, теорії функцій.

При вивченні конкретних диференційних рівнянь, що виникають у процесі рішення фізичних завдань, часто створювалися методи, які мають великий спільністю і застосовувані без суворого математичного обгрунтування до кола математичних проблем. Такими методами є, наприклад, метод Фур'є, метод Ритца, метод Галёркина, методи теорії обурення і інші. Ефективність застосування цих методів стала одній з причин спроб їх суворого математичного обгрунтування. Це зумовлювало створення нових математичних теорій, нових напрямів досліджень. Так виникла теорія інтеграла Фур'є, теорія розкладання за власними функцій і, далі, спектральна теорія операторів і інші теорії.

В період розвитку теорії звичайних диференційних рівнянь однією з основних завдань було знаходження спільної рішення на квадратурах, тобто інтеграли від відомих функцій (цим займалися Эйлер, Риккати, Лагранж, Д «Аламбер та інших.). Завдання інтегрування диференційних рівнянь з постійними коефіцієнтами надали великий вплив в розвитку лінійної алгебри. У 1841 року Лиувилль показав, що рівняння Риккати y «+ a (x)y + b (x)y2 = c (x) може бути загалом разі дозволено в квадратурах. Вивчення безперервних груп змін у зв’язки України із завданнями інтегрування диференційних рівнянь створило теорії груп Лі.

Начало якісної теорії диференційних рівнянь було покладено на роботах знаменитого французького математика Пуанкаре. Ці дослідження Пуанкаре по звичайним диференційним рівнянням привели його до створення основ сучасної топології.

Таким чином, диференціальні рівняння залишаються наче на перехресті математичних доріг. З одного боку, нові дуже важливі події в топології, алгебрі, функціональному аналізі, теорії функцій та інших галузях математики відразу ж потрапити призводять до прогресу теоретично диференційних рівнянь і тим самим знаходять шлях до додатків. З іншого боку, проблеми фізики, сформульовані на мові диференційних рівнянь, викликають до життя нові напрями у математиці, призводять до необхідності вдосконалення математичного апарату, дають початок новим математичним теоріям, у яких внутрішні закони розвитку, свої власні проблеми.

В своїх «Лекціях про розвиток математики ХІХ столітті «Ф. Клейн писав: «Математика в наші дні нагадує збройову виробництво мирний час. Зразки захоплюють знавця. Призначення цих речей відходить на задній план. «.

Несмотря для цієї слова, можна сказати, що не можна відстоювати «роззброєння «математики. Пригадаємо, наприклад, стародавні греки вивчали конічні перерізу набагато раніше того, як було зазначено відкрито, ними рухаються планети. Справді, створена древніми греками теорія конічних перетинів не знаходила собі застосування майже дві тисячі років, поки Кеплер не скористався нею до створення теорії руху небесних тіл. З теорії Кеплера, Ньютон створив механіку, що є основою всієї фізики та техніки.

Другим таким прикладом може бути теорія груп, зародилася наприкінці XVIII століття (Лагранж, 1771 рік) у надрах самої математики знайшла лише наприкінці ХІХ століття плідне застосування спочатку у кристалографії, а пізніше у теоретичної фізики й інших природних науках. Повертаючись до сучасності, зауважимо, що найважливіші науково-технічні завдання, такі, як опанування атомну енергію, космічні польоти, були успішно вирішено у у Радянському Союзі також із високому теоретичного рівню розвитку математики нашій країні.

Таким чином, теоретично диференційних рівнянь ясно простежується основна лінія розвитку математики: від конкретного та приватного через абстракцію до конкретного і приватному.

Как вже говорилося, в XVIII і XIX століттях вивчалися переважно конкретні рівняння математичної фізики. З загальних результатів теорії рівнянь із приватними похідними у період треба сказати побудова теорії рівнянь з приватними похідними першого порядку (Монж, Коші, Шарпи) і теорему Ковалевської.

