* Алгебри та їх застосування

*-Алгебры та його применение.

Дипломная робота специалиста Таврический національний університет ім. В.І. Вернадского Симферополь 2003.

Пусть М — гильбертово простір, L (Н) — безліч безперервних лінійних операторів в М. Розглянемо підмножина На L (Н), сохраняющееся при додаванні, множенні, множенні на скаляры і поєднанні. Тоді А — операторная *-алгебра. Якщо дана абстрактна *-алгебра Бо одне з основних цілей теорії лінійних уявлень (*-гомоморфизмов На L (Н)) — перелічити всі її неприводимые уявлення (з точністю до эквивалентности).

Теория унітарних уявлень груп перегукується з XIX віці і пов’язана з іменами Г. Фробениуса, И. Шура, В. Бернсайда, Ф.Е. Моліна та інших. У зв’язки України із пропозиціями до квантової фізиці теорія унітарних уявлень топологічних груп, груп Лі, С*-алгебр розробили И. М. Гельфандом, М. А. Наймарком, И. Сигалом, Ж. Диксмье, А. А. Кириловим та інших. в 60−70-ті роки ХХ століття. Надалі інтенсивно розвивається теорія уявлень *-алгебр, заданих утворюючими і соотношениями.

Дипломная робота присвячена розвитку теорії уявлень (конечномерных і бесконечномерных) *-алгебр, породжених двома проекторами.

Глава I стисло формі містить необхідних подальшого дані з теорії уявлень, і функціонального аналізу. У § 1 дадуть визначення *-алгебри й приведено найпростіші властивості цих алгебр. У § 2 викладаються основні властивості уявлень, вводяться такі поняття: неприводимость, еквівалентність, пряма сума, інтегрування і дезинтегрирование уявлень. У § 3 визначаються тензорные твори просторів, тензорные твори операторів та інших. (див. [2], [3], [4], [8], [9]).

В Главі II вивчаються уявлення *-алгебри P2.

P2 = З < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,.

порожденной двома самосопряженными идемпотентами, то є проекторами (див., наприклад, [12]). Знайдено все неприводимые *-уявлення *-алгебри P2, з точністю до еквівалентності., доведені відповідні спектральні теоремы.

В § 1 розглядаються лише конечномерные *-уявлення? в унітарній просторі М. Описано все неприводимые і нееквівалентні *-уявлення *-алгебри P2. Неприводимые *-уявлення P2 одномірні і двумерны:

4 одномірних: ?0,0(p1) = 0, ?0,0(p2) = 0; ?0,1(p1) = 0, ?0,1(p2) = 1;

?1,0(p1) = 1, ?1,0(p2) = 0; ?1,1(p1) = 1, ?1,1(p2) = 1.

И двомірні: , ? (0, 1).

Доказана спектральна теорема про розкладанні простору М в ортогональную суму інваріантних щодо? підпросторів М, а також отримано розкладання? на неприводимые *-уявлення. Результати § 1 ставляться до математичного фольклору.

В § 2 отримані основні результати своєї роботи. Для пари проекторів в сепарабельном гильбертовом просторі М наведено опис всіх неприводимых уявлень, доведено спектральна теорема.

В Главі III спектральна теорема для пари проекторів Р1, Р2, застосовується до вивчення сум Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Отримано необхідну й достатню умова на самосопряженный оператор, А щоб, А = Р1+Р2 чи, А = аР1+bР2, 0 < a < b, (цей окреме питання завдання Г. Вейля (1912 р.) про спектрі суми пари самосопряженных операторів).

Глава I. Основні поняття і определения.

§ 1. — алгебры.

Определение — алгебры.

Определение 1.1. Сукупність, А елементів x, y, … називається алгебрій, если:

А є лінійне пространство;

в, А введена операція множення (взагалі некоммутативного), удовлетворяющая наступним условиям:

? (x y) = (? x) y,.

x (? y) =? (x y),.

(x y) z = x (y z),.

(x + y) = xz +xy,.

x (y + z) = xy + xz для будь-яких x, y, z Проте й будь-яких чисел ?.

Два елемента x, y алгебри, А називаються перестановочными, якщо xy = yx. Алгебра, А називається комутативної, якби її елементи попарно перестановочны.

Определение 1.2. Нехай, А — алгебра над полем З комплексних чисел. Інволюцією в, А називається таке відображення x? x* алгебри На А, что.

(x*)* = x;

(x + y)* = x* + y*;

(? x)* = x*;

(x y)* = y*x* для будь-яких x, y С.

Алгебра над З, споряджена інволюцією, називається инволютивной алгеброю чи *- алгеброю. Елемент x* називають сопряженным до x. Підмножина А, сохраняющееся при інволюції, називається самесопряженным.

Из властивості (і) слід, що інволюція в, А необхідно є биекцией На А.

1.2. Примеры На, А = З відображення z ? (комплексне число, пов’язана до z) є інволюція, перетворююча З в коммутативную *- алгебру.

Пусть Т — локально компактне простір, А = С (Т) — алгебра непрерывных комплексних функцій на Т, прагнуть нулю на нескінченності (тобто нічого для будь-якого? > 0 безліч {tT: |f (t)| ?} компактно, f (t) А. Забезпечуючи, А відображенням f? отримуємо коммутативную *- алгебру. Якщо Т зводиться лише до точці, то повертаємося до прикладу 1).

Пусть М — гильбертово простір. А = L (H) — алгебра обмежених лінійних операторів в М. Поставимо інволюцію як до сопряженному оператору. Тоді А — *- алгебра.

Обозначим через К (Н) сукупність всіх компактних операторів в гильбертовом просторі М; операції складання, множення на число і множення визначимо як відповідні дії з операторами. Тоді К (Н) буде *- алгеброю, якщо запровадити інволюцію А? А* (АК (Н)). Алгебра К (Н) у разі нескінченного М є алгебра без одиниці. Справді, якщо одиничний оператор I належить К (Н), він переводить відкритий одиничний кулю S H у собі. Отже I може бути компактним оператором.

Обозначим через W сукупність всіх абсолютно збіжних рядів .

Алгебра W є *- алгебра, якщо покласти . ().

1.3. Алгебри з единицей Определение 1.3. Алгебра, А називається алгеброю з одиницею, якщо, А містить елемент е, задовольняє условию ех = хе = x всім хА (1.1.).

Элемент е називають одиницею алгебри А.

Теорема 1.1. Алгебра, А може мати більше однієї единицы.

Доказательство. Справді, якщо е? — також одиниця в А, то е? х = хе? = x, всім хА (1.2.).

Полагая в (1.1.) x = е?, а (1.2.) x = е, получим:

ее? = е? е = е? і е? е = її? =е, отже е? = е.

Теорема 1.2. Будь-яку алгебру Без одиниці можна розглядати, як подалгебру деякою алгебри А? з единицей.

Доказ. Бажана алгебра повинна містити все суми х?=?е + x, хА; з іншого боку, сукупність всіх таких сум утворює алгебру А?, у якій основні операції визначаються формулами:

?(?е + x) = ??е + ?х, (?1е + х1) + (?2е + х2) = (?1 + ?2)е + (х1 + х2),.

(?1 е + х1)(?2 е+ х2)=?1 ?2 е +?1×2 +?2×1 + х1×2 (1.3.).

Каждый елемент x? з А? представляється єдиним чином у вигляді.

х? = ?е + x, хОскільки по умові А містить одиниці. Тому А? можна реалізувати як сукупність всіх формальних сум x? = ?е + x, хНа якої основні операції визначаються формулами (1.3.); сама алгебра, А вийде при? = 0.

Алгебру А? можна також ознайомитися реалізувати як сукупність всіх пар (?, x), хНа якої основні операції визначаються по формулам:

? (?, x) = (??, ?х), (?1, х1) + (?2, х2) = (?1 + ?2, х1 + х2),.

(?1, х1)(?2, х2) = (?1?2, ?1×2 + ?2×1 + х1×2), (1.4.).

аналогично тому, як визначаються комплексні числа. Саму алгебру, А можна тоді розглядати, як сукупність всіх пар (0, x), хПроте й не робити різницю між x і (0, x). Вважаючи е = (0, x), ми получим:

(?, x) = ?(1, 0) + (0, x) = ?е + х, так що друга реалізація алгебри А? рівносильна первой.

Переход від, А до А? називається приєднанням единицы.

Определение 1.4. Елемент y називається лівим зворотним елемента x, якщо xy = e. Елемент z називається правим зворотним елемента x, якщо xz = e.

Если елемент x має і лівий, правий зворотні, то все ліві та праві зворотні елемента x збігаються. Справді, примножуючи обидві частини рівності yx = e справа на z, получим.

z = (yx)z = y (xz) = ye,.

В цьому випадку кажуть, що є зворотний х-1 елемента х.

1.4. Найпростіші властивості — алгебр Определение 1.5. Елемент x *-алгебри, А називається эрмитовым чи самосопряженным, якщо x* = x, нормальним, якщо хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов елемент називається проектором. Елемент алгебри називається идемпотентным, коли всі його (натуральні) ступеня совпадают.

