Механические коливання в диференційних рівняннях

Механические коливання в диференційних уравнениях

Реферат Виконав: студент грн. МХТ-02 Казаков Василь Васильович.

Магнитогорский державний технічний університет їм. Г.І. Носова Магнитогорск 2003.

Колебаниями називаються процеси, які характеризуються певної повторюваністю у часі. Коливальні процеси широко поширені у природі й техніці, наприклад качання маятника годин, перемінний електричний струм тощо. При коливальному русі маятника змінюється координата центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга й сила струму. Фізична природа коливань може бути різною, проте різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Розглянемо механічні колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими коливаннями називаються коливання, у яких постійно змінювана величина змінюється згідно із законом синуса (косинуса).

Пусть вантаж вагою Р підвішений на вертикальної пружині, довжина якої у природному стані дорівнює . Вантаж злегка відтягнуть донизу і далі відпущений. Знайдемо закон руху вантажу, нехтуючи масою пружини і опором повітря.

Решение Направим вісь Ой вниз по вертикальної прямий, що проходить через точку підвісу вантажу. Початок координат Про виберемо вагітною рівновазі вантаж, тобто у точці, в якої вагу вантажу врівноважується силою натягу пружини.

Нехай l означає подовження пружини у цей момент, а lст—статическое подовження, тобто. відстань від кінця нерастянутой пружини до становища рівноваги. Тоді l=lст+х, чи l-lст=х.

Дифференциальное рівняння одержимо з другого закону Ньютона: F=ma, де m=P/g—масса вантажу а—ускорение руху і F—равнодей-ствующая прикладених до вантажу сил. У разі рівнодіюча складається з сили натягу пружини і сили тяжести.

По закону Гука сила натягу пружини пропорційна її подовженню: Fупр=-сl, де з — постійний коефіцієнт пропорційності званий жорсткістю пружины.

.

Так як і становищі рівноваги сила рівноваги сила натягу пружини врівноважується вагою тіла, то P= сlст. Підставимо в диференціальний рівняння вираз Р і замінимо l-lст через x, вийде рівняння в виде:

.

или, позначивши с/m через k2,.

(1).

Полученное рівняння визначає звані вільні коливання вантажу. Воно називається рівнянням гармонійного осциллятора. Це лінійне диференціальний рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його характеристичний рівняння:

.

имеет удавані коріння , відповідно цьому загальне решение.

.

Для з’ясування фізичного сенсу рішення зручніше провести його до іншої форми, запровадивши нові довільні постійні. Помноживши і розділивши на , получим:

.

Если положить.

.

то.

(2).

График гармонійних коливань має вид:

.

Таким чином, вантаж робить гармонійні коливання близько становища равновесия.

Величину, А називають амплітудою коливання, а аргумент  — фазою коливання. Значення фази при t=o т.e. величина , називається початковій фазою коливання. Величина є частота коливання. Період коливання і частота k залежать тільки від жорсткості пружини і південь від маси системи. Бо з = Р/lст = mg/lст, то тут для періоду можна отримати роботу також формулу:

.

Скорость руху вантажу виходить дифференцированием рішення з t:

.

Для визначення амплітуди і початковій фази необхідно поставити початкові умови. Нехай, наприклад, в початковий момент t = 0 становище вантажу x=x0 і швидкість u=u0. Тоді , откуда.

, .

Из формул для амплітуди і початковій фази видно, що у на відміну від частоти і періоду власних коливань вони залежить від початкового стану системи. За відсутності початковій швидкості (u0=0) амплітуда А=х0, а початкова фаза a=p/2 і такою образом,.

чи .

Затухающие колебания.

Затухающими коливаннями називаються коливання, амплітуди яких через втрат енергії реальної колебательной системою з часом уменьшают-ся. Знайдемо закон руху вантажу на умовах попередньої завдання, але з урахуванням опору повітря, яке пропорційно швидкості движения.

Решение К силам, чинним на вантаж, додається тут сила опору повітря (знак мінус показує, що сила R спрямована протилежно швидкості u). Тоді диференціальний рівняння руху на проекції на вісь Ox має вид.

.

или якщо покласти , , то.

(3).

Это рівняння є також лінійним однорідним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його характеристичний уравнение:

.

имеет коріння.

(4).

Характер руху повністю визначається цими корінням. Можливі три різних випадку. Розглянемо спочатку випадок, коли . Це нерівність має місце, коли опір середовища невелика. Якщо , то коріння (4) мають вигляд . Тоді рішення можна записати в виде.

.

или, перетворивши, примножуючи і ділячи на , получим:

.

положим, что.

,.

тогда.

(5).

График залежності відхилення від становища рівноваги від часу має вид:

.

Если задано початкові умови: при t = 0, можна визначити Проте й a. І тому находим.

.

и підставляємо t = 0 в висловлювання для і одержимо систему уравнений.

.

Разделелив обидві частини другого рівняння на відповідні частини першого одержимо.

.

откуда.

чи а .

Так как.

.

то.

.

Решение (5) показує, що мають місце затухающие коливання. Действии-тельно, амплітуда коливання залежить від часу й є монотонно убутній функцією, причому при .

Период затухали коливань визначається по формуле.

.

Моменты часу, у яких вантаж отримує максимальне відхилення з початку координат (становища рівноваги), утворюють арифметичну прогресію з різницею, рівної полупериоду Т/2. Амплітуди затухали коливань утворюють убутну геометричну прогресію зі знаменником, рівним чи . Ця величина називається декрементом загасання і звичайно позначається буквою D. Натуральний логарифм декремента lnD = - пТ/2 називається логарифмическим декрементом затухания.

Частота коливань у разі менше, ніж у попередньому (), але, як де він, залежить від початкового становища вантажу.

Если опір середовища велика і , то, поклавши , одержимо коріння (4) як Оскільки , то обидва кореня негативні. Загальне рішення рівняння у тому разі має вид.

(6).

Отсюда видно, що рух апериодическое і немає коливального характеру. Аналогічний характер матиме рух у разі , коли спільне рішення має вид.

(7).

Легко помітити, що у обох останніх випадках при маємо .

Если задано початкові умови і , то разі, коли , маємо , а . Вирішуючи неї щодо і , получим.

, .

и, следовательно.

.

.

В разі ж, коли , отримуємо , і отже,.

.

Вынужденные коливання не враховуючи опору среды.

Вынужденными коливаннями називають коливання, викликані зовнішньої періодичної возмущающей силой.

Пусть вантаж вагою Р підвішений на вертикальної пружині, довжина якої у ненагруженном стані дорівнює . На вантаж діє періодична обурює сила де Q і р — постійні. Знайдемо закон руху вантажу, нехтуючи масою пружини і опором среды.

Решение Как й у гармонійних коливань, отримуємо уравнение.

.

Полагая, як й раніше, та, крім того, перепишемо рівняння в виде.

(8).

Это—неоднородное лінійне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, причому однорідним рівнянням, відповідним рівнянню (8), є (1). Тому ; залишається знайти x. Якщо припустити, що , то приватне рішення x, треба шукати вигляді , де М і N — коефіцієнти, підлягають визначенню. Отже,.

.

Производя обчислення, получаем.

.

откуда М=0 і Отримане таким чином приватне решение.

(9).

определяет звані змушені коливання, створені возмущаю-щей силою . Вимушені коливання, мають той період, як і обурює сила, збігаються із нею за фазою (т. е. мають однакову початкову фазу) при k>p, або відрізняються на p, якщо k.