Теоремы про існуванні аналітичного (тобто представимого як статечного низки) рішення звичайних диференційних рівнянь, і навіть для лінійних систем рівнянь із приватними похідними було доведено раніше Коші (Cauchy, 1789 — 1857). Це питання розглядалися їм у кількох статтях. Але роботи Коші не були відомі Вейерштрассу, який запропонував С.В. Ковалевської вивчити питання існуванні аналітичних рішень рівнянь із приватними похідними в ролі докторську дисертацію. (Зазначу, що Коші опублікував 789 статей і велика кількість монографій; його доробок величезна, тому не дивно, що його результати могли залишитися кілька днів непоміченими.) С. В. Ковалевская у роботі спиралася на лекції Вейерштрасса, де розглядалася завдання з початковими умовами для звичайних диференційних рівнянь. Дослідження Ковалевської додало питання разрешимости завдання Коші для рівнянь і систем із приватними похідними у сенсі завершальний характер. Пуанкаре високо цінував роботу Ковалевської. Він: «Ковалевская значно спростила доказ і додавала теоремі остаточну форму » .

Теорема Ковалевської має важливе місце у сучасної теорії рівнянь із приватними похідними. Їй, мабуть, належить одне з перших місць за кількістю застосувань у різноманітних галузях теорії рівнянь із приватними похідними: теорема Хольмгрена про одиничності виконання завдання Коші, теореми існування рішення завдання Коші для гіперболічних рівнянь (Шаудер, Петровський), сучасна теорія разрешимости лінійних рівнянь і ще результати використовують теорему Ковалевської.

Важным досягненням теорії рівнянь із приватними похідними стало створення межі ХІХ століття теорії інтегральних рівнянь Фредгольма і рішення основних крайових завдань для рівняння Лапласа. Можна вважати, основні підсумки розвитку теорії рівнянь із приватними похідними ХІХ століття підбито в підручнику Еге. Гурса «Курс математичного аналізу », виданий 20-ті роки ХХ століття. Слід зазначити значний внесок, який внесли в теорію диференційних рівнянь і математичну фізику праці М. В. Остроградського по вариационным методам, праці А. М. Ляпунова з теорії потенціалу з теорії стійкості руху, праці В.А. Стєклова обгрунтування методу Фур'є та інші.

Тридцатые і наступні роки ХХ століття були періодом бурхливого розвитку загальної теорії рівнянь із приватними похідними. У працях І.Г. Петровського було закладено основи загальної теорії систем рівнянь із приватними похідними, виділено класи систем рівнянь, що на даний час звуться еліптичних, гіперболічних і параболічних по Петровському систем, досліджені їх властивості, вивчені характерні їм завдання.

В теорію рівнянь із приватними похідними дедалі глибше стали проникати ідеї функціонального аналізу. Було введене поняття узагальненого рішення як елемента деякого функціонального простору. Ідея узагальненого рішення систематично проводилася на роботах С.Л. Соболєва. У зв’язку з дослідженням диференційних рівнянь Соболєвим в 30-годы було створено теорія узагальнених функцій, яка відіграє винятково важливу роль сучасної математики й фізиці. С.Л. Соболєвим було побудовано теорія вкладення функціональних просторів, що на даний час звуться просторів Соболєва. О. Н. Тихоновим було побудовано теорія некоректних завдань.

Выдающийся внесок у сучасну теорію диференційних рівнянь внесли російські математики М. М. Боголюбов, О. Н. Колмогоров, І.Г. Петровський, К. С. Понтрягин, С.Л. Соболєв, О. Н. Тихонов та інші.

Влияние на розвиток теорії рівнянь із приватними похідними нашій країні надав семінар, що у 40-ві і 50-ті роки керували І.Г. Петровський, С.Л. Соболєв, О. Н. Тихонов. Значну роль розвитку теорії рівнянь із приватними похідними зіграла проблемно-обзорная стаття І.Г. Петровського «Про деякі проблеми теорії рівнянь із приватними похідними », опублікована у 1946 року у журналі «Успіхи математичних наук ». У ній викладено стан теорії рівнянь із приватними похідними тогочасна і намічені шляхи його її подальшого розвитку. Тепер, через майже 50 років, можна сказати, що успішний розвиток теорії рівнянь із приватними похідними йшло саме з тим шляхом, який був міститься у цій чудовій статті.

