Геометрія чисел

Виникненням теорії чисел ми, за рахунком, зобов’язані Минковскому. Мінковський (Minkowski), Герман — видатний математик (1864 — 1909), єврей, вийшли з Росії. Був професором в Бонні, Кенігсберзі, Цюріху й Геттінгені. Зблизив теорію чисел з геометрією, створивши особливе вчення про «геометрії чисел «(«Geometrie der Zahlen », 1896 — 1910; «Diophantische Approzimationen », 1907, та інших.). Остання його робота: «Raum und Zeit «(Лейпциг., 1909; кілька російських перекладів); тут дана смілива математична формулювання з так званого «принципу відносності «. Повне зібрання твір Минковского вийшло Лейпцигу, в 1911 р.; біографія Минковского у російському виданні «Простір та палестинці час ». Отже, Мінковський зробив великий внесок у розвиток математики як науки. Зокрема, він зумів спростити теорію одиниць полів алгебраїчних чисел, і навіть спростив і розвинув теорію апроксимації ірраціональних чисел раціональними, чи теорію диофантовых наближень. Під диофантовыми приближениями у разі розуміється розділ теорії чисел, вивчав наближення дійсних чисел раціональні питання, пов’язані з рішенням цілих числах лінійних і нелінійних нерівностей зі справжніми коефіцієнтами. Цей новий напрям, яке Мінковський назвав «геометрією чисел », розвинулося в незалежний розділ теорії чисел, має багато додатків у найрізноманітніших запитання й водночас досить цікаве для самостійного изучения.

Постановка задачи.

Спочатку хочу розглянути деякі поняття й одержують результати, що у подальшому основну роль. Розмірковування, якими тут користуємося, іноді значно різняться від міркувань в основних книжках з даному питанню, позаяк у цій роботі маємо метою, аби дати повних доказів, б зробити найпростіших випадків геометричну ситуацію інтуїтивно ясною, тоді як пізніше ми будемо змушені жертвувати наочністю заради точності. Діяльність розглядається основне завдання геометрії чисел, наводиться теорема Минковского з її доказом, і пояснюються такі поняття геометрії чисел як ґрати і критичні ґрати. Наприкінці роботи наводиться так звана «неоднорідна завдання» геометрії чисел.

Основне завдання геометрії чисел.

Основний і типовою завданням геометрії чисел є така задача.

Нехай f (х1,…, xn) — функція речовинних аргументів, приймаюча речові значення. Як малий то, можливо (f (u1,…, un)(при підходящому виборі цілих чисел u1,…, un? Може зустрітися тривіальний випадок f (0,…, 0)=0, наприклад, якщо f (х1,…, xn) є однорідної формою; у тому разі сукупність значень u1 = u2 = … = un = 0 з розгляду виключається («однорідна проблема»). Зазвичай розглядаються оцінки, застосовні як для конкретних функцій f, але й цілих класів функцій. Так, типовим результатом такого роду є що пропозицію. Нехай f (x1,x2) = a11×12 + 2a12x1x2 + a22×22 (1) — позитивно певна квадратична форма. Тоді знайдуться цілі числа u1, u2, нерівні одночасно нулю, що справедливе нерівність f (u1,u2) ((4D/3)½ (2) де D = a11a22 — a122 — визначник форми. Зрозуміло, що коли цей результат вірний, він найкраще. Справді, u12 + u1u2 + u22 (1 всім пар цілих чисел u1, u2, не рівних одночасно нулю; тут D = ¾. Звісно, випадок позитивно певних бінарних квадратичных форм вкрай простий, і результати завдання був відомий набагато раніше виникнення геометрії чисел. Проте за позитивно певних бінарних квадратичных формах щодо просто проводяться деякі міркування геометрії чисел, отже ці форми зручно використовувати як ілюстрації всіх рассуждений.

Щойно сформульований результат можна сформулювати наочно. Нерівність типу f (x1,x2) (k, де f (x1,x2) — форма (1), а k — деяке позитивне число, задає область (площині {x1,x2}, обмежену эллипсом. Отже, нашу пропозицію стверджує, що й k ((4D/3)½, то область (містить точку (u1,u2) з цілими координатами u1 і u2, не рівними одночасно нулю.

Теорему Минковского.

