Линии на площині

Линии на площині

При читанні економічної літератури має справу з велику кількість графіків. Зазначимо окремі.

Кривая байдужості - крива, показує різні комбінації двох продуктів, мають однакове споживче значення, чи корисність, для споживача.

Кривая споживчого бюджету — крива, показує різні комбінації кількостей двох товарів, які споживач може купити при даному рівні його грошового доходу.

Кривая виробничих можливостей — крива, показує різні комбінації двох товарів чи послуг, які можна зроблено за умов повної зайнятості і повного обсягу виробництва, у економіці з постійними запасами ресурсів немає і незмінною технологією.

Кривая інвестиційного попиту — крива, показує динаміку відсоткової ставки і обсяг інвестицій в різних відсоткових ставках.

Кривая Філліпса — крива, показує існування стійкою зв’язок між рівнем безробіття та вищим рівнем інфляції.

Кривая Лаффера — крива, показує зв’язок між ставками податків і податковими надходженнями, выявляющая таку податкову ставку, коли він податкові надходження досягають максимуму.

Уже простий перелік термінів показує, наскільки важливе для економістів вміння будувати графіки й розбиратися в властивості найпростіших кривих, якими є прямі лінії криві другого порядку — окружність, еліпс, гіпербола, парабола. З іншого боку, під час вирішення великого класу завдань потрібно виділити на площині область, обмежену певними кривими. Найчастіше ці завдання формулюються так: знайти найкращий план виробництва з заданих ресурсах. Завдання ресурсів має зазвичай вид нерівностей. От і доводиться шукати найбільше чи найменше значення, прийняті деякою функцією у сфері, заданої системою нерівностей.

В аналітичної геометрії лінія на площині окреслюється безліч точок, координати яких задовольняють рівнянню F (x, y)=0. У цьому на функцію F повинні прагнути бути накладено обмеження те щоб, з одного боку, це рівняння мало безліч прийняття рішень та, з іншого боку, щоб це безліч рішень не заповнювало «шматка площині». Важливий клас ліній становлять, для яких функція F (x, y) є багаточлен від двох змінних, у разі лінія, обумовлена рівнянням F (x, y)=0, називається алгебраїчній. Алгебраїчні лінії, поставлені рівнянням першого ступеня, cуть прямі. Рівняння другий ступеня, має безліч рішень, визначає еліпс, гіперболу, параболу чи лінію, распадающуюся на дві прямые.

Пусть на площині задана прямокутна декартова система координат. Пряма на площині то, можливо задана однією з рівнянь:

10. Загальне рівняння прямий:

Ax + By + З = 0. (2.1).

Вектор n (А, В) ортогонален прямий, числа A і B одночасно нерівні нулю.

20. Рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом:

y — y0 = k (x — x0), (2.2).

где k — кутовий коефіцієнт прямий, тобто k = tg?, де? — величина кута, освіченого прямий з віссю Оx, M (x0, y0) — деяка точка, що належить прямий.

Уравнение (2.2) набирає вигляду y = kx + b, якщо M (0, b) є точка перетину прямий з віссю Оy.

30. Рівняння прямий в відтинках:

x/a + y/b = 1 (2.3).

где a і b — величини відрізків, отсекаемых прямий на вісях координат.

40. Рівняння прямий, що проходить за два дані точки — A (x1, y1) і B (x2, y2):

(2.4).

50. Рівняння прямий, що проходить через цю точку A (x1, y1) паралельно даному вектору a (m, n):

(2.5).

60. Нормальне рівняння прямий:

rn0 — р = 0, (2.6).

где r — радиус-вектор довільній точки M (x, y) цієї прямий, n0 — одиничний вектор, ортогональный цієї прямий і спрямований з початку координат до прямий; р — відстань з початку координат до прямий.

Нормальное рівняння прямий в координатної формі має вигляд:

x cos? + y sin? — р = 0,.

где? — величина кута, освіченого прямий з віссю Оx.

Уравнение пучка прямих з центром у точці А (x1, y1) має вигляд:

y-y1 = ?(x-x1),.

где? — параметр пучка.

Если пучок задається двома пересічними прямими A1x + B1y + C1= 0, A2x + B2y + C2 = 0, його рівняння має вид:

?(A1x + B1y + C1) + ?(A2x + B12y + C2)=0,.

где? і? — параметри пучка, не які звертаються в 0 одночасно.

Величина кута між прямими y = kx + b і y = k1x + b1 задається формулою:

tg? = .

Равенство 1 + k1k = 0 є потрібне і достатню умова перпендикулярности прямих.

Для здобуття права два рівняння.

A1x + B1y + C1= 0, (2.7).

A2x + B2y + C2 = 0, (2.8).

задавали те ж пряму, необхідне й досить, щоб їх коефіцієнти були пропорційні:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.

Уравнения (2.7), (2.8) задають дві різні паралельні прямі, якщо A1/A2 = B1/B2 і B1/B2? C1/C2; прямі перетинаються, якщо A1/A2? B1/B2 .

Расстояние d від точки M0(x0, y0) до прямий є довжина перпендикуляра, проведеного з точки Mо до прямий. Якщо пряма задана нормальним рівнянням, то d = |r0 n0 — р|, де r0 — радиус-вектор точки M0 чи, в координатної формі, d = |x0cos? + y0sin? — р|.

Общее рівняння кривою другого порядку має вигляд:

a11×2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0.

Предполагается, що з коефіцієнтів a11, a12, a22 є які від нуля.

Уравнение окружності з центром у точці С (a, b) і радіусом, рівним R:

(x — a)2 + (y — b)2 = R2. (2.9).

Эллипсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних точок F1 і F2 (фокусів) є незмінною, рівна 2a.