В справжнє час теорія диференційних рівнянь із приватними похідними представляє собою багату, сильно розгалужену теорію. Збудована теорія крайових завдань для еліптичних операторів з урахуванням нещодавно створеного нового апарату — теорії псевдодифференциальных операторів, розв’язано проблему індексу, вивчені змішані завдання для гіперболічних рівнянь. Важливу роль сучасні дослідження гіперболічних рівнянь грають інтегральні оператори Фур'є, які узагальнюють оператор перетворення Фур'є той випадок, коли фазовая функція в показнику експоненти, власне кажучи, нелінійно залежить від незалежних змінних і частот. З допомогою інтегральних операторів Фур'є вивчений питання про поширення особливостей рішень диференційних рівнянь, провідний початок від класичних робіт Гюйгенса. Останніми десятиліттями знайдено умови коректною постановки крайових завдань, досліджені питання гладкості рішень для еліптичних і параболічних систем. Вивчено нелинейные еліптичні і параболічні рівняння другого порядку й широкі класи нелінійних рівнянь першого порядку, досліджували їм завдання Коші, побудована теорія розривних рішень. Глибокому вивченню понесли система Навье-Стокса, система рівнянь прикордонного шару, рівняння теорії пружності, рівняння фільтрації і з інші важливі рівняння математичної фізики.

Интересным прикладом залучення ідей коштів з інших математики є рішення, у останні роки завдання Коші для рівняння Кортевега-де Фриса з допомогою зворотної завдання теорії розсіювання. За підсумками виниклого у своїй методу знайдено нові класи интегрируемых нелінійних рівнянь і систем. У цьому істотну роль зіграло застосування методів алгебраїчній геометрії, що дозволило, в частковості, проинтегрировать рівняння Янга-Миллса, які відіграють значної ролі в квантової теорії поля.

В останні десятиліття з’явився хтось і інтенсивно розвивається новий розподіл теорії рівнянь з приватними похідними — теорія усереднення диференційних операторів. Ця теорія виникла під впливом завдань фізики, механіки суцільний середовища проживання і техніки, в частковості, що з вивченням композитів (сильно неоднорідних матеріалів, широко які у зараз у інженерної техніці), пористих середовищ, перфорованих матеріалів. Такі завдання призводять до рівнянням із приватними похідними з швидко осциллирующими коефіцієнтами чи областях зі складною кордоном. Кількісна рішення що така завдань дуже важко. Необхідний асимптотический аналіз завдання, що призводить до завдань усереднення.

Много робіт у останні роки присвячено вивченню поведінки рішень еволюційних рівнянь (то є рівнянь, що описують процеси, що розвиваються у часі) при необмеженому зростанні часу й які виникають за цьому про аттракторов. Продовжує привертати пильну увагу дослідників питання про характер гладкості рішень крайових завдань в західних областях з негладкой кордоном, велика кількість робіт у останні роки присвячено вивченню конкретних нелінійних завдань математичної фізики.

За останні півтора — два десятки років сильно змінилося обличчя якісної теорії звичайних диференційних рівнянь. Однією з важливих досягнень є відкриття граничних режимів, які дістали назву аттракторов.

Оказалось, що разом із стаціонарними і періодичними граничними режимами можливі граничні режими зовсім інший природи, саме такі, у яких кожна окрема траєкторія нестійка, а саме явище виходу даний граничний режим структурно стійко. Відкриття і докладний вивчення для систем звичайних диференційних рівнянь таких граничних режимів, званих аттракторами, зажадало залучення коштів диференціальної геометрії і топології, функціонального аналізу та теорії ймовірностей. Нині відбувається інтенсивне впровадження цих математичних понять в докладання. Приміром, явища, що відбуваються під час переходу ламинарного течії в турбулентне при підвищенні чисел Рейнольдса, описуються аттрактором. Вивчення аттракторов розпочато також і рівнянь із приватними похідними.