Каждый эрмитов елемент нормальний. Безліч эрмитовых елементів є речовинне векторное підпростір А. Якщо x і y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; отже, xy эрмитов, якщо x і y перестановочны. Для кожного хА елементи хх* і х*х эрмитовы. Але, власне кажучи, эрмитов елемент який завжди уявімо у тому вигляді, як приклад 1 із 1.2. Справді, нічого для будь-якого zЗ , якщо z справді негативне число, його годі уявити як .

Теорема 1.3. Кожен елемент x *-алгебри, А можна уявити, до того ж єдиним чином, як x = х1 +iх2, де х1, х2 — эрмитовы элементы.

Доказательство. Якщо така уявлення має місце, то x* = х1 +iх2, следовательно:

, (1.5.).

Таким чином, цей спектакль єдино. Назад, елементи х1, х2, певні рівністю (1.5.), эрмитовы і x = х1 +iх2.

Эти елементи х1, х2 називаються эрмитовыми компонентами елемента х.

Заметим, що хх* = х12 + х22 + i (х2×1 — х1×2),.

хх* = х12 + х22 — i (х2×1 — х1×2).

так що x нормальний тоді й тільки тоді, коли х1 і х2 перестановочны.

Так як е*е = е* є эрмитов елемент, то е* = е, то є одиниця эрмитов элемент.

Если, А — *-алгебра без одиниці, а А? — алгебра, отримана з, А приєднанням одиниці, то, поклавши при хА, ми визначимо інволюцію в А?, що б всі вимоги визначення 2. Отож А? стане *-алгеброю. Кажуть, що А? є *-алгебра, отримана з, А приєднанням единицы.

Теорема 1.4. Якщо х-1 існує, то (х*)-1 також існує и.

(х*)-1 = (х-1)*.

Доказательство. Застосовуючи операцію * до обох частин соотношения х-1х = хх-1 = е, получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но це, що (х-1)* є до х*.

Подалгебра А1 алгебри, А називається *-подалгеброй, якщо з хА1 слід, що х*А1 .

Непустое те що *-подалгебр є й *-подалгебра. Зокрема, те що всіх *-поалгебр, містять дане безліч S А мінімальна *-подалгебра, яка містить S.

Коммутативная *-алгебра називається максимальної, якщо вона міститься жодного як і інший комутативної *-подалгебре.

Теорема 1.5. Якщо У — максимальна коммутативная *-подалгебра, що містить нормальний елемент x, і якщо х-1 існує, то х-1В.

Доказательство. Оскільки x т x* перестановочны з усіма елементами з У, то цим самим властивістю мають х-1 і (х*)-1 = (х-1)*. З огляду на максимальності У це означає, що х-1В.

Определение 1.6. Елемент хА — *-алгебри називається унітарним, якщо хх* = х*х = е, інакше кажучи, якщо x звернімо і x = (х*)-1.

В прикладі 1 п. 1.2. унітарні елементи — комплексні числа з модулем, рівним 1.

Унитарные елементи, А утворюють групу з множенню — унітарну групу А. Справді, якщо x і y — унітарні елементи *-алгебри А, то.

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,.

поэтому xy унитарен, й, оскільки ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм і ізоморфізм алгебр Определение 1.7. Нехай Проте й У — дві *-алгебри. Назвемо гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) На У таке відображення f безлічі На У, что.

f (x + y) = f (x) + f (y),.

f (?x) =? f (x),.

f (xy) = f (x) f (y),.

f (x*) = f (x)*.

для будь-яких х, yА, ?З. Якщо відображення f биективно, то f називають изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Сукупність I елементів алгебри, А називається лівим ідеалом, если:

I? A;

Из x, yI слід x + y I;

Из хI, а ?А слід? хI.

Если I = Бо I називають невласним идеалом.

Аналогично й правий ідеал. Ідеал, є це й лівим, і правих, називається двусторонним.

Всякий ідеал автоматично виявляється алгеброй.

Пусть I — двосторонній ідеал в алгебрі А. Два елемента x, y з, А назвемо еквівалентними щодо ідеалу I, якщо х-yI. Тоді вся алгебра, А розбивається на класи еквівалентних між собою елементів. Означимо через, А сукупність всіх таких класів. Введемо в А1 операції складання, множення на число і множення, виробляючи такі дії над представниками класів. Оскільки I — двосторонній ідеал, то результат операцій залежить від вибору цих представителей.

Следовательно, А1 стає алгеброю. Ця алгебра називається фактор-алгеброй алгебри По ідеалу I і позначається A/I.

*-гомоморфизм алгебр описується з допомогою так званих самосопряженных двосторонніх идеалов.

Определение 1.9. Ідеал I (лівий, правий чи двосторонній) називається самосопряженным, коли з хI слід х*I.

Самосопряженный ідеал автоматично є двостороннім. Справді, відображення x? x* переводить лівий ідеал в правий правий ідеал в лівий; якщо тому відображення x? x* переводить I у І, то I є і лівий правий идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двосторонньому ідеалу I можна визначити інволюцію так. Якщо х-yI, то х*-y*I. Тому, за переході від x до x* кожен клас відрахувань x за ідеалом I перетворюється на певний інший клас відрахувань по I. Усі умови з визначення 1.2. виконані; отже, A/I є *-алгебра.

Если x? x? є *-гомоморфизм На А?, то повний прообраз I нуля (тобто ядро даного гомоморфизма) є самосопряженный двосторонній ідеал в А. Фактор-алгебра A/I *-ізоморфна *-алгебрі А?.

Обратно, відображення x? [x] кожного елемента хНа у якому його клас відрахувань по I є *-гомоморфизм алгебра На A/I.

§ 2. Представления.

2.1. Визначення і найпростіші властивості представлений.

Определение 2.1. Нехай, А — *-алгебра, М — гильбертово простір. Поданням На М називається *-гомоморфизм *-алгебри На *-алгебру обмежених лінійних операторів L (H).

Иначе кажучи, уявлення *-алгебри На М є таке відображення з На L (H), что.

? (x+y) =? (x) +? (y),? (? x) =? ?(x),.

? (xy) =? (x)? (y),? (x*) =? (x)*.

для будь-яких x, y Проте й? С.

Размерность гильбертова простору М називається розміреністю? і позначається dim?. Простір М називається простором уявлення ?.

Определение 2.2. Два уявлення ?1 і ?2 инволютивной алгебри На Н1 і Н2 відповідно, еквівалентні (чи унитарно еквівалентні), якщо є унітарний оператор U, діючий з гильбертова простору Н1 в гильбертово простір Н2, переводить ?1(х) в ?2(х) нічого для будь-якого хБо есть.

U ?1(х) = ?2(х) U всім x А.

Определение 2.3. Уявлення? називається циклічним, тоді як просторі М існує вектор f такий, що багато всіх векторів? (х)f (всім хА) щільно в М. Вектор f називають циклічним (чи тотализирующим) до подання ?.

Определение 2.4. Підпростір Н1М називається інваріантним, щодо уявлення ?, якщо? (А)Н1Н1.

Если Н1 інваріантне підпростір, то ми все оператори ?(х) (хА) можна розглядати, як оператори Н1. Звуження ?(х) на Н1 визначають подпредставления ?1 *-алгебри На Н1.

Теорема 2.1. Якщо Н1 інваріантне підпростір М, його ортогональное доповнення також инвариантно.

Доказательство. Нехай f ортогонален до Н1, тобто (f, g) = 0 всім gН1. Тоді для будь-якого хА (?(х)f, g) = (f, ?(х)*g) = (f, ?(х*)g) = 0, оскільки ?(х*)gН1. Отже, вектор ?(х)f також ортогонален до Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектування в М на підпростір Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 — інваріантне підпростір тоді навіть тільки тоді ми, коли всі оператори уявлення перестановочны з оператором проектування Р1 на Н1.

Доказательство. Нехай Н1 — інваріантне підпростір і fН1, але й ?(х)f Н1. Звідси для будь-якого вектора fМ.

?(х)Р1f Н1.

следовательно, Р1?(х)Р1f = ?(х)Р1f ,.

то є Р1?(х)Р1 = ?(х)Р1.

Применяя операцію інволюції до обох частин цього рівності і підставляючи потім x* замість x, отримуємо, що також.

Р1?(х)Р1 = Р1?(х).

Следовательно, Р1?(х) = ?(х)Р1; оператори Р1 і ?(х) коммутируют.

Обратно, коли ці оператори перестановочны, то тут для fН1.

Р1?(х)f = ?(х)Р1f = ?(х)f ;

Следовательно, також ?(х)f Н1. Це означає, що Н1 — інваріантне подпространство.

Теорема 2.3. Замкнена лінійна оболонка До інваріантних подпространств є й інваріантне подпространство.

Доказательство. Кожен елемент g з До є межа кінцевих сум виду.

h = f1 + … + fn, де f1, …, fn — вектори вихідних підпросторів. З іншого боку, ?(х)h = ?(х)f1 +…+ ?(х)fn є сума тієї самої виду та має своїм межею ?(х)g.