Аналогічний, але, щоправда, так точний результат негайно слід з основний теореми Минковского. У двовимірному випадку ця теорема стверджує, що область (завжди містить точку (u1,u2) з цілими координатами, відмінну з початку, Якщо ця область задовольняє наступним трьом умовам: 1) область (симетрична щодо початку координат; т. е. якщо точка (x1,x2) перебуває у (, то точка (-x1,-x2) також в (; 2) область (опукла; т. е. якщо (x1,x2), (y1,y2) — дві якісь точки області (, те й весь отрезок.

{(x1 + (1-()y1, (x2 + (1-()y2}, 0 (((1, котрий поєднує ці точки, також в (;

3) площа (більше 4.

Будь-який еліпс f (x1,x2) (k задовольняє умовам 1) і 2). Оскільки його дорівнює k (/ (a11a22 — a12)½ = k (/ D½, він задовольняє умові 3), якщо k (> 4D½. Отже, ми маємо результат, аналогічний наведеному вище пропозиції, тоді як (2) константу (4/3)½ замінити будь-яким числом, великим 4/(.

Доказ теореми Минковского. Цікаво буде коротко розглянути основні ідеї, які у основі докази теореми Минковского, оскільки у формальних доказах, наведених основними джерелами, вони губляться за необхідністю отримання сильних теорем, мають найбільш широкі приложения.

[pic] Замість області (Мінковський розглядає область (= (/2, яка складається з точок (x½, x2/2), де (x1,x2) (точки області (. Отже, область (симетрична щодо початку координат і опукла, її площа дорівнює чверті площі області (і, отже, більше 1. У випадку Мінковський розглядає сукупність областей ((u1,u2) з центрами в цілочислових точках (u1,u2), отриманих тіло (паралельними переносами.

Спочатку справедливо відзначити, що й (і ((u1,u2) перетинаються, то точка (u1,u2) перебуває у (. Протилежне твердження тривіально. Якщо точка (u1,u2) перебуває у (, то точка (u½, u2/2) міститься як і (, і у ((u1,u2). Справді, нехай (?1, ?2) — точка, що у перетині. Оскільки точка (?1, ?2) лежать у області ((u1,u2), тоді точка (?1 — u1, ?2 — u2) лежать у області (; отже, через симетрії області (точка (u1 — ?1, u2 — ?2) перебуває у (. Нарешті, з опуклості тіла (середина відрізка, поєднує точку (u1 — ?1, u2 — ?2) до точки (?1, ?2), тобто точка (u½, u2/2), лежать у (, тому точка (u1,u2) перебуває у (. Що, власне, і було довести. Зрозуміло, що область ((u1,u2) тоді навіть тільки тоді ми перетинається із ділянкою ((u1', u2'), коли область (перетинається із ділянкою ((u1 — u1', u2 — u2').

Отже, щоб теорема Минковского було доведено, досить показати, що й області ((u1,u2) не перетинаються, то площа області ((u1,u2) вбирається у 1. Невеликий міркування переконує, що це має бути. Інше обгрунтування, можливо інтуїтивно більш ясне, можна отримати роботу, вважаючи, що область (повністю міститься у квадраті x1? X, |x2|? X, цьому треба враховувати те, що опуклі область кінцевої площі ограничена.

Нехай U — досить великий ціла кількість. Існує (2U + 1)2 областей ((u1,u2), координати центрів яких задовольняють неравенствам u1? U, |u2|? U.

Всі ці області повністю перебувають у квадрате.

x1? U + X, |x2|? U + X, площа якого равна.

4 (U + X)2.

Оскільки передбачається, що прокуратурою області ((u1,u2) не перетинаються, то має місце неравенство.

(2U + 1)2V (4(U + X)2, де V — площа області (, отже, і будь-яка області ((u1,u2). Спрямовуючи тепер U до нескінченності, ми маємо нерівність V (1, що потрібно було доказать.

Ґрати. Перетворення координат в наведеному прикладі з певній бінарною квадратичной формою може спричинити і в іншу точки зору. Ми можемо уявити форму f (x1,x2) як сукупність квадратів двох лінійних форм f (x1, x2) = Х12 + Х22, (3) где.

Х1 = (x1 + (x2, X2 = (x1 + (x2, (4) (,(,(,(- деякі постійні речові числа. Можна, наприклад, положить.

(= a111/2, (= a11−½a12,.

(= 0, (= a11−½D1/2.

Назад, якщо (,(,(,(- такі речові числа, що ((- (((0, і форми Х1, Х2 задано равенствами (4), то выражение.

Х12 + Х22 = a11×12 + 2a12x1x2 + a22×22, де a11 = (2 + (2, a12 = ((+ ((, (5) a22 = (2 + (2, є позитивно певної квадратичной формою з определителем.

