Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Де р — ціле позитивне число (, z) — поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R ()>-p і R (-)>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F (+s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1,), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим… Читати ще >
Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Курсова робота з математики
«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»
Введення У зв’язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов’язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з’ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.
Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.
1. Гіпергеометричне рівняння
1.1 Визначення гіпергеометричного ряду Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду де z — комплексна змінна,, , — параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення (0,-1,-2,…),і символ позначає величину
= =1
Якщо й — нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи
zk
маємо
= ,
коли k, тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.
Сума ряду
F (,,, z) =, <1 (1.1)
називається гіпергеометричною функцією.
Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1,) яка при <1 збігається з F (,,, z). Ця функція є аналітичним продовженням F (,,, z) у розрізану площину й позначається тим же символом.
Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R ()>R ()>0 і скористаємося інтегральним поданням
(1.2)
k=0,1,2,.
Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо
F (,,, z) = = =
причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.
Дійсно, при R ()>R () >0 і <1
=
= F (, R (), R (),)
На підставі відомого біноминального розкладання
=(1-tz)-a(1.3)
0 t 1, <1
тому для F (,,, z) виходить подання
F (,,, z)= (1.4)
R ()>R () >0 і <1
Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1,).
Для z приналежні області, (R — довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки
(М — верхня границя модуля функції (1-tz)-a, безперервної в замкнутій області
, 0 t 1)
що показує, збіжність інтеграла буде при R ()>R () >0 інтеграл
сходиться Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою
F (,,, z)= (1.5)
R ()>R () >0;
У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F (,,, z) площина з розміром (1,) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.
Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)
F (,,, z) = +
справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде
+ - = = { - - }= = (
Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F (,,, z) з довільними параметрами (0,-1,-2,…)у вигляді суми
F (,,, z)= F (+s, +p, +2p, z) (1.7)
де р — ціле позитивне число (,,, z) — поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R ()>-p і R (-)>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F (+s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1,), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.
Гіпергеометрична функція F (,,, z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.
Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F (,,, z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.
1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції
У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).
1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії
F (,,, z)= F (,,, z), (2.1)
2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо
F (,,, z)= = =
= = F (+1, +1, +1,z)
Таким чином, F (,,, z)= F (+1, +1, +1,z) (2.2)
3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей
F (,,, z)= F (+m, +m, +m, z) (2.3)
m=1,2,…
Покладемо надалі для скорочення запису
F (,,, z)= F,
F (1,,, z)= F (1),
F (, 1,, z)= F (1),
F (,, 1, z)= F (1).
Функції F (1), F (1), F (1) називаються суміжними з F.
4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв’язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=0,
(- -1)F+ F (+1)-(- 1) F (-1)=0,
(1-z)FF (-1)+(-)F (+1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=
=(- -) + (1-z) -(;
) =
= {(- -) + -(-) ;
}zk=
= {(- -)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)
(-k-1)k} zk=0,
тому що
z
= =
= (+1)…(+k-1)
=(+1)…(+k-1)(+k)
=(-1) (+1)…(+k-2)
= (+1)…(+k-2)
=(+1)…(+k-2)(+k-1)
=(-1)(+1)…(+k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
(- -)F+ F (+1)-(- 1) F (-1)=
= { (- -1) + -(- 1) =
= { - -1 + + k-(+k-1)}zk=0,
(1-z)FF (-1)+(-)zF (+1)=
= { - - +(-) }zk
= { (+ k -1)(+ k-1) — (+ k -1)k- (-1)(+ k-1)
+(-) k}zk=0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:
(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=0, (2.7)
(- -1)F+ F (-1)-(- 1) F (-1)=0, (2.8)
(1-z)FF (-1)+(-)zF (+1)=0. (2.9)
(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=
= {(- -) + - -(;
) } zk =
= {(- -)(+k-1)+ (+ k -1)(+k) — (+k-1)k -(-)(;
1)}zk=0,
(- -1)F+ F (-1)-(- 1) F (-1)=
= {(- -1) + -(- 1) } zk =
= { - -1+ (+ k) — (+k-1)}zk=0,
(1-z)FF (-1)+(-)zF (+1)=
= { - - +(-) } zk
= { (+k-1)(+k-1) — k (+k-1) — (+k-1)(-1)+k
(-)}zk=0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) — (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо
(-)FF (+1)+ F (+1)=0 (2.10)
(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F (-1)=0 (2.11)
і так далі
(-)FF (+1)+ F (+1)=
= {(-) + + } zk=
= { - - (+k)+ (+k)} zk =0.
