Частинні похідні. 
Повний диференціал (реферат)

Реферат на тему:

Частинні похідні. Повний диференціал Означення. Нехай задано функцію z=f (x, y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x, y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y — приріст dy, то вираз dz=f (x+dx, y+dy)-f (x, y) називають повним приростом функції f (x, y) .

Означення. Функція f (x, y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо.

$$\begin{array}{c}\text{lim}f(x,y)=\\ \begin{array}{c}x->x_0\\ y->y_0\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\text{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)\\ \begin{array}{c}\mathit{}->0\\ \mathit{}->0\end{array}\end{array}$$ .

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f (x+dx, y)-f (x, y) та dyz=f (x, y+dy)-f (x, y) називаються частинними приростами функції f (x, y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f (x, y) за аргументом x називається границя.

$$\begin{array}{c}{f}^{\text{'}}{\left(x,y\right)}_x=\begin{array}{c}\text{lim}\\ \mathit{}->0\end{array}\begin{array}{c}\frac{f(x+\mathit{},y)-f(x,y)}{\text{dx}}\\ \end{array}\\ \end{array}$$ (6.1).

Частинну (часткова) похідну від функції f (x, y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f (x, y) використовують такі позначення :

f, y) — z $$\frac{z}{x}-\frac{f}{x}$$ ;

f, y) — z $$\frac{z}{y}-\frac{f}{y}$$ .

Частинні похідні $$\frac{z}{x}$$ та $$\frac{z}{y}$$ задають напрями дотичних до поверхні z = f (x, y). Варто пригадати, що звичайна похідна f = $$\frac{\text{df}}{\text{dx}}$$ задає напрям дотичної до кривої y = f (x).

Приклади.

1. Нехай $$z=4x^2+2\text{xy}+3y^2$$.

Тоді $$\frac{z}{x}=8x+2y\frac{z}{y}=2x+6y$$.

2. Нехай Q=K0.64. Знайдемо відповідні частинні похідні.

$$\frac{Q}{K}=0\text{.}6K^{-0\text{.}4}{L}^{0\text{.}4}=0\text{.}6\frac{L^{0\text{.}4}}{K^{0\text{.}4}}=0\text{.}6\frac{Q}{K}>0$$.

$$\frac{Q}{L}=0\text{.}4K^{0\text{.}6}{L}^{-0\text{.}6}=0\text{.}4\frac{K^{0\text{.}6}}{L^{0\text{.}6}}=0\text{.}4\frac{Q}{L}>0$$.

(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.64 .

$$Q_K^{\text{'}\text{'}}=\frac{{}^{2}Q}{K^2}=\frac{}{K}\left(0\text{.}6K^{-0\text{.}4}{L}^{0\text{.}4}\right)=0\text{.}6(-0\text{.}4)K^{-1\text{.}4}{L}^{0\text{.}4}=-0\text{.}\text{24}\frac{L^{0\text{.}4}}{K^{1\text{.}4}}<0$$.

$$Q_L^{\text{'}\text{'}}=\frac{{}^{2}Q}{L^2}=\frac{}{L}\left(0\text{.}4K^{0\text{.}6}{L}^{-0\text{.}6}\right)=0\text{.}4(-0\text{.}6)K^{0\text{.}6}{L}^{-1\text{.}6}=-0\text{.}\text{24}\frac{L^{0\text{.}6}}{K^{1\text{.}6}}<0$$.

(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці).

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :

$$Q_{\text{KL}}^{\text{'}\text{'}}=\frac{{}^{2}Q}{KL}=\frac{}{K}\frac{Q}{L}=\frac{}{K}\left(0\text{.}4K^{0\text{.}6}{L}^{-0\text{.}6}\right)=0\text{.}60\text{.}4K^{-0\text{.}4}{L}^{-0\text{.}6}$$.

Теорема: Якщо функція z = f (x, y) та її похідні z z zxy і zyx неперервні в точці (x, y) та деякому околі цієї точки, то zxy = zyx .

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f (x, y) називають суму її частинних диференціалів :

$$\text{dz}=\frac{z}{x}\text{dx}+\frac{z}{x}\text{dy}$$ (6.2).

Приклад. $$z=2x^2+3\text{xy}+4y^2$$.

Тоді $$\text{dz}=(4x+3y)\text{dx}+(3x+8y)\text{dy}$$.

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f (x, y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f (x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f (x) (рис. 6.9,а — б).

z y y=f (x).

z=z (x, y) dy.

dz.

dy x.

dx y x.

x.

a б.

Рис. 6.9.

$$$$ $$$$ По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

$$|\mathit{}|\text{dz}=\frac{z}{x_1}{\text{dx}}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{z}{x_n}{\text{dx}}_n<=|\frac{z}{x_1}|{\mathit{}}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+|\frac{z}{x_n}|{\mathit{}}_n$$ ,.

де $${\mathit{}}_1,\text{.}\text{.}\text{.},{\mathit{}}_n$$ — похибки аргументів.

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно.

Приклад.

Нехай $$x=8\pm 0\text{.}5$$ та $$y=\text{12}\pm 0\text{.}5$$. Потрібно оцінити похибку функції $$f(x)\text{dx}=F(x)+C$$ .

Маємо.

$$\text{dx}=x+C$$.

Отже,.

$$\sqrt{x}\text{dx}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$$.

Нехай потрібно знайти похідну $$\frac{1}{\sqrt{x}}\text{dx}=2\sqrt{x}+C$$ у тому випадку, коли функція $$\frac{1}{x}\text{dx}=\text{ln}x+C$$ задана неявно у вигляді $$a^x\text{dx}=\frac{a^x}{\text{ln}x}+C$$. Узявши від функції F (x, y) повний диференціал, отримуємо.

$$F_x^{\text{'}}\text{dx}+F_y^{\text{'}}\text{dy}=\mathrm{0,}$$.

звідки $$e^x\text{dx}=e^x+C$$ .

Приклад.

Знайти похідну $$\text{sin}\text{xdx}=-\text{cos}x+C$$ якщо $$\frac{\text{dx}}{{\text{sin}}^{2}x}=-\text{ctgx}+C$$.

Маємо.

$$\frac{\text{dx}}{{\text{cos}}^{2}x}=\text{tgx}+C$$.

звідки $$\frac{\text{dx}}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\text{arctg}\frac{x}{a}+C$$ .

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10×1+15×2, де x1 та x2 -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в неперервному випадку є похідною від змінної x1 за змінною x2 за умови сталого випуску Q:

$$\frac{\text{dx}}{1+x^2}=\text{arctgx}+C$$ .

Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x2 на одиницю та одночасного збільшення ресурсу x1 на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться (рис. 6.10).

x2.

x1.

1,5.

Рис. 6.10.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K0,64 (функція Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці капіталом у цьому випадку с.

$$\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsin}\frac{x}{a}+C$$ .

Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від співвідношення K/L.