D = a11a22 — a122 = (((- (()2. (6) Тепер розглядати пару (Х1, Х2) в розумінні системи прямокутних декартовых координат. Тоді кажуть, що точки (Х1, Х2), відповідні цілим (x1, x2) у висловлюваннях (4), утворюють (двумерную) грати (. У векторних позначеннях решітка (є сукупність точек.

(Х1, Х2) = u1((,() + u2((,(), (7) де u1, u2 пробігають все цілі числа; точки (вектори) ((,() і ((,() утворюють базис ґрати (.

Розглянемо тепер докладніше властивості решіток. Через те, що ми розглядаємо грати (просто безліч точок, ми можемо її описати з допомогою різних базисів. Наприклад, пара.

(? — ?,? — ?), (- ?, — ?).

є іншим базисом ґрати (. Фіксований базис (?, ?), (?, ?) ґрати (визначає розбивка площині двома сімействами равноудалённых паралельних прямих; перше сімейство складається з тих точок (Х1, Х2), які мають координати виду (7), де u2 — будь-яке ціла кількість, а u1 — будь-яке речовинне. Для ліній другого порядку сімейства u1 і u2 змінюються ролями. Отже, площину розбивається на паралелограми, вершинами яких є саме точки ґрати (. Зрозуміло, що це розбивка залежить від вибору базису. Проте, можна показати, що загальна площа одержуваних паралелограмів, саме число.

|?? — ??|, залежить від вибору базису. Це можливим, якщо показати, що число N (X) точок ґрати у досить великому квадрате.

? (Х): |Х1|? Х, |Х2|? Х задовольняє соотношению.

N (X) / 4X2 > 1 / |?? — ??| (X > ?). Справді, розгляд ідей докази теореми Минковского про опуклому тілі, що було наведено в стислому вигляді вище, показує, що число точок ґрати (в квадраті? (Х), говорячи згрубша, одно числу паралелограмів, що у цьому квадраті. І це число, своєю чергою, приблизно дорівнює площі квадрата? (Х), делённой на площа |?? — ??| одного паралелограма. Суворо позитивне число d (() = |?? — ??| (8) називається визначником ґрати (. Як були лише що показано, це число залежить від вибору базиса.

Критичні ґрати. Використовуючи введённые вище нові поняття, можна побачити, що затвердження про існуванні цілих рішень нерівності f (х1,х2) ((4D/3)½ еквівалентно утвердженню у тому, будь-яка ґрати (в области.

Х12 + Х22? (4/3)½ d (() (9) має точки, які від початку координат. З огляду на однорідності це у свою чергу, еквівалентно утвердженню, що відкритий круг.

?: Х12 + Х22 < 1 (10) містить точку кожної ґрати (, на яку d (() < (¾)½. Який факт, що є таких форм, котрим в (2) знак рівності необхідний, еквівалентний існуванню ґрати (з з визначником d (© = (¾)½, не має точок по колу ?. Отже, завдання про довільній певній бінарною квадратичной формі еквівалентна завданню про фіксованою області? і довільній ґратам. Аналогічно дослідження ґрат з точками в области.

| Х1 Х2| < 1 дає інформацію про мінімумах inf |f (u1,u2)| невизначених бінарних квадратичных форм f (x1,x2). Тут точна нижню межу береться за всі цілим числам u1 і u2, не рівним одночасно нулю. Приклади можна продовжити. Такі розгляду призводять до наступним визначень. Кажуть, що ґрати (припустима області (точечної безлічі) (у площині {Х1,Х2} якщо вона містить жодних інших точок (, крім, то, можливо, початку координат. Останній випадок може бути, коли початок координат є точкою області (. Тоді говоримо, що ця ґрати (-припустима. Точна нижня грань ?(() визначників d (?) всіх (-допустимих ґрат є константою області (. Якщо (-допустимих ґрат немає, то вважаємо, що ?(() = ?. Тоді будь-яка ґрати ?, на яку d (?) < ?((), обов’язково містить точку області (, відрізняється від початку координат. (-допустима ґрати ?, на яку d (?) = ?((), називається критичної (для (). Звісно, критичні ґрати, власне кажучи, існують який завжди. Важливість критичних ґрат помітило вже Мінковським. Якщо (з — критична ґрати області (, а ґрати? отримана з? з низькою деформацією (тобто малим зміною пари базисних векторів), то або ґрати? має точку, відрізняється від початку координат й лежачу у сфері (, або d (?)? d (?с). Або і те, й те разом. Як приклад можна знову розглянути відкритий круг.

