Середні значення (реферат)

Реферат на тему:

Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число $$\stackrel{}{x}$$, яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,.

$$\stackrel{}{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n}{n}$$.

або $$\stackrel{}{x}=\frac{1}{n}{}_{i=1}^n{x}_i$$ ($$$$ — знак суми — «сигма» велика).

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо: $$\frac{3^0+5^0+4^0+1^0+2^0}{5}=\frac{{\text{15}}^0}{5}=3^0$$.

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м’яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1.

Розв’язання.

Знаходимо середню кількість влу­чень.

Для першого учня:

$$\frac{4+3+5+3+6}{5}=\frac{\text{21}}{5}=\mathrm{4,2}$$.

Для другого учня:

$$\frac{5+4+3+6+5}{5}=\frac{\text{23}}{5}=\mathrm{4,6}$$.

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се­реднього $$\stackrel{}{x}$$. Різниця х — $$\stackrel{}{x}$$ може бути від'є­мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0- 0- 1- 1- 3−3-3- 5) — n= 8- $$\stackrel{}{x}$$ = 2.

2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне $$\stackrel{}{x}$$ пере­твориться в $$\stackrel{}{x}$$ + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5- 5- 6: 6- 8- 8- 8- 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10): 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім $$\stackrel{}{x}$$ по­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с $$\stackrel{}{x}$$. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.

Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою.

$$\stackrel{}{x}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{}}(x_i{f}_i)}{\underset{i=1}{\overset{n}{}}{f}_i}$$, де.

fi — частота повторення результату xi.

Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.

Знайти середню температуру за цими даними.

Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:

$$\stackrel{}{x}=\frac{{\text{16}}^{o}1+{\text{17}}^{o}2+{\text{18}}^{o}5+{\text{19}}^{o}8+{\text{20}}^{o}4}{1+2+5+8+4}=\frac{{\text{372}}^0}{\text{20}}=\text{18}{\mathrm{,\; 6}}^o$$.

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці.

Таблиця 3

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки.

Оцінки (бали) 5 4 3 2

Кількість учнів 6 7 4 17.

Чи достатньо засвоєний матеріал?

Знайдемо середню величину оцінок.

$$\stackrel{}{x}=\frac{56+47+34+2\text{17}}{6+7+4+\text{17}}=\frac{\text{104}}{\text{34}}=3\text{.}\text{06}$$.

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.

Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадратазнаходять середнє арифметичне цих квадратівіз знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою сигма" мала):

$$=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{}}(x_i-\stackrel{}{x}{)}^2}{n}}$$.

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.

Таблиця 4

У статистиці користуються також величиною квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.

Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2, х3, …, хп визначається виразом.

$$m_c=\sqrt[n]{x_1{x}_2\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n}$$, тобто середнє ге­ометричне х1×2×3…п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, …).

У випадку двох чисел, а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що, а: mc= тс: b.

На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв’язу­вати різноманітні задачі, пов’язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж іншихна якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на рештіякого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10−11 класів тощо.

Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.