Каноническое (найпростіше) рівняння еліпса:

x2/a2 + y2/a2 = 1. (2.10).

Эллипс, поставлене рівнянням (2.10), симетричний щодо осей координат. Параметри a і b називаються полуосями эллипса.

Пусть a > b, тоді фокуси F1 і F2 перебувають у осі Оx на відстані з = з початку координат. Ставлення c/a =? < 1 називається ексцентриситетом еліпса. Відстані від точки M (x, y) еліпса до його фокусів (фокальні радиусы-векторы) визначаються формулами:

r1 = a — ?x, r2 = a +?x.

Если ж a < b, то фокуси перебувають у осі Оy, з = ,? = c/b,.

r1 = b + ?x, r2 = b — ?x.

Если a = b, то еліпс є окружністю з центром на початку координат радіуса a.

Гиперболой називається геометричне місце точок, різницю відстаней яких від двох даних точок F1 і F2 (фокусів) дорівнює по абсолютної величині даному числу 2a.

Каноническое рівняння гіперболи:

x2/a2 — y2/b2 = 1. (2.11).

Гипербола, задана рівнянням (2.11), симетрична щодо осей координат. Вона перетинає вісь Оx в точках A (a, 0) і A (-a, 0) — вершинах гіперболи і перетинає вісь Оy. Параметр a називається речовинної полуосью, b — мнимої полуосью. Параметр з = є відстань від фокусу на початок координат. Ставлення c/a =? > 1 називається ексцентриситетом гіперболи. Прямі y = ± bx/a називаються асимптотами гіперболи. Відстані від точки M (x, y) гіперболи до її фокусів (фокальні радиусы-векторы) визначаються формулами:

r1 = |?x — a|, r2 = |?x + a| .

Гипербола, що має a = b, називається равносторонней, її рівняння x2 — y2 = a2, а рівняння асимптот y = x. Гіперболи x2/a2 — y2/b2 = 1 і.

y2/b2 — x2/a2 = 1 називаються сполученими.

Параболой називається геометричне місце точок, однаково віддалених від даної точки (фокусу) й життєздатність цієї прямий (директорки).

Каноническое рівняння параболи має дві виду:

1) y2 = 2рx — парабола симетрична щодо осі Оx.

2) x2 = 2рy — парабола симетрична щодо осі Оy.

В обох випадках р > 0 і вершина параболи, тобто точка, що на осі симетрії, перебуває на початку координат.

Парабола y2 = 2рx має фокус F (р/2,0) і директрису x = - р/2, фокальний радиус-вектор точки M (x, y) у ньому r = x+ р/2.

Парабола x2 =2рy має фокус F (0, р/2) і директрису y = - р/2; фокальний радиус-вектор точки M (x, y) параболи дорівнює r = y + р/2.

Уравнение F (x, y) = 0 задає лінію, разбивающую площину на два чи декілька частин. У одних з цих частин виконується нерівність F (x, y)0. Інакше кажучи, лінія F (x, y)=0 відокремлює частина площині, де F (x, y)>0, частково площині, де F (x, y) 0. Його можна переписати як (x-2)2 + (y+3)2 — 25 > 0.

Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 — 25 = 0 задає окружність з центром в точці C (2,-3) і радіусом 5. Окружність розбиває площину на частини — внутрішню й зовнішню. Щоб дізнатися, у якій із них має місце дане нерівність, візьмемо контрольну точку у внутрішній області, наприклад, центр C (2,-3) нашої окружності. Підставляючи координати точки З у ліві частина нерівності, отримуємо негативне число -25. Отже, і всіх точках, лежачих всередині окружності, виконується нерівність x2−4x+y2+6y-12 < 0. Звідси випливає, що це нерівність має місце у зовнішній для окружності области.

Плоскость і пряма у просторі

Всякое рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z.

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1).

задает площину, і навпаки: всяка площину то, можливо представлена рівнянням (3.1), що називається рівнянням площині.

Вектор n (A, B, З), ортогональный площині, називається нормальним вектором площині. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, З одночасно нерівні 0.

Особые випадки рівняння (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — площину проходить через початок координат.

2. З = 0, Ax+By+D = 0 — площину паралельна осі Oz.

3. З = D = 0, Ax +By = 0 — площину проходить через вісь Oz.

4. B = З = 0, Ax + D = 0 — площину паралельна площині Oyz.

Уравнения координатних площин: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая у просторі то, можливо задана:

1) як лінія перетину двох плоскостей, т. е. системою рівнянь:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2).

2) двома своїми точками M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), тоді пряма, них що відбувається, задається рівняннями:

= (3.3).

3) точкою M1(x1, y1, z1), їй що належить, і вектором a (m, n, р), їй коллинеарным. Тоді пряма визначається рівняннями:

(3.4).

Уравнения (3.4) називаються канонічними рівняннями прямий.

Вектор a називається котрі спрямовують вектором прямий.

Параметрические рівняння прямий одержимо, прирівнявши кожна з відносин (3.4) параметру t:

x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5).

Решая систему (3.2) в розумінні системи лінійних рівнянь щодо невідомих x і y, дійшли рівнянням прямий в проекціях або до наведених рівнянням прямий:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6).

От рівнянь (3.6) можна можливість перейти до канонічним рівнянням, знаходячи z з кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:

.

От загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним та інших способом, якщо знайти якусь точку цієї прямий і його спрямовує вектор n = [n1, n2], де n1(A1, B1, C1) і n2(A2, B2, C2) — нормальні вектори заданих площин. Якщо хтось із знаменателей m, n чи р в рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідної дробу треба покласти рівним нулю, тобто. система.

.

равносильна системі x = x1, ; така пряма перпендикулярна до осі Ой.

Система рівносильна системі x = x1, y = y1; пряма паралельна осі Oz.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.