Дослідження кратних інтегралів

Курсова робота По дисципліні: Вища математика

(Основи лінійного програмування) На тему: Дослідження кратних інтегралів

Зміст

• 1. Кратні інтеграли
• Подвійний інтеграл
• Потрійний інтеграл
• Кратні інтеграли в криволінійних координатах
• Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів
• 2. Криволінійні й поверхневі інтеграли
• Криволінійні інтеграли
• Поверхневі інтеграли
• Геометричні й фізичні додатки
• Список літератури

1. Кратні інтеграли

Подвійний інтеграл

Розглянемо в площині Оху замкнуту область D, обмежену лінією L. Розіб'ємо цю область якими-небудь лініями на п частин, а відповідні найбільші відстані між крапками в кожній із цих частин позначимо d₁, d₂,., d_n. Виберемо в кожній частині крапку Р_i. Нехай в області D задана функція z = f (x, y). Позначимо через f (P₁), f (P₂),…, f (P_n) значення цієї функції в обраних крапках і складемо суму добутків виду f (P_i) ДS_i:

(1)

називану інтегральною сумою для функції f (x, y) в області D. Якщо існує той самий межа інтегральних сум (1) при й, не залежний ні від способу розбивки області D на частині, ні від вибору крапок P_i у них, то він називається подвійним інтегралом від функції f (x, y) по області D і позначається

. (2)

Обчислення подвійного інтеграла по області D, обмеженої лініями

x = a, x = b (a < b),

де ц₁ (х) і ц₂ (х) безперервні на [a, b] (мал.1) зводиться до послідовного обчислення двох певних інтегралів, або так званого дворазового інтеграла:

Мал.1

= (3)

Потрійний інтеграл

Поняття потрійного інтеграла вводиться за аналогією з подвійним інтегралом. Нехай у просторі задана деяка область V, обмежена замкнутою поверхнею S. Задамо в цій замкнутій області безперервну функцію f (x, y, z). Потім розіб'ємо область V на довільні частини Дv_i, уважаючи об'єм кожної частини рівним Дv_i, і складемо інтегральну суму виду

(4)

Межа при інтегральних сум (11), що не залежить від способу розбивки області V і вибору крапок P_i у кожної під області цієї області, називається потрійним інтегралом від функції f (x, y, z) по області V:

. (5)

Потрійний інтеграл від функції f (x, y, z) по області V дорівнює трикратному інтегралу по тій же області:

. (6)

Кратні інтеграли в криволінійних координатах

Уведемо на площині криволінійні координати, називані полярними. Виберемо крапку О (полюс) і вихідний з її промінь (полярну вісь).

Мал.2

Координатами крапки М (мал.2) будуть довжина відрізка МО — полярний радіус? і кут? між МО й полярною віссю: М (?,?). Відзначимо, що для всіх крапок площини, крім полюса,? > 0, а полярний кут? будемо вважати позитивним при вимірі його в напрямку проти годинникової стрілки й негативним — при вимірі в протилежному напрямку.

Зв’язок між полярними й декартовими координатами крапки М можна задати, якщо сполучити початок декартової системи координат з полюсом, а позитивну піввісь Ох — з полярною віссю (мал.3). Тоді x=сcosц, в=сsinц. Звідси, tg.

Задамо в області D, обмеженої кривими с=Ц₁ (ц) і с=Ц₂ (ц), де ц_{1 <} ц < ц₂, безперервну функцію z = f (ц,?) (мал.4).

Мал.4

Тоді

(7)

У тривимірному просторі вводяться циліндричні й сферичні координати.

Циліндричні координати крапки Р (?,?, z) — це полярні координати?,? проекції цієї крапки на площину Оху й апліката даної крапки z (мал.5).

Мал.5 Мал.6

Формули переходу від циліндричних координат до декартовим можна задати в такий спосіб:

x =? cos?, y =? sin?, z = z. (8)

У сферичних координатах положення крапки в просторі визначається лінійною координатою r — відстанню від крапки до початку декартової системи координат (або полюса сферичної системи),? — полярним кутом між позитивною піввіссю Ох і проекцією крапки на площину Оху, і? — кутом між позитивною піввіссю осі Оz і відрізком OP (мал.6). При цьому

Задамо формули переходу від сферичних координат до декартової:

x = r sin? cos?, y = r sin? sin?, z = r cos?. (9)

Тоді формули переходу до циліндричних або сферичних координат у потрійному інтегралі будуть виглядати так:

(10)

де F₁ і F₂ — функції, отримані при підстановці у функцію f замість x, y, z їхніх виражень через циліндричні (8) або сферичні (9) координати.

Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів

1) Площа плоскої області S: (11)

Приклад 1.

Знайти площу фігури D, обмеженої лініями

в = 2, в = 5.

Рішення.

Цю площу зручно обчислювати, уважаючи в зовнішньої змінної. Тоді границі області задаються рівняннями й

де обчислюється за допомогою інтегрування вроздріб:

Отже,

2) Об'єм циліндроїда, тобто тіла, обмеженого частиною поверхні S: z = f (x, y), обмеженої контуром L, проекцією D цієї поверхні на площину Оху й відрізками, паралельними осі Оz і з'єднуючу кожну крапку контуру L з відповідною крапкою площини Оху:

(12)

3) Площа частини криволінійної поверхні S, заданої рівнянням z = f (x, y), обмеженої контуром L:

(13)

де D — проекція S на площину Оху.

