Визначник Вронського (реферат)

Реферат на тему:

" Визначник Вронського" .

Визначник $$\text{det}Y(x)=W(x)$$ називається визначником Вронського або вронської системи:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=A(x)y,y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_n\end{array}\right),A(x)={\left\{a_{\text{ij}}(x)\right\}}_{i,j=1}^n$$. (1).

Теорема. Припустимо, що матриця $$A(x)$$ системи диференціальних рівнянь (1) має неперервні елементи на $$a<x<b$$. Якщо матриця $$Y(x)$$ задовольняє (1), то.

$$\text{det}Y(x)=\text{det}Y(x_0)\text{exp}\left(\underset{x_0}{\overset{x}{}}\text{SpA}()\mathit{d}\right)$$, (2).

де $$x_0,x(a,b),\text{SpA}(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ii}}(x)$$. Рівність (2) називають формулою Якобі.

Доведення. Запишемо систему матричних диференціальних рівнянь $$\frac{\text{dY}(x)}{\text{dx}}=A(x)Y(x)$$ у вигляді.

$$y_i^{{(j)}^{}}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ik}}{y}_k^{(j)},i,j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$ .

Тоді.

$$\frac{d}{\text{dx}}\left(\text{det}Y(x)\right)=\frac{\text{dW}(x)}{\text{dx}}=I_1+I_2\text{.}\text{.}\text{.}+I_n$$, (3).

де $$I_1,I_2,\dots ,I_n$$ — деякі визначники. Обчислимо визначник $$I_1$$.

$$I_1=\text{det}\left(\begin{array}{cccc}{y}_1^{{(1)}^{}}& y_1^{{(2)}^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_1^{{(n)}^{}}\\ y_2^{(1)}& y_2^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_2^{(n)}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_n^{(1)}& y_n^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{(n)}\end{array}\right)=|\begin{array}{cccc}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{1k}{y}_k^{(1)}& \underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{1k}{y}_k^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& \underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{1k}{y}_k^{(n)}\\ y_2^{(1)}& y_2^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_2^{(n)}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_n^{(1)}& y_n^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{(n)}\end{array}|$$ .

З першого рядка віднімемо суму другого рядка, помноженого на $$a_{\text{12}}$$, третього на $$a_{\text{13}}$$, …. Отримаємо.

$$I_1=|\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}{y}_1^{(1)}& a_{\text{11}}{y}_1^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{11}}{y}_1^{(n)}\\ y_2^{(1)}& y_2^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_2^{(n)}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_n^{(1)}& y_n^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{(n)}\end{array}|=a_{\text{11}}W(x)$$ .

Аналогічно показується, що.

$$I_i=|\begin{array}{cccc}{y}_1^{(1)}& y_1^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_1^{(n)}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_{i-1}^{(1)}& y_{i-1}^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{i-1}^{(n)}\\ y_i^{{(1)}^{}}& y_i^{{(2)}^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_i^{{(n)}^{}}\\ y_{i+1}^{(1)}& y_{i+1}^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{i+1}^{(n)}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_n^{(1)}& y_n^{(2)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{(n)}\end{array}|=a_{\text{ii}}(x)W(x),i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$ .

Таким чином, $$\frac{\text{dW}}{\text{dx}}=\text{SpA}(x)W(x)$$, звідки отримуємо формулу Якобі (2). Теорема доведена.

З формули (2) випливає, що якщо $$W(x_0)=0$$, тобто система функцій в точці $$x=x_0$$ лінійно залежна, то $$W(x)\mathrm{0,}a<x<b$$, якщо ж $$W(x_0)/=0$$, то $$W(x)/=\mathrm{0,}a<x<b$$ .