(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F (-1)=
= {(-) -(-) +(-) -(;
) } zk=
= {(-)(+k-1)(+k-1)-(-)(+k-1)k+(-)(-1)(+k-1);
(-)(+k-1)(-1)}zk=0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв’язують гіпергеометричну функцію виду F (,,, z) з який — або парою родинних функцій виду F (+1, +m, +n, z), де l, m, n — довільні цілі числа.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F (,,, z)-F (,, -1,z)= F (+1, +1, +1,z) (2.12)
F (, +1,, z) — F (,,, z)= F (+1, +1, +1,z) (2.13)
F (, +1, +1,z) — F (,,, z)= F (+1, +1, +2,z)(2.14)
F (-1, +1,, z) — F (,,, z)= F (, +1, +1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F (,,, z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння
z (1-z) +[ -(+ +1)] - u=0 (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів, , .
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zs zk (2.17)
де s — належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1
u= zk+s
= (k+s)zk+s-1
= (k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z (1-z) (zk+s +[ -(+ +1)z] (zk+s — zk+s=0,
z (1-z) (zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -(+ +1)z] (zk+s-1(k+s));
zk+s=
= (zk+s-1(k+s)(k+s-1)) — (zk+s(k+s)(k+s-1))+ (zk+s-1 (k+s));
— zk+s(+ +1)(k+s)) — zk+s =
= zk+s-1(k+s)(k+s-1+) — zk+s(s+k+)(s+k+)=0,
звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь
s (s-1-)=0,
(s+k)(s+k-1+) — (s+k-1+)(s+k-1+)=0,
k=1,2,…,
перше з яких дає s=0 або s=1;
Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0
Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення
= k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти =1, треба
= k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
= (+1)…(+k-1),
=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде
u= = F (,,, z)= zk, <1 (2.18)
Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…
= k=1,2,…,
звідки, якщо взяти =1 знаходимо
=
k=0,1,2,…,
Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення
u= = = F (1- +, 1- +, 2-, z), (2.19)
<1,
Якщо не є цілим числом (0, 1, 2,…), те обоє рішення (2.18−2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі
u=A F (,,, z)+B F (1- +, 1- +, 2-, z), (2.20)
де, А и В довільні постійні <1,
2. Подання різних функцій через гіпергеометричну Гіпергеометрична функція F (,,, z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,
F (, 0,, z)= zk= =1,
тому що
=0(0+1)(0+2)…(0+k-1)=0.
F (, -2,, z)= zk= z0+ z+ z2 =
=1−2 z+ z2,
тому що
=1, =-2,
=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0
і так далі.
Перетворення
F (,,, z)=(1-z F (- , —,, z)
— =0 =
показує, що гіпергеометрична функція при — =0,-1,-2,…або — =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,
F (,,, z)= (1-z, (3.1)
Надаючи параметрам, спеціальні значення, знаходимо
(1-z)v= F (-v, 1, 1, z)
(1-z = F (, 1, 1, z (3.2)
(1-z)n= F (-n,,, z)
n=0,1,2,…
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln (1-z)= - =-z <1
звідки треба
ln (1-z)=-zF (1,1,2,z) (3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF (, 1, ,-z2) (3.4)
arcsin z=zF (,,, z2)
arctg z= (-1)k =z =z =
=z =z =z =zF (, 1, ,-z2),
тому що =1*2*…*k=k!
arcsinz=z+ =z[1+ ]=
=z[1+ ]=z[1+ ]=z[1+ ]=
=z[1+ ]=z[1+ =zF (,,, z2)…
3. Вироджена гіпергеометрична функція Поряд з гіпергеометричною функцією F (,,, z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F (,, z).
Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд де z — комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину
= =1
сходиться при будь-яких кінцевих z.
Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те
= 0, коли k .
Вироджена гіпергеометрична функція F (,, z) визначається як сума розглянутого ряду
F (,, z)=, 0,-1,-2,…,< (4.1)
З даного визначення випливає, що F (,, z) функція комплексного змінного z.
Якщо покласти
f (,, z)= F (,, z)=, (4.2)