4) Момент інерції відносно початку координат Про матеріальну плоску фігуру D:

(14)

Приклад 2.

Знайти момент інерції однорідної круглої пластинки (x — a) ² + (y — b) ² < 4b² відносно початку координат. Рішення.

У силу однорідності пластинки покладемо її щільність? (х, у) = 1.

Центр кола розташований у крапці C (a, b), а його радіус дорівнює 2b.

Рівняння границь пластинки мають вигляд

Обчислимо кожного з отриманих інтегралів окремо.

Для обчислення інтеграла I₁ зробимо заміну: при x = a — 2b при x = a + 2b

Для обчислення інтеграла I₂ перетворимо функцію по формулі різниці кубів:

. Тоді

Отже,

Моменти інерції фігури D щодо осей Ох і Оу:

(15)

5) Маса плоскої фігури D змінної поверхневої щільності? =? (х, у):

(16)

Приклад 3.

Знайти масу пластинки D щільності г = ух³, якщо

Рішення.

Координати центра мас плоскої фігури змінної поверхневої щільності? =? (х, у):

(17)

Приклад 4.

Знайти центр ваги однорідної пластини D, обмеженої кривими в² = ах і. Рішення.

Тому що пластина однорідна, тобто її щільність постійна, то можна прийняти неї за одиницю.

Тоді

Знайдемо масу пластини, а для цього визначимо абсцису крапки перетинання обмежуючих її ліній:

Відповідно

6) Об'єм тіла V:

(18)

Приклад 5.

Знайти об'єм тіла V, обмеженого поверхнями

Рішення.

Знайдемо проекцію тіла на площину Оху (при цьому помітимо, що площина проектує на цю площину у вигляді прямій х = 0):

Визначимо абсцису крапки перетинання кривих в = х² і х + в = 2:

сторонній корінь. Тоді, використовуючи формулу (18), одержуємо:

7) Маса тіла V щільності? =? (x, y, z):

(19)

8) Моменти інерції тіла V щодо координатних осей і початку координат:

(20)

(21)

де? (х, y, z) — густина речовини.

Статичні моменти тіла щодо координатних площин Oyz, Oxz, Oxy:

(22)

9) Координати центра мас тіла:

2. Криволінійні й поверхневі інтеграли

Криволінійні інтеграли

Розглянемо на площині або в просторі криву L і функцію f, певну в кожній крапці цієї кривої. Розіб'ємо криву на частині Дs_i довжиною Дs_i і виберемо на кожній із частин крапку M_i. Назвемо d довжину найбільшого відрізка кривій: .

Криволінійним інтегралом першого роду від функції f по кривій L називається межа інтегральної суми, не залежний ні від способу розбивки кривій на відрізки, ні від вибору крапок M_i:

(24)

Якщо криву L можна задати параметричне:

x = ц (t), y = ш (t), z = ч (t), t₀? t? T,

те спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого роду задається формулою

(25)

Зокрема, якщо крива L задана на площині явно:

в=ц (х), де х₁? х? х₂, формула (40) перетвориться до виду:

. (26)

Тепер помножимо значення функції в крапці M_i не на довжину i-го відрізка, а на проекцію цього відрізка, скажемо, на вісь Ох, тобто на різницю x_i — x_i-1 = Дx_i.

Якщо існує кінцева межа при інтегральної суми, що не залежить від способу розбивки кривій на відрізки й вибору крапок M_i, то він називається криволінійним інтегралом другого роду від функції f (M) по кривій L і позначається

. (27)

Подібним чином можна визначити й криволінійні інтеграли 2-го роди виду

Якщо уздовж кривій L визначені функції P (M) =P (x, y, z), Q (M) = Q (x, y, z), R (M) = R (x, y, z), які можна вважати компонентами деякого вектора, і існують інтеграли

тоді їхню суму називають криволінійним інтегралом другого роду (загального виду) і думають

.

Якщо крива L задана параметричними рівняннями

x =? (t), y =? (t), z =? (t),?? t??, де?,?,? — функції, то

. (28)

Зв’язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2-го роди задається формулою Гріна:

(29)

де L — замкнутий контур, а D — область, обмежена цим контуром. Необхідними й достатніми умовами незалежності криволінійного інтеграла

від шляху інтегрування є:

. (30)

При виконанні умов (30) вираження Pdx + Qdy +Rdz є повним диференціалом деякої функції й. Це дозволяє звести обчислення криволінійного інтеграла до визначення різниці значень і в кінцевій і початковій крапках контуру інтегрування, тому що

При цьому функцію й можна знайти по формулі

(31)

де (x₀, y₀, z₀) — крапка з області D, a C — довільна постійна.

