Дії з векторами (реферат)

1.4. Дії з векторами.

Означення 5. Сумою двох векторів $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ називають вектор $$\stackrel{->}{c}$$, який сполучає початок вектора $$\stackrel{->}{а}$$ з кінцем вектора $$\stackrel{->}{b}$$ при умові, що початок вектора $$\stackrel{->}{b}$$ вміщено в кінець вектора $$\stackrel{->}{а}$$ .

Наприклад, задані вектори $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів $$\stackrel{->}{а}$$ перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора $$\stackrel{->}{b}$$ та сполучили початок вектора $$\stackrel{->}{а}$$ з кінцем вектора $$\stackrel{->}{b}$$ (Мал. 6b).

а) b).

Мал.6.

Суму кількох векторів $$\stackrel{->}{а}$$, $$\stackrel{->}{b}$$, … $$\stackrel{->}{l}$$, визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.

Зауваження. Різницю двох векторів $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ будують як суму вектора $$\stackrel{->}{а}$$ та вектора (- $$\stackrel{->}{b}$$).

Наприклад,.

Мал.7.

Означення 6. Добутком вектора $$\stackrel{->}{а}$$ на число k називають вектор $$\stackrel{->}{b}=k\stackrel{->}{a}$$, колінеарний з вектором $$\stackrel{->}{а}$$, що має довжину в k раз більшу, ніж $$\stackrel{->}{а}$$ та напрям такий самий, як $$\stackrel{->}{а}$$, якщо k > 0 і протилежний до $$\stackrel{->}{а}$$, якщо k < 0.

Означення 7. Скалярним добутком векторів $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута іж ними. Скалярний добуток векторів $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ позначають $$\stackrel{->}{а}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b->, або ($$\stackrel{->}{а}$$, $$\stackrel{->}{b}$$).

Отже, згідно з означенням:

$$\stackrel{->}{а}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b-> = $$|\stackrel{->}{а}||\stackrel{->}{b}|\text{cos}$$.

(1).

Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.

равило множення вектора на число.

Щоб помноживши вектор $$\stackrel{->}{а}$$ на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k $$\stackrel{->}{а}$$ = $$({\text{ka}}_1,{\text{ka}}_2,\text{.}\text{.}\text{.}{\text{ka}}_n)\text{.}$$.

равило знаходження алгебраїчної суми векторів.

Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.

Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:

$$\stackrel{->}{a}=(a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n)$$, $$\stackrel{->}{b}=(b_1,b_2,\text{.}\text{.}\text{.}{b}_n)$$, $$\stackrel{->}{c}=(c_1,c_2,\text{.}\text{.}\text{.}{c}_n)$$.

їх алгебраїчна сума $$\stackrel{->}{a}-\stackrel{->}{b}+\stackrel{->}{c}$$ знаходиться за формулою.

$$\stackrel{->}{a}-\stackrel{->}{b}+\stackrel{->}{c}$$ = $$(a_1-b_1+c_1,a_2-b_2+c_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_n-b_n+c_n)$$.

находження скалярного добутку векторів $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$.

Згідно з правилом множення матриць одержимо:

$$\stackrel{->}{а}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b-> = $$(a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_n\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n{b}_n$$.

(2).

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.

Якщо $$\stackrel{->}{а}$$ = $$\stackrel{->}{b}$$, тоді кут між ними $$$$ дорівнює нулю, $$\text{cos}{0}^0=1$$ і з формули (1) випливає, що $$\stackrel{->}{a}\stackrel{->}{a}={|\stackrel{->}{a}|}^2$$ .

Звідси одержуємо $$|\stackrel{->}{a}|=\sqrt{\stackrel{->}{a}\stackrel{->}{a}}$$, або враховуючи формулу (2).

$$|\stackrel{->}{a}|=\sqrt{a_2^1+a_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n^2}$$.

(3).

Із формули (1) маємо:

$$\text{cos}=\frac{\stackrel{->}{a}\stackrel{->}{b}}{|\stackrel{->}{a}||\stackrel{->}{b}|}$$.

(4).

Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ у вигляді:

$$\text{cos}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n{b}_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+b_n^2}}$$.

(5).

Якщо $$\stackrel{->}{а}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b->, тоді $$={\text{90}}^0\text{, cos}{\text{90}}^0=0$$ і одержимо $$\stackrel{->}{а}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b-> = 0 (6).

Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах $$\stackrel{->}{а}$$ = (2,1,0) та $$\stackrel{->}{b}$$ = (0,-2,1).

Розв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ (дивись Мал.8.).

Мал.8.

Позначимо цей паралелограм АВСD ($$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ — довільні);

$$\stackrel{->}{a}=\stackrel{->}{\text{AD}}=\stackrel{->}{\text{BC}}-$$ $$\stackrel{->}{b}=\stackrel{->}{\text{AB}}-$$ $$-\stackrel{->}{b}=\stackrel{->}{\text{CD}}-$$ $$\stackrel{->}{\text{AC}}=\stackrel{->}{a}+\stackrel{->}{b}-$$ $$\stackrel{->}{\text{BD}}=\stackrel{->}{a}-\stackrel{->}{b}-$$.

Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ (довільні) будуть вектори $$\stackrel{->}{\text{AC}}=\stackrel{->}{a}+\stackrel{->}{b}-$$ та $$\stackrel{->}{\text{BD}}=\stackrel{->}{a}-\stackrel{->}{b}-$$ Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ ;

$$\stackrel{->}{\text{AC}}=\stackrel{->}{a}+\stackrel{->}{b}$$

= (2+0- 1+(-2) — 0+1) = (2- -1- 1).

.

$$\stackrel{->}{\text{BD}}=\stackrel{->}{a}-\stackrel{->}{b}$$

= (2−0- 1-(-2) — 0−1) = (2- 3- -1).

.

Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо $$$$ :

$$\text{cos}=\frac{\stackrel{->}{\text{AC}}\stackrel{->}{\text{BD}}}{|\stackrel{->}{\text{AC}}||\stackrel{->}{\text{BD}}|}=\frac{22+(-1)3+1(-1)}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}}=\frac{4-4}{\sqrt{6}\sqrt{\text{14}}}=0\text{.}$$.

З рівності $$\text{cos}=0$$ випливає, що $$=/2$$, тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.