Геометрія 11 класу

ТЕМАТИЧНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА Геометрія 11 класу

Завдання тематичної контрольної роботи № 4

1. Виконати зображення правильної n — кутної піраміди, вписаної в конус, якщо n = 3.

2. Сформулювати властивості для комбінації тіл, завданих в задачі 1:

а) розміщення центра основи конуса;

б) розміщення висоти конуса і піраміди;

в) твірної конуса.

3. Обчислити радіус основи конуса із умов задачі 1, якщо сторона основи піраміди дорівнює 6 см.

В кулю вписано конус, твірна якого дорівнює L і нахилена до площини основи під кутом б.

Знайти площу поверхні кулі.

4. Рівнобедрений трикутник з кутом 30⁰ при основі і бічною стороною 10 см обертається навколо основи.

Знайти об'єм тіла обертання.

Задача 1

Виконати зображення правильної n — кутної піраміди, вписаної в конус, якщо n = 3.

Розв’язання:

1. Визначення — правильною пірамідою називається пряма піраміда, в основі якої лежить правильний трикутник, у якого всі сторони рівні і, відповідно, всі внутрішні кути дорівнюють 60⁰. Висота правильної піраміди — це перпендикуляр з вершини О в центр основи, який лежить на пересіченні висот правильного трикутника в основі.

2. Відповідно, відрізки AD =CD =DB = R — дорівнюють радіусу прямого конуса, описаного навколо правильної піраміди (рис.1).

Рис. 1. Побудована правильна 3-кутна піраміда, вписана в прямий конус Задача 2

Сформулювати властивості для комбінації тіл, завданих в задачі 1:

а) розміщення центра основи конуса;

б) розміщення висоти конуса і піраміди;

в) твірної конуса.

Розв’язання:

Для правильної піраміди, вписаної в прямий конус за умовами задачі 1 (див.рис.1), виконуються наступні властивості комбінації двох геометричних тіл:

1. Центр основи конуса лежить в точці D пересічення висот (медіан та бісектрис) правильного трикутника в основі правильної піраміди;

2. Висота правильної піраміди та висота прямого конуса співпадають та є перпендикуляром OD з вершини піраміди та конуса (точки О) в центр основи конуса (центр основи правильної піраміди) — точку D.

3. Твірна конуса NO та ребро правильної піраміди АО — співпадають.

Задача 3

Обчислити радіус основи конуса із умов задачі 1, якщо сторона основи піраміди дорівнює 6 см.

Розв`язання:

Рис. 1. Побудована правильна 3-кутна піраміда, вписана в прямий конус

1. Згідно основних властивостей правильного трикутника ABC в основі піраміди (див.рис.1):

— Висоти, медіани та бісектриси правильного трикутника перехрещуються в єдиній точці D;

— Висота СК є одночасно медіаною, тобто ділить сторону АВ на дві рівні частини АК =КВ = 6 см /2 = 3 см;

— Висота AD є одночасно бісектрисою кута CAB = 60⁰, таким чином в ADK кут DAK = 60⁰/2 =30⁰;

2. Таким чином, за першим способом побудови радіус основи описаного прямого конуса R = AD в трикутнику ADK та розраховується як:

1. За другим підходом, згідно властивостей трикутника, описаного колом радіуса R[1] - у будь-якому трикутнику сторона дорівнює добутку діаметра описаного кола й синуса протилежного кута.

Тобто:

АВ = 2*AD*sin (ACB)

Де кут ACB в основі правильної піраміди дорівнює 180⁰/3=60⁰

І, відповідно, радіус R основи конуса дорівнює:

Задача 4

В кулю вписано конус, твірна якого дорівнює L і нахилена до площини основи під кутом б.

Знайти площу поверхні кулі.

Розв’язання:

1. Площа поверхні кулі розраховується за формулою [3]:

де r — радіус кулі, який на рис. 2 дорівнює

r = XO =OX1 =OY=OY1

Таким чином, необхідно знайти вираз для розрахунку діаметру кулі за одним із перелічених відрізків від центру шару О (рис. 2.1 — 3 варіанти вписаного в кулю конуса).

піраміда конус геометричний трикутник Рис. 2.1. Вихідні умови задачі (конус вписаний в кулю)

2. Для комбінації геометричних тіл — «Конус, вписаний у кулю» [4]:

Вершина конуса лежить на сфері (див. рис. 2.2 зліва). Основа конуса лежить на сфері. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі дістанемо трикутник, вписаний у коло (рис. 2.2 справа).

Рис. 2.2. Перехід від об'ємної до плоскої задачі

Трикутник осьового перерізу конусу — рівнобедрений. Бічні сторони — твірні конуса, коло — велике коло описаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.

3. Враховуючи властивостей трикутника, описаного колом радіуса R[3] - у будь-якому трикутнику сторона дорівнює добутку діаметра описаного кола й синуса протилежного кута.

Тобто (рис. 2.1):

Y₁В = XX₁*sin (Y₁AB)

або

L = 2*r_кулі*sin (б) Відповідно, площа поверхні кулі розраховується за виразом:

Тобто отримана формула описує всі 3 випадки на рис. 2.1, оскільки при зростанні/зменшенні L відповідно зростає/зменшується sin (б).

Задача 5

Рівнобедрений трикутник з кутом 30⁰ при основі і бічною стороною 10 см обертається навколо основи.

Знайти об'єм тіла обертання.

Розв’язання:

1. При обертанні рівнобедреного трикутника ABC навколо основи AB (тобто осі О — О1), утворюється подвійний конус з спільною основою радіусом R = CK — висоті рівнобедреного трикутника (рис.3). Твірна конусу АС дорівнює твірній другого конусу СВ, як бічні сторонни рівнобедреного трикутника.

Рис. 3. Побудова подвійного конусу, який створюється в просторі при обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи

2. Таким чином об'єм утвореної составної геометричної фігури дорівнює двом об'ємам прямого конусу з твірною АС = 10 см та радіусом основи R =CК.

Висота СК до основи АВ рівнобедреного трикутника? ABC розраховується за формулою:

3. Об'єм конуса розраховується за формулою [3]:

де R — радіус основи конуса;

Н — висота прямого конуса, яка згідно рис. 3 дорівнює:

4. Відповідно об'єм фігури обертання рівнобедреного трикутника (рис.3) буде дорівнювати двум об'ємам конусу:

Список використаної літератури

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. 10−11 классы. — М.:Издательство: Просвещение, 2008. — 255 с.

2. Бевз Г. П., Владімірова Н.Г. Геометрія 10 клас — К.: Генеза, 2010. — 232с.

3. Біляніна О.Я., Білянін Г.І., Швець В. О. Геометрія 10 клас. Академічний рівень — К.: Генеза, 2010. — 256 с.

4. Бродський Я. Геометрія. Підручник. 10−11 клас — Навчальна книга Богдан, 2003 — 288 с.

5. Тадеєв В. Геометрія. Підручник. 10 клас — Навчальна книга Богдан, 2003. — 384 с.

6. Тадеєв В. Геометрія. Основи стереометрії. Підручник. 11 клас — Навчальна книга Богдан, 2004. — 480 с.