Поверхневі інтеграли

Розглянемо деяку поверхню S, обмежену контуром L, і розіб'ємо її на частині S₁, S₂,…, S_п (при цьому площа кожної частини теж позначимо S_п). Нехай у кожній крапці цієї поверхні задане значення функції f (x, y, z). Виберемо в кожній частині S_i крапку M_i (x_i, y_i, z_i) і складемо інтегральну суму

Якщо існує кінцева межа при цієї інтегральної суми, що не залежить від способу розбивки поверхні на частині й вибору крапок M_i, то він називається поверхневим інтегралом першого роду від функції f (M) = f (x, y, z) по поверхні S і позначається

. (32)

Якщо поверхня S задається явно, тобто рівнянням виду z =? (x, y), обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла:

(33)

де? — проекція поверхні S на площину Оху.

Розіб'ємо поверхню S на частині S₁, S₂,…, S_п, виберемо в кожній частині S_i крапку M_i (x_i, y_i, z_i), і помножимо f (M_i) на площу D_i проекції частини S_i на площину Оху. Якщо існує кінцева межа суми

не залежний від способу розбивки поверхні й вибору крапок на ній, то він називається поверхневим інтегралом другого роду від функції f (M) по обраній стороні поверхні S і позначається

(34)

Подібним чином можна проектувати частини поверхні на координатні площини Оxz і Оyz. Одержимо два інших поверхневих інтеграли 2-го роди:

и.

Розглянувши суму таких інтегралів по однієї й тій же поверхні відповідно від функцій P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), одержимо поверхневий інтеграл другого роду загального виду:

(35)

Якщо D, D? і D? — проекції поверхні S на координатні площини Оху, Oxz і Oyz, те

(36)

Зв’язок між потрійним інтегралом по тривимірній області V і поверхневим інтегралом 2-го роди по замкнутій поверхні S, що обмежує тіло V, задається формулою Гаусса-Остроградського:

(37)

де запис «S⁺» означає, що інтеграл, що коштує праворуч, обчислюється по зовнішній стороні поверхні S. Формула Стокса встановлює зв’язок між поверхневим інтегралом 1-го роду по поверхні? і криволінійним інтегралом 2-го роду по обмежуючому його контурі? з урахуванням орієнтації поверхні:

(38)

Геометричні й фізичні додатки

1) Довжина кривої.

Якщо підінтегральна функція f (x, y, z)? 1, то з визначення криволінійного інтеграла 1-го роду одержуємо, що в цьому випадку він дорівнює довжині кривої, по якій ведеться інтегрування:

(39)

2) Маса кривої.

Уважаючи, що підінтегральна функція? (x, y, z) визначає щільність кожної крапки кривій, знайдемо масу кривої по формулі

(40)

Приклад 6.

Знайти масу кривої з лінійною щільністю заданої в полярних координатах рівнянням с = 4ц, де

Рішення.

Використовуємо формулу (40) з обліком того, що крива задана в полярних координатах:

3) Моменти кривій l:

— (41)

статичні моменти плоскій кривій l щодо осей Ох і Оу;

— (42)

момент інерції просторовій кривій відносно початку координат;

— (43)

моменти інерції кривій щодо координатних осей.

4) Координати центра мас кривій обчислюються по формулах

. (44)

5) Робота сили, що діє на крапку, що рухається по кривій (АВ):

(45)

Приклад 7.

Обчислити роботу векторного поля уздовж відрізка прямій від крапки, А (-2; - 3;

1) до крапки В (1; 4;

2).

Рішення.

Знайдемо канонічні й параметричні рівняння прямій АВ:

Площа криволінійної поверхні, рівняння якої

z = f (x, y), можна знайти у вигляді:

(46)

(? — проекція S на площину Оху).

7) Маса поверхні

(47)

Приклад 8.

Знайти масу поверхні з поверхневою щільністю г = 2z² + 3.

Рішення.

На розглянутій поверхні

Тоді

Проекцією D цієї поверхні на координатну площину Оху є півкільце із границями у вигляді дуг концентричних окружностей радіусів 3 і 4.

Застосовуючи формулу (47) і переходячи до полярних координат, одержимо:

8) Моменти поверхні:

(48)

статичні моменти поверхні щодо координатних площин Oxy, Oxz, Oyz;

(49)

моменти інерції поверхні щодо координатних осей;

— (50)

моменти інерції поверхні щодо координатних площин;

— (51)

момент інерції поверхні відносно початку координат

Координати центра мас поверхні:

. (52)

Список літератури

1. Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. К., 1999.

2. Кудрявцев Л. Д. Курс математичного аналізу. — К., 2000.

3. Ільїн В.А., Позняк Е. Г. Математичний аналіз. — К., 1999.

4. Смирнов В.І. Курс вищої математики. — Т.2. — К., 2005.

5. Бугрів Я.С., Нікольський С.М. Диференціальні рівняння. Кратні інтеграли. Ряди. Функції комплексного змінного. — К., 2001.

6. Пискунов М. С. Диференціальне й інтегральне вирахування. — К., 2004.

7. Мишкис А. Д. Лекції по вищій математиці. — К., 2003.

8. Титаренко В. І, Кратні, криволінійні й поверхневі інтеграли. Теорія поля. — К., 2006.