Другим важливим досягненням теорії звичайних диференційних рівнянь стало вивчення структурної стійкості систем. З використанням будь-який математичну модель виникає запитання про коректності застосування математичних результатів до реального дійсності. Якщо результат сильно чутливий до найменшого зміни моделі, то як завгодно малі зміни моделі приведуть до моделі із цілком іншими властивостями. Такі результати не можна поширювати на досліджуваний реальний процес, бо за побудові моделі завжди проводиться деяка ідеалізація і параметри визначаються лише наближено.

Это привело А. А. Андронова і К. С. Понтрягина до поняття грубості системи звичайних диференційних рівнянь чи поняттю структурної стійкості. Це виявилося дуже плідним у разі малої розмірності фазового простору (1 чи 2), й у разі питання структурної стійкості були детально вивчені.

В 1965 року Смейл показав, що з великий розмірності фазового простору існують системи, у певній околиці яких немає однієї структурно стійкою системи, тобто такою, що з малому зміні векторного поля вона залишається в певному сенсі еквівалентній початкової. Цей результат має фундаментальне значення для якісної теорії звичайних диференційних рівнянь, оскільки показує нерозв’язність завдання топологічної класифікації систем звичайних диференційних рівнянь, і то, можливо порівняємо за своїм значенням з теоремою Лиувилля про нерозв’язності диференційних рівнянь в квадратурах.

К важливим досягненням можна віднести побудова О. Н. Колмогоровым теорії обурень гамильтоновых систем, обгрунтування методу усереднення для многочастичных систем, розвиток теорії біфуркацій, теорії обурень, теорії релаксаційних коливань, подальше глибоке вивчення показників Ляпунова, створення теорії оптимального управління процесами, описаними диференціальними рівняннями.

Таким чином, теорія диференційних рівнянь нині є виключно багатий змістом, швидко що розвивається розділ математики, тісно пов’язані з іншими областями математики з її додатками.

Бурбаки, кажучи про архітектуру математики, так характеризує її сучасний стан:

" Дати в час загального уявлення про математичної науці - отже займатися таким справою, яке, як здається, від початку наштовхується на майже нездоланні труднощі завдяки просторості і розмаїттям аналізованого матеріалу. Статті з чистої математиці, опубліковані в усьому світ у середньому у протягом один рік, становлять багато тисяч сторінок. Не усі вони, звісно, мають однакову цінність; тим щонайменше, після очищення неминучих покидьків виявляється, що рік математична наука збагачується масою нових результатів, набуває дедалі більш різноманітне утримання і постійно дає відгалуження як теорій, які безперервно видозмінюються, перебудовуються, сопоставляются і комбінуються друг з одним. Жоден математик неспроможна простежити це такий розвиток докладно, навіть коли він присвятить цьому все своє діяльність. Чимало понять з математиків влаштовуються в якомусь закутку математичної науки, звідки де вони прагнуть вийти й як майже зовсім ігнорують усе те, що ні стосується предмета їх досліджень, але не силах навіть і зрозуміти язик, і термінологію своїх побратимів, спеціальність яких далекою від них ". (М. Бурбаки, «Нариси з історії математики », М.: Іл, 1963 р.).

Однако не можна, на мою думку, заперечувати значення для математичних досліджень навіть, які перебувають «у завулку «математичної науки. Основне русло математики, як і великий річки, живлять передусім невеликі струмочки. Великі відкриття, прорив фронту досліджень часто-густо забезпечуються і готуються кропіткою працею дуже багатьох дослідників. Усе належить не лише до всієї математиці, до одного з найбільших її розділів — теорії диференційних рівнянь, що у час є важко досяжну для ока сукупність фактів, ідей методів, дуже корисних для додатків і стимулюючих теоретичні дослідження від інших розділах математики.

Многие розділи теорії диференційних рівнянь так розрослися, що став самостійними науками. Можна сміливо сказати, що більшість шляхів, що пов’язують абстрактні математичні теорії та природничонаукові докладання, проходить через диференціальні рівняння. Усе це забезпечує теорії диференційних рівнянь чільне місце у сучасній науці.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.