?: Х12 + Х22 < 1. Припустимо, що? з — критична ґрати області ?. Нижче буде надано начерк докази, що й критична ґрати існує, то вона повинна мати три пари точок ((А1, А2), ((В1, В2), ((С1, С2) за українсько-словацьким кордоном Х12 + Х22 = 1 кола ?. Якщо? з немає точок на окружності Х12 + Х22 = 1, можна буде отримати ?-допустиму грати із меншим визначником, гомотетически стискаючи грати? з до початку координат, тобто розглядаючи грати (= t? с точок (tX1, tX2), де (Х1, Х2) (?з, а t — це фіксований число з вимогою 0 < t < 1. Тоді d (() = t2d (© < d (© і, вочевидь, (буде ?-припустимою гратами, якщо t досить близько до 1. Отже, решітка (з містить пару точок на окружності Х12 + Х22 = 1, координати яких після належного повороту осей ми можемо вважати рівними ± (1, 0). Якби окружності Х12 + Х22 = 1 було б більше точок грати (з, ми змогли б мати ?-допустиму грати (із меншим визначником, стискаючи грати (з у бік, перпендикулярному осі X1, тобто приймаючи за (грати точок (Х1, tХ2), де (Х1, Х2) (?з, а t досить близько до 1. Нарешті, якби? з було б лише пари точок ±(1, 0), ± (В1, В2) на кордоні, то грати можна було б злегка деформувати те щоб точка (1, 0) залишилася дома, а точка з координатами (В1, В2) просунулася б вздовж окружності Х12 + Х22 = 1 ближчі один до осі Х1. Наочно подано на рисунке:

[pic] Ця операція, як перевірити, зменшує визначник, і за невеликих деформації получающаяся ґрати? залишається ?-припустимою. Справді, (1,0) і (В1, В2) можна як базис ґрати ?з, оскільки трикутник з вершинами (0, 0), (1, 0), (В1, В2), отже, і паралелограм, відповідальний базису (1, 0), (В1, В2) зовсім позбавлений всередині себе точок? з. Тоді критична ґрати ?з (якщо вони існують) повинна мати три пари точок на окружності Х12 + Х22 = 1. Легко побачити, що єдиною гратами, що має три пари точок лежать на окружності Х12 + Х22 = 1, тоді як з пар є пара ± (1, 0), є решітка? ? з базисом.

(1, 0), (½, ?¾). Вона має вершини правильного шестиугольника.

± (1, 0), ± (½, ?¾), ±(-½, ?¾), що лежать на окружності Х12 + Х22 = 1, але з містить жодного однієї точки (крім (0, 0)) по колу Х12 + Х22 < 1. Отже, ми показали, що й? має критичну грати, то ?(?) = d (? ?) = (¾)½. Мінковський показав, що критичні грати існують для досить широкого класу областей (, показавши, говорячи згрубша, що будь-яку (-допустиму грати? можна поступово деформувати до того часу, поки стане критической.

«Неоднорідна завдання» Іншим загальним типом проблеми є така типова «неоднорідна завдання». Нехай f (х1,…, xn) — деяка вещественнозначная функція речовинних аргументів х1,.. ., хn. Потрібна підібрати постійне число k з наступним властивістю: якщо ?1, …, ?n — будь-які речові числа, то знайдуться цілі числа u1,…, un, что.

|f (?1 — u1,…, ?n — un)|? k. Такі питання природно виникають, наприклад, теоретично алгебраїчних чисел. І цього разу є проста геометрична інтерпретація. Для наочності між іншим n = 2. Нехай (— багато тих точок (х1, х2) двумерной евклідовій площині, что.

|f (x1, …, xn)|? k. Нехай u1, u2 — будь-які цілі числа; позначимо через ((u1, u2) область, отриману з (паралельним перенесенням на вектор (u1, u2); інакше кажучи, ((u1, u2) є чимало таких точок х1, х2, что.

|f (х1 — u1, х2 — u2)|? k. Неоднорідна проблема полягає у виборі k в такий спосіб, щоб області ((u1, u2) покривали всю площину. Бажано вибрати k, отже, і (, найменшим з усіх можливих (але те щоб властивість покривати всю площину збереглося). Тут маємо протилежність постановці однорідної завдання, приведённой вище, де мета зводилася до того, щоб зробити області найбільшими, але ще не пересічними одна з другой.