2.2. Пряма сума уявлень. Нехай I — довільне безліч. Нехай (?i)iI — сімейство уявлень *-алгебри На гильбертовом просторі Нi (iI). Пусть.

|| ?i (x) ||? сх где сх — позитивна константа, котра від і.

Обозначим через М пряму суму просторів Нi, тобто М = Нi. З огляду на (2.1.) можна утворити безперервний лінійний оператор ?(х) в М, який індукує ?i (x) у кожному Нi. Тоді відображення x? ?(х) є уявлення На М, зване прямий сумою уявлень? i і позначуване ?i чи ?1…?n в разі кінцевого сімейства уявлень (?1???n). Якщо (?i)iI — сімейство уявлень *-алгебри А, збігаються з поданням ?, і якщо CardI = з, те подання ?i позначається через с?. Будь-яке уявлення, еквівалентну уявленню цього, називається кратним ?.

Для докази наступного знадобиться лема Цорна. Нагадаємо ее.

Лемма Цорна. Якщо частково упорядкованому підмножині Х всяке лінійно упорядкований підмножина має у Х верхню грань, то Х містить максимальний элемент.

Теорема 2.4. Будь-яке уявлення є прямий сума циклічних представлений.

Доказательство. Нехай f0? 0 — будь-якої вектор з М. Розглянемо сукупність всіх векторів ?(х)f0, де x пробіга всю *-алгебру А. Замикання цієї сукупності позначимо через Н1. Тоді Н1 — інваріантне підпростір, у якому f0 є циклічний вектор. Іншими словами, Н1 є циклічне підпростір уявлення ?.

Если Н1 = H, то пропозицію доведено; у протилежному разі H-Н1 є не на {0} інваріантне підпростір. Застосовуючи щодо нього хоча б прийом, ми виділимо циклічне підпростір Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М сукупність всіх систем {Н?}, які з взаємно ортогональних циклічних підпросторів уявлення; одній з таких систем є побудована вище система {Н1, Н2}. Упорядкована з допомогою співвідношення включення сукупність М утворює частково упорядкований безліч, що задовольнить умовам леми Цорна; саме, верхньої межею лінійно упорядкованого безлічі систем {Н?}М буде об'єднання цих систем. Тож у М існує максимальна система {Н?}. Але тоді Н=Н?; в іншому разі в инвариантном підпросторі Н-(Н?) було б не на {0} циклічне підпростір Н0 і ми б систему {Н?}Н0М, що містить максимальну систему {Н?}, що невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Уявлення називається неприводимым, тоді як просторі М немає інваріантного підпростору, відмінного від {0} і лише Н.

Согласно теоремі 2.2. це, що кожен оператор проектування, перестановочный з усіма операторами уявлення, дорівнює 0 чи 1.

Всякое подання до одномірному просторі неприводимо.

Теорема 2.5. Уявлення? у просторі М неприводимо тоді й тільки тоді, коли всякий відмінний від нуля вектор простору М є циклічний вектор цього представления.

Доказательство. Нехай уявлення? неприводимо. При fМ, f? 0, підпростір, натягнуте на вектори ?(х)f, хА інваріантне підпростір; з неприводимости уявлення воно збігається з {0} чи М. Але коли перший випадок неможливий, адже тоді одномірне простір

{? f |? З} инвариантно і тому збігаються з М, тобто ?(х)=0 в М. У другому випадку f є циклічний вектор.

Обратно, якщо уявлення? приводимо і Ко — не на {0} і М інваріантне підпростір в М, то ніякої вектор f з До нічого очікувати циклічним до подання? в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Уявлення? неприводимо тоді й тільки тоді, коли коммутант? (А) в L (H) зводиться до скалярам (то є операторам кратним единичному).

Доказательство. Нехай уявлення? неприводимо і нехай ограниченный оператор У перестановочен з усіма операторами ?(х). Припустимо спочатку, що У — эрмитов оператор; позначимо через E (?) спектральні проектори оператора У. Тоді незалежно від? оператор E (?) перестановочен з усіма операторами ?(х); у вигляді неприводимости уявлення E (?) =0 чи E (?) =1, оскільки (E (?) f, f) не убуває за умов зростання ?, то це означає, що є ?0 таке, що E (?) =0 при ?<?0 і E (?) =1 при ?>?0. Отсюда В=? dE (?) = ?0 1.

Пусть тепер У — довільний обмежений оператор, перестановочный з усіма операторами ?(х). Тоді У* також перестановочен з усіма операторами ?(х). Действительно, В*?(х) = (?(х*)В)* = (В?(х*))* = ?(х)В*.

Поэтому эрмитовы оператори В1=, В2= також перестановочны з усіма операторами ?(х) і, отже, кратні одиниці. Але тоді навіть оператор У = В1+iВ2 кратний одиниці, тобто У — скаляр.

Обратно, нехай всякий обмежений оператор, перестановочный з усіма операторами ?(х), кратний одиниці. Тоді, в частковості, всякий оператор проектування, перестановочный з усіма операторами ?(х) кратний одиниці. Але оператор проектування то, можливо кратним одиниці тільки тоді ми, що він дорівнює 0 чи 1. Отже, уявлення неприводимо.

Определение 2.6 Кожен лінійний оператор Т: М? М? такий, що Т?(х)=??(х)Т нічого для будь-якого хА, називається оператором сплетающим? і ??.

Пусть Т: М? М? — оператор, сплетающий? і ??. Тоді Т*: М?? М є оператором, сплетающим ?? і ?, так как Т* ??(х) = (??(х)Т)* = (Т?(х*))* = ?(х)Т*.

Отсюда отримуємо, что Т* Т?(х)=Т* ??(х)Т= ?(х)Т*Т (2.1.).

Поэтому |T| = (T*T)½ перестановочен з ?(А). Нехай Т = U|T| - полярне розкладання Т. Тоді нічого для будь-якого хА.

U?(х)|T| = U|T| ?(х)= Т?(х)= ??(х)Т=??(х)U|T| (2.2.).

Если KerT={0}, то |T| (М) скрізь щільно в М і з (2.2.) следует.

U?(х) = ??(х)U (2.3.).

Если, ще, = М?, то є якщо KerT*={0}, то U є изоморфизмом М і М? і (2.3.) доводить що? і ?? эквивалентны.

Пусть? і ?? — неприводимые уявлення *-алгебри На гильбертовых просторах М і М? відповідно. Припустимо, що є ненульовий сплетающий оператор Т: М? М?. Тоді з (2.1.) і теореми 2.6. слід, що Т*Т і ТТ* - скалярны (?0) і ?, ?? эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Нехай? — конечномерное уявлення *-алгебри А. Тоді? = ?1…?n, де? i неприводимы.

Доказательство. Якщо dim? = 0 (n=0), то ми все доведено. Припустимо, що dim? = q І що нашу пропозицію доведено dim?<q. Якщо? неприводимо, то пропозицію знову доведено. У іншому разі? = ?? ???, причому dim??<q, dim???<q, і застосувати припущення индукции.

Разложение? = ?1…?n не єдино. Проте, ми матимемо деяку теорему единственности.

Пусть ?1, ?2 — два неприводимых подпредставления ?. Їм відповідають інваріантні підпростору Н1 і Н2. Нехай Р1 і Р2 — проектори М на Н1 і Н2. Вони коммутируют з ?(А). Тому обмеження Р2 на Н1 є оператор, сплетающий ?1 і ?2. Отже, якщо Н1 і Н2 не ортогональны, те з пункту 2.3. слід, що ?1 і ?2 еквівалентні. Це доводить, що будь-який неприводимое подпредставление? еквівалентно одного з? i. Отже, перегруппировав? i, отримуємо, що? = ?1…?m, де кожне? i є кратну? i?i? неприводимого уявлення? i?, і ?i? попарно еквівалентні. Якщо? — неприводимое уявлення ?, то попереднє міркування показує, що відповідне інваріантне підпростір М? ортогонально всім інваріантним підпросторам Нi, відповідальних ?i, крім однієї. Тому М? міститься у одному з Нi. Це доводить, що кожен простір Нi визначається однозначно: Нi — це підпростір М, породжене просторами подпредставлений ?, еквівалентних ?i?. Отже, доведено предложение.

Теорема 2.8. У розкладанні? = ?1?1?…?m?m? уявлення ?, (де ?1?,…, ?m? неприводимы і неэквивалентны) цілі числа? i і класи уявлень? i? визначаються єдиним чином, як та простору представлений.

2.5. Інтегрування і дезинтегрирование уявлень. Нагадаємо визначення борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским простором називається безліч Т, постачене безліччю У підмножин Т, які мають такими властивостями: ТУ, ØУ, У инвариантно щодо лічильного об'єднання, лічильного перетину і переходу до дополнению.

Определение 2.8. Нехай Т1, Т2 — борелевские простору. Відображення f: Т1? Т2 називається борелевским, якщо повний прообраз щодо f будь-якого безлічі в Т2 є борелевское безліч в Т1.

Дадим кілька допоміжних визначень і утверждений.

Пусть Т — борелевское простір і? — позитивна міра на Т.

Определение 2.9.? — вимірне полі гильбертовых просторів на Т є пара? = ((H (t))tT, Р), де (H (t))tT — сімейство гильбертовых просторів, індекси яких пробігають Т, а Р — безліч векторних полів, що задовольнить наступним условиям:

(i) Р — векторное підпростір Н (t);

существует послідовність (х1, х2,…) елементів Р таких, що з будь-якого tT елементи хn (t) утворюють послідовність H (t);

для будь-якого хР функція t?||x (t)||? — измерима;

пусть x — векторное полі; для будь-якого yР функція t?(x (t), y (t))? — вимірна, то хГ.

Пусть? = ((H (t))tT, Р)? — вимірне полі гильбертовых просторів на Т. Векторное полі x називається полем з интегрируемым квадратом, якщо хР і ||x (t)||2 d?(t) < +?.

Если x, y — з интегрируемым квадратом, то х+y і ?х (?З) — також і функція t ?(x (t), y (t)) интегрируема; положим.

(x, y) = (x (t), y (t)) d?(t).

Тогда векторні половіючі жита із интегрируемым квадратом утворюють гильбертово простір М, зване прямим інтегралом Н (t) і позначуване x (t)d?(t).

Определение 2.10. Нехай? = ((H (t))tT, Р) — вимірне полі гільбертовых просторів на Т. Нехай нічого для будь-якого tT визначено оператор S (t)L (H (t)). Якщо нічого для будь-якого хT полі t? S (t)x (t) вимірно, то t? S (t) називається вимірним операторным полем.

Пусть Т — борелевское простір,? — позитивна міра на Т, t? Н (t) —? — вимірне полі гильбертовых просторів на Т. Нехай кожному за tT поставлено уявлення ?(t) *-алгебри На Н (t): кажуть, що t??(t) є полі уявлень А.

Определение 2.11. Поле уявлень t??(t) називається вимірним, якщо кожному за хА полі операторів t??(t)х измеримо.

Если полі уявлень t??(t) вимірно, то кожному за хА можна утворити безперервний оператор ?(х)=?(t) (x) d?(t) в гильбертовом простийранстве М =Н (t) d?(t).

Теорема 2.9. Відображення х??(х) є уявлення На Н.

Доказательство. Для будь-яких x, yА имеем.

?(х+y) = ?(t) (x+y) d?(t) = (?(t) (x) + ?(t) (y)) d?(t) =?(t) (x)d?(t) +.

+?(t) (y) d?(t) = ?(х) +?(y).

Аналогично ?(?х) = ??(х), ?(хy) = ?(х) ?(y), ?(х*)=?(х)*.

Определение 2.12. У попередніх позначеннях? називається прямим інтегралом ?(t) і позначається? =?(t) d?(t).

Определение 2.13. Операторное полі t??(t)I (t)L (H (t)) де I (t)-единичный оператор в H (t), називається діагональним оператором в Н=Н (t)d?(t).

Пусть? = ((H (t))tT, Р) — ?-измеримое полі гильбертовых просторів на Т, ?1 — міра на Т, еквівалентна? (тобто кожна гілка заходів ?1,? абсолютно безупинна з іншої), і ?(t)=. Тоді відображення, яке кожному хН==Н (t)d?(t) становить полі t??(t)-½х (t)Н1=Н (t) d?1(t),.

есть изометрический ізоморфізм М на Н1, званий каноническим.

Действительно,.

||?(t)-½х (t)d?1(t)||2 = ||х (t)||2?(t)-1 d?1(t) = ||х (t)||2d?1(t) = ||х (t)||2.

Теорема 2.10. Нехай Т — борелевское простір,? — міра на Т, t? Н (t) — вимірне полі гильбертовых просторів на Т, t??(t) — вимірне полі уявлень На Н (t),.

Н =Н (t) d?(t), ?1==?(t)d?(t),.

Д — алгебра діагональних операторів в М. Нехай ?1 — міра на Т, еквівалентна ?,.

Н1 =Н (t) d?1(t), ?1 =?(t) d?1(t),.

Д1 — алгебра діагональних операторів в Н1. Тоді канонічний ізоморфізм перетворює? в ?1 і Д в Д1.

Доказательство. Нехай ?(t)=. Канонічний ізоморфізм з М в Н1 є изометрический ізоморфізм, який переводить x =x (t) d?(t)М в.

Ux = ?-½х (t) d?1(t).

Пусть? А. Имеем.

?1(?)Ux = ?(t)(?) ?-½ х (t) d?1(t) = U?(t)(?) х (t) d?(t) = U?(?)x,.

поэтому і перетворимо? в ?1. Тоді якщо SД, то аналогічно SUx = USx, нічого для будь-якого хН.

Определение 2.14. Нехай Т, Т1 — борелевские простору; ?, ?1 — заходи на Т і Т1 відповідно;? = ((H (t))tT, Р), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Р), — ?-измеримое і ?1-измеримое поля гильбертовых просторів. Нехай ?: Т? Т1 — борелевский ізоморфізм, переводить? в ?1; ?-изоморфизм? на ?1 називається сімейство (V (t))tT, що має такими свойствами:

для будь-якого tT відображення V (t) є изоморфизмом Н (t) на Н1(?(t));

для здобуття права полі векторів t? x (t)H (t) на Т було ?-измеримо, необхідне й досить, щоб полі ?(t)?V (t)х (t) Н1(?(t)) на Т1 було ?1-измеримо.

Отображение, переводящее полі хМ =Н (t) d?(t) на полі ?(t))?V (t)х (t) Н1 = Н1(t) d?1(t), є ізоморфізм М на Н1, обозначаемый V (t) d?(t).

Теорема 2.11. Нехай Т — борелевское простір;? — міра на Т, t? H (t) — ?- вимірне полі гильбертовых просторів на Т, t? ?(t) — ?- вимірне полі уявлень На H (t),.

Н =Н (t) d?(t),? ==?(t) d?(t),.

Д — алгебра діагональних операторів в М. Визначимо аналогічно Т1, ?1, t1? H1(t1), t1? ?1(t1), Н1, ?1, Д1.

Предположим, що существует:

N, N1 — борелевские підмножини Т і Т1, такі що? (N) =? (N1) = 0;

борелевский ізоморфізм ?: TN? TN1, перетворює? в ?1;

?-изоморфизм t? V (t) поля t? Н (t) (tZN) на полі t1? Н1(t1) (t1Т1N1) такий, що V (t) перетворює ?(t) в ?1(?(t)) кожному за t.

Тогда V =V (t)d?(t) перетворює Д в Д1 і? в ?1.

Доказательство. Означимо через It, It1 поодинокі оператори в Н (t) і Н1(t1). Якщо fL?(T, ?) і якщо f1 — функція на Т1N1, отримувана з f|(TN) з допомогою ?, то V перетворює f (t)It d?(t) в f1(t1) It1 d?1(t1), тому V преоброззує Д в Д1. З іншого боку, нехай ?Проте й x = х (t) d?(t)М.

Тогда.

V?(?)х = V?(t)(?) х (t) d?(t) = V (?-1(t1)) ?(?-1(t1))(?) х (?-1(t1)) d?1(t1) = ?1(t1)(?) V (?-1(t1)) х (?-1(t1)) d?1(t1) = ?1 (?) V x.

Поэтому V перетворює? в ?1.

Приведем приклади прямих интегралов.

Пусть є послідовність гильбертовых просторів і дискретна міра? на N, тобто ?(n)=1 нічого для будь-якого nN. Тоді.

Н (n) d?(n) = Н (n), тобто прямий інтеграл зводиться до ортогональіншої сумме.

Пусть Т=[0, 1] в кожній точці tТ відповідає полі комплексних чисел З, і Т задана лінійна міра Лебега dt. Тоді З dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм встановлюється відображенням x = х (t) dt? х (t)L2 (0, 1).

Разложения уявлення про неприводимые уявлення у прямій інтеграл називають дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные твори пространств.

3.1. Тензорные твори просторів. Нехай  — кінцева послідовність сепарабельных гильбертовых просторів,  — певний ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальне произведение.

(3.1.).

? = (?1,…, ?n) (n раз), тобто розглянемо упорядоченную послідовність () і формальні вектори (3.1.) натягнемо гильбертово простір, вважаючи, що вони утворюють його ортонормированний базис. Отримане сепарабельное гильбертово простір називається тензорным твором просторів Н1,…, Нn і позначається Н1,…, Нn = . Його вектори мають вид:

f = (f?З), || f ||2 =<? (3.2.).

Пусть g = , тоді скалярне твір определяется формулой.

(f, g) = (3.3.).

Пусть f (k) = (до = 1,…, n) — деякі вектори. По определению.

f = f (1)… f (n) = (3.4.).

Коэффициенты f? = розкладання (3.4.) задовольняють умові (3.2.), тому вектор (3.4.) належить , при этом.

|| f || = (3.5.).

Функция Н1,…, Нn <> линейна в кожному фрагмента, а лінійна оболонка L векторів (3.4.) щільна в  — ця лінійна оболонка називається алгебраїчним (непополненным) тензорным твором просторів Н1,…, Нn і позначається ?. .

Приведенное визначення тензорного твори залежить від вибору ортогонального базису у кожному сомножителе . При зміні базисів отримуємо тензорне твір, изоморфное зі збереженням своєї структури вихідному произведению.

Пусть Н1 і Н2 — гильбертовы сепарабельные простору. Тоді конструкція тензорного твори означає таке. Розглядається лінійна оболонка L формальних творів f1 f2, причому вважається, что.

(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.).

f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.).

(? f1) f2=? (f1 f2) (3.8.).

f1? (f2) =? (f1 f2) (3.9.).

f1, g1Н1; f2, g2 Н2;? С.

Иными словами, лінійне простір L факторизируется з його лінійному подмножеству, натягнутому на різноманітні вектори, мають вид разностей між правими і лівими частинами рівностей (3.6.) — (3.9.).

Затем вводиться скалярне твір в L.

(f1 f2, g1 g2) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.).

f1, g1Н1; f2, g2 Н2,.

а потім поширюється інші елементи з факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные твори операторів. Визначимо тензорне твір обмежених операторов.

Теорема 3.1. Нехай ,  — дві послідовності гільбертовых просторів,  — послідовність операторів АкL (Нк, Gк). Визначимо тензорне твір А1 …Аn = Ак формулой.

() f = () = (3.11.).

(f ).

Утверждается, що кілька у правій частині (3.11.) сходиться слабко в яких і визначає оператор L (, ), причому.

|| || = || || (3.12.).

Доказательство. Досить розглянути випадок n=2, так як і силу рівності Н1,…, Нn = (Н1,…, Нn-1)Нn загальний випадок виходить по индукции.

Пусть — певний ортонормированный базис в Gк (до = 1, 2) і нехай g = G1 G2. У ролі f візьмемо вектор з Н1 Н2 з кінцевим числом відмінних нуля координат f?.

Зафиксируем ?2, ?1 Z+ і позначимо через f (?2) Н1 вектор f (?2) = і крізь g (?1)G2 — вектор g (?1) =. Получим.

= =.

= ? =.

= ? =.

= .

Из цього нерівності слід слабка відповідність в G1G2 низки вже за часів довільному з Н1Н2 і - оцінка його в G1G2 згори через ||A1|| ||A2|| ||f||. Отже, оператор A1 A2: Н1 Н2? G1G2 визначено у вигляді (3.11.) коректно, обмежений та її норма не перевершує ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) і (3.11.) следует.

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Нк, до = 1, 2).

Подбирая належним чином орти f1, f2 останнє твір можна зробити як завгодно близькими до ||A1|| ||A2||, тому нерівність ||(A1 A2)||? ||A1|| ||A2|| неспроможна виконуватися, тобто (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) отримуємо для Ак L (Hк, Gк), Вк L (Hк, Gк) (до = 1,…, n) соотношения.

(Вк) (Ак) = (Вк Ак) (3.13.).

(Ак)* = Ак* (3.14).

(Ак) (f1 … fn) = A1 f1… An fn (3.15.).

(fк Hк; до = 1,…, n).

(3.15) однозначно визначає оператор Ак.

Приведем приклад. Нехай Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2.

Действительно, вектору виду (3.1.) поставимо у відповідність функцію L2. Такі функції утворюють ортонормированный базис простору L2, тому така відповідність породжує необхідний ізоморфізм між і L2.

Глава II. Завдання про перші два ортопроекторах.

§ 1. Два ортопроектора в унітарній пространстве Постановка завдання. Нехай дана *-алгебра P2.

P2 = З < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двома проекторами, тобто двома идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 — 1, v = 2p2 — 1, тоді u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 — 1)2 = 4p1 — 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким чином u, v — унітарні самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можна поставити иначе:

P2 = З < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = З <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групова *-алгебра, породжена двома унітарними самосопряженными элементами.

Требуется знайти неприводимые уявлення *-алгебри P2, з точністю до унітарною эквивалентности.

1.2. Одномірні *-уявлення *-алгебри P2. Нехай ?: P2? L (H) — *-уявлення *-алгебри P2. Розглянемо спочатку випадок, коли dim H = 1, тобто dim? = 1.

P2 = З < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = ?(рк), до = 1,2. Оскільки рк2= рк* = рк (до = 1, 2) і? — *-уявлення, то Рк2 = Рк* = Рк (до =1, 2) — ортопроекторы в М на підпросторі Нк = {yH | Рк y = y } до = 1, 2.

Возможны такі случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тоді Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = М (тобто dim H1 =1), Н2 = {0}, тоді Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = М (тобто dim H2 =1), тоді Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = М (dim H1 = dim H2 =1), тоді Р1 = 1, Р2 = 1.

Так як dim H =1, ми маємо очікувати 4 одномірних неприводимых *-уявлень P2, причому вони неэквивалентны.

1.3. Двомірні *-уявлення *-алгебри P2. Означимо через Нк область значень оператора Рк при до = 1,2. Нехай Нк? — ортогональное доповнення підпростору Нк (до = 1,2) в М. Тоді Н=H1Н1?, Н=H2Н2?

Введем додаткові позначення :

Н0,0 = Н1? ?Н2?, Н0,1 = Н1? ?Н2, Н1,0 = Н1? Н2?, Н1,1 = Н1? Н2. (1.1.).

Пусть dim H = 2. припустимо, що є і і j такі, що Hij нетривіально, тобто dim Hij =1. Нехай, наприклад, dim Н1,0 = 1 (інші випадки аналогічні). Тоді, у H існує ненульовий вектор h такий, що Н1,0 = л.о. {h}, але давайте тоді P1h = h, P2h = 0; отже Н1,0 інваріантне підпростір. Отже у разі *-уявлення? може бути неприводимым.

Будем вважати, що Hij ={0} для будь-яких і = 0, 1 і j =0, 1, (тобто Hij лінійно незалежні) і dim H1 = dim H2 =1. Тоді, у М можна знайти два ортогональних базису {e1, e2} і {g1, g2}, у яких матриці операторів Р1 і Р2 мають вигляд . Знайдемо матрицю оператора Р2 в базисі {e1, e2}.

Нехай g1 = a11e1 + a12 e2.

g2 = a21e1 + a22e2.

e1 = b11g1 + b12g2.

e2 = b21g1 + b22g2.

Рассмотрим вектори h1 = eite1 і h2 = eile2, тоді.

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1.

(h1, h2) = (eite1, eile2) = ei (t-l)(e1, e2) = 0, то є {h1, h2} - ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисі {h1, h2} матриця оператора Р1 також має вигляд . Тоді можна вважати, що a11, a12 > 0 (оскільки, наприклад, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1).

(e1, e2) = 0, отже a11 a21 = a12 a22 = 0 чи , тоді існує комплексне число r, що.

a22 = - ra11.

a21 = ra12.

Базис (e1, e2) ортонормированный; отже.

a112 + a122 = 1.

|a22 |2 + |a21 |2 = 0.

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 (b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,.

Р2 e2 = Р2 (b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдем b11 і b21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12) e1 + (b11a12 + b12a22) e2,.

b11a11 + b12a12 = 1.

b11a12 + b12a22 = 0 или.

b11a11 + b12a12 r = 1.

b11a12 — b12a11 r = 0,.

Тогда b11 = a11.

Аналогично.

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21) e1 + (b21a12 + b22a22) e2,.

b21a11 + b22a21= 0.

b21a12 + b22a22 = 1,.

отсюда знаходимо, що b21 = a12.

Тогда матриця оператора Р2 в базисі {e1, e2 } буде мати вид (позначимо її також через Р2).

Р2 = , де a11>0, a12>0 і a112 + a122 =1.

А) Нехай a112 = ?, тоді a122 =1 — ?, a11a12 = . Оскільки a11a12 >0, то ?(0, 1).

Тогда Р2 = .

В) Поклавши a11 = cos?, тогда a12 = sin? і Р2 запишеться наступним образом Р2 = .

Найдем коммутант ?(P2). Нехай Т = оператор перестановочный з Р1 і Р2, тоді.

ТР1 = = .

Р1Т = = .

Следовательно b = з = 0.

ТР2 = = .

Р2Т = = .

Следовательно a = d. Тоді Т скалярний оператор і з лемме Шура (теорема 2.6. глава I) уявлення? неприводимо.

Покажем, всі ці уявлення неэквивалентны.

Пусть ?, ?(0, 1),? ? ?. Припустимо, що є унітарний оператор в М, який встановлює еквівалентність. Тоді.

UР1 = Р1U, отже U= , a, b C.

UР2 (?) = = .

Р2 (?) U = = .

Тогда? = ?, отже U = 0 і уявлення неэквивалентны.

Теорема 1.1. Нехай ?: P2? L (H) — *-уявлення *-алгебри P2 .

Тогда:

(i) Усі одномірні і нееквівалентні уявлення мають вигляд: ?0,0(p1) = 0; ?0,0(p2) = 0; ?1,0(p1) = 1; ?1,0(p2) = 0; ?0,1(p1) = 0; ?0,1(p2) = 1; ?1,1(p1) = 1; ?1,1(p2) = 1;

(ii) Усі двомірні неприводимые і нееквівалентні уявлення мають вигляд: ?(p1) , ?(p2) ? (0, 1).

Доказательство випливає з викладеного вищою, і у пункті (ii) можна покласти ?(p2) = ? (0, ).

1.4. n — мірні *-уявлення *-алгебри P2. Розглянемо випадок нечетной розмірності простору М. Якщо dimН=2n+1, де n>1 натуральне, то виконується неравенство.

max (dimН1, dimН1?) + max (dimН2, dimН2?) > 2n+1 (1.4.).

Тогда обов’язково знайдуться і = 0,1 і j= 0,1, що Нi, j? {0}, отже, існує нетривиальное інваріантне підпростір щодо *-уявлення ?, але давайте тоді? приводимо.

Пусть тепер dimН=2n, n>1 натуральне. Будемо вважати, що dimН1 = n, dimН2 = n і Нi, j = {0} для будь-яких і = 0,1 і j= 0,1, то є Нi, j лінійно незалежні. Якщо тут інше, то знову виконуватися нерівність (1.4.) і *-уявлення? виявиться процитованими. За цих умовах справедлива лемма.

Лемма 1.1. Існує x? 0, хН1 такий, що Р1Р2х = ?х, де ?С.

Доказательство. Нехай , ортонормированный базиси в М, у яких матриці операторів Р1 і Р2 мають вигляд , де I — одинична матриця порядку n. Нехай базиси (е) і (g) пов’язані уравнениями.

.

к = 1,…, n до = 1,…, n.

Так як хН1, то , gk З, до = 1,…, n. Тогда Р1Р2х = Р1Р2= Р1Р2= Р1=.

= Р1= = () = .

Таким чином отримуємо систему лінійних однорідних рівнянь щодо q1,…, qn:

= .

j = 1,…, n.

Подбирая ?З те щоб визначник цією системою звернувся до нуль, одержимо ненульове рішення q1,…, qn. Це доводить лемму.

Лемма 1.2. Нехай елемент x задовольняє умовам леми 15. Тоді L=л.о. {x, Р2х} - інваріантне підпростір в М щодо Р1 і Р2.

Доказательство. Перевіримо инвариантность L. Для будь-яких a, b З имеем Р1 (aх + bР2х) = aх + ?bх = (a + ?b) x L,.

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 x L.

dimL = 2, оскільки Нi, j = {0} (всім і, j= 0,1).

Действительно, якщо aх + bР2х = 0, де, наприклад, а? 0, то x = Р2х, отже = 0 чи 1 і x Н1,1; тоді Н1,1?{0}.

Итак, отримуємо предложение.

Теорема 1.2. Якщо dimН = n, n>2, то немає неприводимых *-передставлений *-алгебри P2. Усі неприводимые конечномерные *-уявлення одномірні і двумерны.

1.5. Спектральна теорема. Нехай dimН = n. У цьому вся пункті ми матимемо розкладання на неприводимые *-подпредставления вихідного *-уявлення? *-алгебри P2, і навіть розкладання простору М на інваріантні підпростору щодо ?.

Теорема 3.1. (спектральна теорема). Існує єдине разложение М в ортогональную суму інваріантних щодо Р1 і Р2 подпространств Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1 ((С2Нк)), (1.1.).

где кожному подпространству Нк відповідає одне? к (0, ), ?к? ?i при к? i, dimНк = nк (до = 1,…, m). Нехай Рi, j: М? Нi, j, Р? к: М? С2Нк — ортопроекторы до = 1,…, m. Тоді існують єдині розкладання операторов.

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(Р?к), (1.2.).

P1 = P1,0P1,1((Ік)) (1.3).

Р2 = P0,1 P1,1 (Ік)) (1.4).

где Ік — одиничний оператор на Нк (до = 1,…, m).

Доказательство. Нехай dimНi, j = ni, j. Відразу можемо записати розкладання.

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 М?, де dimН? парне число. Використовуючи лемму 1.2. і теорему 2.1. глави I можемо написати розкладання М? в ортогональную суму інваріантних двовимірні підпросторів, визначених параметром? к (0, ):

Н? = Н?к, (l = n — ).

Собирая разом все Н? к, які мають одне? к, одержимо ізоморфізм.

Н?к…Н?к? С2Нк, де Н? к nк примірників, dim (Н?к…Н?к)=2nк dim (С2Нк) = dimС2 dimНк = 2nк. Отже, отримуємо розкладання (1.1.).

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2Нк)).

Пусть ?i, j — звуження? на Нi, j (і, j= 0,1), ?к — звуження? на Н? к (до = 1,…, m), тобто? i, j і ?к — *-подпредставления.

Учитывая кратності подпредставлений получаем.

? = n0,0?0,0n0,1?0,1n1,0?1,0n1,1?1,1(nк?к) (1.5.).

В силу теореми 2.8. глави I розкладання (1.1.) і (1.5.) единственные.

Из (1.1.) слід розкладання одиничного оператора I (1.2.).

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (Р?к) Тогда ортопроекторы Р1 і Р2 приймуть вид.

P1 = P1,0 P1,1 ((Ік)).

Р2 = P0,1 P1,1 ( Ік)).

Причем n1,0?1,0(р1) = P1,0, n0,1?0,1(p2) = P0,1, n1,1?1,1(р1) = P1,1, n0,0?0,0(p2) = P0,0. З огляду на теореми 2.8. глави I розкладання I, Р1 і Р2 також однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве.

2.1. Неприводимые *-уявлення *-алгебри P2. Нехай, А = Р1 — Р1? = 2Р1 — I і У = Р2 — Р2? = 2Р2 — I. Тоді А2 = I, В2 = I. Отже Проте й У самосопряженные унітарні оператори в М. Поклавши U=АВ, тоді U-1=ВА і А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно.

UА = АU-1 чи АU = U-1А (2.1.).

Лемма 2.1. Оператори Проте й У неприводимы тоді й тільки тоді, коли оператори Проте й U неприводимы.

Доказательство. Припустимо, що Проте й У неприводимы. Нехай існує нетривиальное інваріантне підпростір L щодо операторів Проте й U. Тоді UL = АВLL, але давайте тоді ВLАLL, тобто пара А, У — приводима.

Обратно, нехай Проте й U неприводимы. Якщо оператори Проте й У приводимы, тобто LМ: АLL і ВLL, те з включення АВLАLL слід приводимость Проте й U, що невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 і Р2 неприводимы тоді навіть тільки тоді ми, коли Проте й У неприводимы.

Доказательство. Нехай Р1 і Р2 наведені оператори, коли є нетривиальное інваріантне підпростір LМ таке, що Р1LL, Р2LL. Розглянемо АL = (2Р1 — I) LL, ВL = (2Р2 — I) LL, тобто Проте й У приводимы.

Обратно, нехай Проте й У наведені оператори, тоді Р1 і Р2 також будуть приводимы, оскільки Р1L = LL, Р2L = LL, нічого для будь-якого інваріантного щодо Проте й У підпростору L в Н.

Лемма 2.3. Якщо ei?(U), то e-i?(U).

Доказательство.

1) Якщо ei? належить крапковому спектру оператора U, що існує fМ: ||f|| = 1 і Uf = ei? f. Тоді (2.1.) UАf = АU-1f = ei? Аf, отже, Аf власний вектор оператора U, тобто e-i? належить спектру U.

2) Якщо ei?(U), то існує послідовність одиничних векторів в М || fn || = 1 така, что.

||Ufn — ei? fn || = || UАfn — ei? A fn || = || U-1Аfn — ei? A fn ||? 0 при n? ? (|| Аfn || =1).

Тогда ei?(U-1), отже e-i?(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пари Проте й У самосопряженных операторів лише одномірні і двумерны.

Доказательство. Розглянемо соотношения, А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А, А (U — U-1) = А (U2 — 2I + U-2) = (U2 — 2I + U-2)А = (U — U-1)2А Таким чином, А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.).

А (U — U-1) = (U — U-1)2А (2.3.).

Пара Проте й U неприводима (лема 2.1.), тоді з теоремі 2.6. глави I имеем.

U + U-1 = cI.

(U — U-1)2 = d2I.

где з, d З. По теоремі перетворення спектрів ei?+ e-i? = з, ei?- e-i? = ±d.

Если d = 0, то (U) складається з однієї точки ei?, де ?=0 чи ?=?, і U = перші U = -I. Так як А, U неприводимая пара, то dimН=1 й О = +перші А = -I. Оскільки існує одномірне інваріантне підпростір y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

Если d? 0, то (U) дискретний і і двох точок ei?= і e-i?= ?(0, ?).

Собственное підпростір оператора U, відповідальна власному значенням ei? (чи e-i?), Нei? = {fH | Uf = ei? f} одномірне. Справді, підпростір, натягнуте за власні вектори f і Af для оператора U: Uf = ei? f, U (Аf) = ei? Аf инвариантно щодо операторів U й О. U й О неприводимы, отже dimНei?= dimН-ei?=1.

Таким чином, все неприводимые пари операторів U й О такі, що (U) = {ei?, e-i?} ?(0, ?) в базисі власними векторів оператора U мають вид:

А = , U = , У = .

Теорема 2.2. Неприводимые пари Р1, Р2 ортопроекторов лише одномерны і двумерны.

Доказательство. Відразу випливає з леми 2.2.

2.2. Спектральна теорема. Нехай М — сепарабельное гильбертово простір, тоді справедлива наступна теорема.

Теорема 2.3. (спектральна теорема у вигляді операторів множення). Парі ортопроекторов Р1 і Р2 в сепарабельном гильбертовом просторі М відповідає разложение Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), d? к))) (2.4.).

где ?1 > ?2 >… ?к заходи на інтервалі (0, ), таке, що мають місце рівності.

P1 = P1,0 P1,1 ((Ік)) (2.5.).

Р2 = P0,1 P1,1 (Ік)) (2.6.).

Iк — одиничний оператор в L2((0, ), d? к) Доказательство. Простір М можна в вигляді ортогональної суми інваріантних підпросторів.

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 М?, тобто отщепить все одномірні уявлення від вихідного. М? складається з інваріантних двовимірні підпросторів.

Всякому позитивному функционалу F в *-алгебрі P2 відповідає циклічне уявлення? F *-алгебри P2 у певній гильбертовом просторі НF. У цьому НF можна реалізувати як L2(F), тобто як гильбертово простір всіх функцій з интегрируемым квадратом принаймні ?F на Т.

Пусть кожному вектору ?М поставимо в відповідність підпростір Н? М, яке виходить замиканням безлічі векторів виду ?(х)?, де хА. Обмеження операторів з ?(А) на Н? є циклічним поданням. Означимо його через ??, а відповідну міру на Т через ??. Введемо впорядкування в М, вважаючи ?>?, якщо ?? > ?? (тобто ?? абсолютно безупинна по мері ??).

Если ?Н?, то Н?Н?, тоді ?? — циклічне подпредставление ??. Нехай Е Т і ?? (Є) = 0, тоді ?? (Є) = 0, отже ?? > ??, отже ?>?.

Множество максимальних векторів скрізь щільно в М. Нехай існує рахункове розкладання М = Н?к. Нехай {?i} - послідовність, у якій кожен із векторів ?i зустрічається безліч разів. Визначимо? к индуктивно, те щоб виконувалися условия:

?к+1 — максимальний вектор в (Н?i)?,.

d (?к, Н?i)? .

Тогда розкладання М = Н?к таке що? к>?к+1 і ?к>?к+1 .

Пусть уявлення ?? в L2(Т, ?) і ?? в L2(Т, ?) еквівалентні. Нехай v: L2(Т, ?) ?L2(Т, ?) який встановлює їх еквівалентність ізоморфізм. Поклавши f=1, а=v (f), для будь-який безупинної функції g на Т v (g)=v??(g)f = ?? (g)vf = ?? (g)a = ga. Оскільки v — изометрическое відображення, то d?=|a|2d?. Отже міра? абсолютно безупинна принаймні ?. Аналогічно, розглядаючи зворотний оператор, отримуємо, що? абсолютно безупинна по ?, тобто цього заходу еквівалентні. Отже існує розкладання М? = (С2L2(Т, ?к)), де ?1>?2>… відповідні цих заходах уявлення неприводимы і неэквивалентны. Це доводить рівність (2.4.). Тоді з (2.4.) йдуть формулы:

P1 = P1,0 P1,1 ((Ік)).

Р2 = P0,1 P1,1 (Ік)).

Iк — одиничний оператор в L2((0, ), d? к).

Теорема 2.4. (спектральна теорема у вигляді розкладання одиниці). Парі ортопроекторов Р1 і Р2 в сепарабельном гильбертовом просторі М відповідає разложение Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н (?)dЕ (?) (2.7.).

в прямий інтеграл інваріантних щодо Р1, Р2 підпросторів і певний на Т = (0, ) розкладання dЕ (?) одиничного оператора I+=E (0, ) в М+ =С2Н (?)dЕ (?), таке що відбувається равенство.

P1 = P1,0 P1,1 I+ (2.8.).

Р2 = P0,1 P1,1 dЕ (?) (2.9.).

Доказательство. Кожен самосопряженный оператор А, який діє у М, изометрически ізоморфний оператору множення на незалежну зміну у просторі L2(R, d? к), де? к залежить від розкладання одиниці оператора А. Тоді доказ спектральною теореми у вигляді розкладання одиниці слід безпосередньо з спектральною теореми у вигляді операторів умножения.

Глава III. Спектр суми двох ортопроекторов.

§ 1. Спектр суми двох ортопроекторов в унітарній пространстве.

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Нехай М — гильбертово простір. Якщо Р — ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, де р (Р) — точковий спектр за умови, що Р? 0 і Р? I.

Доказательство. Розглянемо вираз Рх — ?х = y, x, y М, ? З. Тоді (1 — ?) Рх = Рy. Якщо? ? 1, то Рх = Рy. Якщо x? 1, то x = (Рy — y), тоді (Р) = {0, 1}.

Так як Р? 0 і Р? I, що існує x? 0 такий, що Рх? 0. Тоді Р (Рх) = Рх, тобто 1р (Р). Існує y? 0: (I — Р) y? 0, тоді Р (I — Р) y = 0 = 0 · (I — Р) y, тобто 0 р (Р). Отже, (Р) = р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка завдання. Нехай задано два ортопроектора Р1 і Р2 в унітарній просторі М. Тоді знаємо спектр кожного їх. Знайдемо спектр суми Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномірному просторі. Нехай dimH =1. Нехай, як і від, Нк — область значень оператора Рк до = 1,2. Означимо через, А = Р1 + Р2 і знайдемо (А).

1) Р1 = Р2 = 0, то тут для будь-якого х М О = 0 чи О = 0 · x, тобто 0 (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то тут для будь-якого х Н2 = М О = x, тобто 1 (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то тут для будь-якого х Н1 = М О = х.

4) Р1 = Р2 = I, то тут для будь-якого х Н1 = Н2 = М О = Р1х + Р2х = 2х, тобто 2 (А).

Таким чином, якщо dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двовимірному просторі. Нехай dimH =2. Збережемо позначення (1.1.) Глави II.

1) х Н0,0, тоді О = 0 і 0 (А).

2) х Н0,1 чи х Н1,0, тоді О = x і одну (А).

3) х Н1,1, тоді О = 2х, тобто 2 (А).

Если існують і, j= 0,1 такі, що Нi, j? {0}, це вони мають k, l = 0,1 такі, що Нi, j Нk, l = H. У цьому вся разі (А) {0, 1, 2}.

Пусть тепер Нk, l = {0} для будь-яких k, l = 0,1. Припустимо, що є одномірне інваріантне підпростір L щодо Р1 і Р2, тоді АLL. Нехай х L, тоді Рkх = ?кх (k = 1, 2). Оскільки Рk ортопроектор, можливі случаи:

?1 = 0, ?2 = 0;

?1 = 0, ?2 = 1;

?1 = 1, ?2 = 0;

?1 = 1, ?2 = 1;

Но це, що k, l = 0,1 такі, що Нk, l? {0} всупереч припущенню. Тоді пара Р1, Р2 неприводима. Отже ми можемо записати матриці операторів Р1 і Р2 у певній ортонормированном базисі, відповідно до теоремі 1.1. глави II.

Р1 = , Р2 ? (0, 1).

Найдем спектр лінійної комбінації ортопроекторов aР1 + bР2, a і b З. І тому вирішимо характеристична рівняння det (aР1 + bР2 — ?I) = 0.

.

(1.1.).

Тогда , (1.2).

Положим a = 1, b =1,? = , тоді ?1 = 1+?, ?2 = 1-? і 0<?<1 (оскільки 0<?<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+?, 1-?}. Причому власні значення 1+? і 1-? входить у спектр, А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном просторі. Нехай dimH =n. Якщо М =КL, де До, L інваріантні підпростору щодо оператора Бо нічого для будь-якого х М існує єдине розкладання x = k +l, k K, l L. Нехай ? (А), тоді О = ?х =?k +?l;, отже, якщо простір М розкладено в ортогональную суму інваріантних підпросторів, то спектр оператора, А можна знайти як об'єднання спектрів звужень оператора На відповідні інваріантні подпространства.

Используя лемму 1.2. глави II, уявімо М як ортогональної суми підпросторів Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1Н1,0, Н2=Н1,1 і двовимірні, інваріантних щодо А, підпросторів Н? к ?к (0, ), (до = 1,…, p. s). У цьому оператори Р1 і Р2 неприводимы в Н? к (до = 1,…, p. s), і власні значення 1+?к, 1-?к входять одночасно у спектр А. Оскільки А*=А, це були відповідні власні вектори ортогональны. Тоді має місце розкладання за власні підпростору.

Н?к = Н1+?к Н1-?к, причому dimН1+?к = dimН1-?к = 1 (1.3).

Если ?к? ?i, то? к? ?i (оскільки ?к = =cos?к і ?к (0, )). Об'єднаймо все Н? к, які мають однакові ?к, в одне складова, і позначимо його через Н? к. У цьому, якщо dimН? к = 2qk, тобто Н? к складається з qk примірників двовимірні підпросторів, відповідальних одному? к, то об'єднуючи разом все відповідні одномірні власні підпростору, одержимо Н? к = Н1+?к Н1-?к, dimН1+?к = dimН1-?к = qk.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор, А уявімо в вигляді суми двох ортопроекторов, А = Р1 і Р2 тоді й тільки тоді, коли.

(А) {0, 1, 2}({1+?, 1-?}), 0<?к<1,.

причем dimН1+?к = dimН1-?к до = 1,…, m.

Доказательство. Нехай, А = Р1 і Р2, тоді її спектр знайшли выше:

(А) {0, 1, 2}({1+?, 1-?}), де 0<?к<1для будь-якого до = 1,…, m.

Обратно, нехай нам відомий спектр оператора Проте й відомо, що розмірності відповідних власних підпросторів збігаються, тобто.

dimН1+?к = dimН1-?к. Існує єдине розкладання М в ортогональную суму інваріантних підпросторів ((1.1.) Глава II):

Н = Н (0) Н (1) Н (2) ((С2Нк)) (1.4.).

(1.4.) можна записати інакше.

Н = Н (0) Н (1) Н (2) ((С2(Н1+?к Н1-?к))) (1.5.).

Зададим ортопроекторы Р1 і Р2 так.

P1 = PН2((Ік)) (1.6.).

Р2 = PН1 PН2 ( Ік)) (1.7.).

где PНк — ортопроектор в М на Н (к) (до = 1, 2), Is — одиничний оператор в Hs s=1,…, m. Але тоді.

Р1 + Р2 = PН1 PН2 ( Ік)) = При цьому, А = А*.

1.6. Лінійна комбінація ортопроекторов. Нехай тепер з. З (1.2.) слід ?1 + ?2 = a + b. Нехай ?2 = ?, тоді ?1 = a + b — ?.

Оценим ?. Зауважимо, що (a +b)2 — 4ab (1-?) = (a — b)2 + 4ab? > 0.

Тогда? = > = 0, тобто? = 0.

Допустим, що? ? a, тоді.

a? .

? b — a.

(b — a)2 +4ab?? (b — a)2.

ab?? 0, але ab? > 0 і отже? < a.

Итак,.

?1 = ?

?2 = a + b — ?. (1.8.).

0 <? < a.

Пусть dimH =n. Тоді справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор, А уявімо в вигляді лінійної комбінації ортопроекоров, А = aР1 + bР2, 0<a<b тоді навіть тільки тоді ми, коли.

(А) {0, a, b, a + b}({?к, a + b — ?к}), 0<?к<1, і.

dimН?к = dimНa+b-?к (Н?к, Нa+b-?к — власні підпростору оператора А, відповідальні ?к) к=1,…m.

Доказательство. Нехай, А = aР1 + bР2, 0<a<b. Знайдемо (А).

1) х Н0,0, то О = 0 і 0(А);

2) х Н0,1, то О = bx і b(А);

3) х Н1,0, то О = ax і a(А);

4) х Н1,1, то О = (a+b)x і a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({?к, a + b — ?к}), де 0<?к<1, к=1,…m. Причому числа? к, a + b — ?к входять одночасно у спектр Проте й соответствующие власні підпростору ортогональны і одномірні, оскільки А=А*. Тоді сума всіх власних підпросторів, відповідальних одному? к також инвариантна щодо Проте й dimН? к = dimНa+b-?к = qk. (з урахуванням кратності ?к) Обратно. Існує єдине розкладання М з (1.4.).

Н = Н (0) Н (a) Н (b)Н (a+b) ((С2Нк)) (1.9.).

Где Н (0)=Н0,0, Н (a) =Н1,0, Н (b)=Н0,1, Н (a+b)=Н1,1 или Н = Н (0) Н (a) Н (b)Н (a+b) ((Н?к Нa+b-?к) (1.10.).

Положим.

P1 = PaPa+b ((Ік)) (1.11.).

Р2 = Pb Pa+b ( Ік)) (1.12.).

Но тоді.

aР1 + bР2 = aPabPb (а+b)Pa+b (a(Ік)).

(bІк)) = A.

Спектр оператора, А збігаються з {0, a, b, a + b}({?к, a + b — ?к}), (0<?к<1, к=1,…m) по побудові й О = А* як речовинна комбінація ортопроекторов.

§ 2. Спектр суми двох ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве.

2.1. Спектр оператора, А = Р1 + Р2. Вивчимо оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор, А уявімо в вигляді суми двох ортопроекторов, А = Р1 + Р2 тоді й тільки тоді, коли (А) = [0, 2] і М розкласти в ортогональную суму інваріантних щодо, А пространств Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2((0, ), d? к))) (2.1.).

и заходи? к инвариантны щодо перетворення 1+х? 1-х.

Доказательство. Нехай, А = Р1 + Р2. Н0=Н0,0, Н1=Н1,0Н0,1, Н2=Н1,1.

Поставим у відповідність ??? cos?, де ? (0, ). Тоді, як було зазначено знайдено вище, спектр (А) [0, 2] і М можна розкласти (спираючись на спектральную теоремі 2.3. глави II) в ортогональную суму (2.1.).

Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2((0, 2), d? к))).

Поскольку власні підпростору, відповідні власним значенням, А 1+?, 1-?, 0<?<1 входять одночасно у спектр та його значення збігаються, кожен міра ?к (до = 1, 2, …) мусить бути інваріантної щодо перетворення 1 + x? 1- х.

Обратно. Нехай має місце (2.1.) і (А) [0, 2]. Тоді поставимо ортопроекторы Р1? Р2? равенствами Р1? = P1P2((Ік)).

Р2? = P2 ( Ік)).

где Pi: Н? Нi (і = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik — одиничний оператор в L2((0, 2), d? к)). Тоді А =Р1? + Р2? — самосопряженный оператор, спектр якого є в [0, 2], оскільки Рк? (до = 1, 2) є сумою ортопроекторов на взаємно ортогональные пространства.

2.2. Спектр лінійної комбінації А = aР1 + bР2 (0<a<b). Розглянемо тепер випадок, коли, А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор, А уявімо в вигляді лінійної комбінації двох ортопроекторов, А = aР1 + bР2, 0<a<b тоді навіть тільки тоді ми, коли (А) [0, a] [b, a+b] і М можна як ортогональної суми інваріантних щодо, А пространств Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], d? к)))) (2.2.).

и заходи? к инвариантны щодо перетворення х? a+b.

Доказательство. Нехай, А = aР1 + bР2 (0<a<b). Нехай Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0, Нa+b=Н1,1. Оскільки (А) [0, a] [b, a+b] і власні підпростору, відповідальні власним значенням оператора, А входить у М одночасно (причому їх розмірності збігаються) то аналогічно теоремі 2.1. получаем Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], d? к)))).

где заходи? к (до = 1, 2, …) инвариантны щодо перетворення x? a+b-х.

Обратно, нехай (А) [0, a] [b, a+b] і є розкладання М (2.2.). Тоді поставимо Р1 і Р2 наступним образом.

P1 = PaPa+b ((Ік)).

Р2 = Pb Pa+b ( Ік)).

где Р?: Н? Н?, ? = a, b, a+b — ортопроекторы, Ік — одиничний оператор в L2([0,a] [b, a+b]). Тоді.

А = aР1 + bР2 = aР1 bР2(a+b)Pa+b ((Ік)) .

( Ік)).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломної роботі вивчена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом просторі М, наведено опис всіх неприводимых і нееквівалентні *-уявлення *-алгебри P2 .

P2 = З <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.

А саме: 4 одномірних ?0,0(p1) = 0, ?0,0(p2) = 0; ?0,1(p1) = 0, ?0,1(p2) = 1; ?1,0(p1) = 1, ?1,0(p2) = 0; ?1,1(p1) = 1, ?1,1(p2) = 1.

И двомірні: , ? (0, 1).

Изучен спектр операторів Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), і навіть необхідні і достатні умови представимости самосопряженного оператора На вигляді А = Р1 + Р2 й О = aР1 + bР2 (0<a<b).

Ахиезер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів в гильбертовом просторі, М., Наука, 1966.

Березенский Ю.М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз, До., Выща школа, 1990.

Браттели У., Робінсон Д. Операторные алгебри і квантова статистична механіка: З*- W* -алгебри. Групи симетрій. Розпад станів., М., Світ, 1982.

Диксмье Ж. С*-алгебры та його уявлення. М., Наука, 1974.

Кириллов А. А. Елементи теорії уявлень. М., Наука, 1978.

Кужель А. В. Алгебри кінцевого рангу, З. СГУ, 1979.

Ленг З. Алгебра. М., Світ, 1968.

Мерфи Д. С*-алгебры і теорія операторів. М., Світ, 1998.

Наймарк М.А. Нормовані кільця. М., Гостехиздат, 1956.

Рудин У. Функціональний аналіз. М., Світ, 1975.

NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169−176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.