Приближенное обчислення певного інтеграла з допомогою квадратурной формули Чебышева

МИНИСТЕКРСТВО ОСВІТИ УКРАИНЫ.

ДЕРЖАВНИЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

КАФЕДРА ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНИКИ.

КУРСОВА РОБОТА на тему.

«Близьке обчислення певного интеграла.

з допомогою квадратурной формули Чебышева".

Студента 2-го курсу: Полякова Є.В. Науковий керівник: Купріна Л.А.

Дніпропетровськ 2000 г.

1. Загальна постановка і аналіз задания.

1.1.

Введение

.

1.2. Висновок формул чисельного інтегрування з допомогою интерполяционного полинома Лагранжа.

1.3 Формула трапецій і середніх прямоугольников.

1.4. Загальна формула Сімпсона (параболічна формула).

1.5. Квадратурная формула Чебышева.

2. Рішення контрольного примера.

3. Опис програми Integral. pas. Алгоритм.

4. Укладання та выводы.

5.

Список литературы

.

6. Лістинг програми. Висновок на экран.

1. Загальна постановка і аналіз задачи.

1.1.

Введение

.

Требуется знайти певний интеграл.

I = [pic].

по квадратурной формулі Чебышева.

Розглянемо, яке з себе взагалі квадратурная формула, і як з її допомогою обчислити наближено интеграл.

Известно,[pic] що включає певний інтеграл функції [pic] типу [pic] чисельно є площа криволінійної трапеції обмеженою кривими x=0, y=a, y=b і y=[pic] (Рис. 1).

[pic].

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Если f (x) безупинна на відрізку [a, b], й її первообразная F (x), то певний інтеграл від цього функції не більше від, а до b то, можливо вирахувано по, відомої всім, формулі Ньютона — Лейбніца [pic]= F (b) — F (a) где.

F'(x) = f (x).

Однак у часто F (x) може бути знайдено, чи первообразная виходить дуже складної для обчислення. З іншого боку, функція часто задається таблично. Тому велике значення набуває близьке й у першу чергу чисельна интегрирование.

Завдання чисельного інтегрування полягає у перебування наближеного значення інтеграла [pic]по заданим чи вичисленим значенням подинтегральной функції f (x) у деяких точках (вузлах) відрізка [ a, b].

Кількісна визначення однократного інтеграла називається механічної квадратурою, а відповідні формули чисельного інтегрування — квадратурными .

Замінюючи подинтегральную функцію будь-яким интерполционным многочленом, ми матимемо квадратурные формули вида.

[pic].

де xk — обрані вузли интерполяции;

Ak — коефіцієнти, залежні тільки від вибору вузлів, но.

немає від виду функції (k=0,1,2,…, n).

R — залишковий член, чи похибка квадратурной формулы.

Відкидаючи залишковий член R, ми чинимо похибка усечения. При розрахунку до неї додаються ще різні похибки округлення. Розіб'ємо відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин системою точок xi= xo+ i. h; (і = 0,1,2,…, n) xo= a; xn= b; h= (b-a)/n; і обчислимо подинтегральную функцію у вузлах yi= f (xi); (і = 0,1,2,…, n).

1.2. Висновок формул чисельного інтегрування з допомогою интерполяционного полинома Лагранжа Пусть для y=f (x) відомі у n+1 точках X0, X1,X2.Xn проміжку [a, b] відповідні значення f (xi)=yi (i=0,1,2.n). Потрібна наближено найти.

[pic].

По заданим значенням Yi побудуємо поліном Лагранжа. Замінимо f (x) полиномом Ln (x). Тогда.

[pic].

где Rn (f) — помилка квадратурной формули. Звідси, скориставшись вираженням для Ln (x), отримуємо наближену квадратурную формулу:

[pic] Для обчислення коефіцієнтів Аi зауважимо що: 1. коэффициенты Ai при даному розташуванні вузлів залежить від вибору функції f (x); 2. для полинома ступеня n остання формула точная.

Положиста y=xK (k=0,1,2., n), одержимо лінійну систему з n+1 уравнений:

[pic].

где [pic] (k=0,1,., n), з яких можна визначити коефіцієнти А0, А1,., АN.

Определитель системи є визначник Вандермонда.

[pic] Зауважимо, що з застосуванні цього фактичне побудова полинома Лагранжа Ln (x) є зайвим. Простий метод підрахунку похибки квадратурных формул розроблений С. М. Никольским. Тепер на кілька найпростіших квадратурных формул :

1.3 Формула трапецій і середніх прямокутників. Замінимо дугу АВ стягивающей її хордою, одержимо прямолинейную трапецію аАВb, площа якої приймемо за близьке значення интеграла.

y.

0 a b x рис 1.3.1 Криволинейная трапеция.

[pic].

Рис. 1.3.2. Метод трапеций.

[pic].

Рис. 1.3.3. Метод середніх прямоугольников.

За методами трапецій і середніх прямокутників відповідно інтеграл дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, де підставу трапеції якаабо мала величина (точність), з сумою площ прямокутників, де підставу прямокутника якась мала величина (точність), а висота визначається по точці перетину верхнього підстави прямокутника, яке графік функції повинен перетинати у середині. Відповідно отримуємо формули площ — для методу трапеций:

[pic], для методу середніх прямоугольников:

[pic].

1.4. Загальна формула Сімпсона (параболічна формула).

Нехай n=2m є парне число і yi=f (xi) (i=0,1,2…n) — значення функції y=f (x) для равноотстоящих точок а=x0,x1, …, xn=b з шагом.

[pic].

Застосувавши формулу Сімпсона до кожного подвоєному проміжку [x0,x2], [x2,x4] … [x2m-2,x2m] довжини 2h і запровадивши обозначения.

(1=y1+y2+ … +y2m-1.

(2=y2+y4+ … +y2m.

одержимо узагальнену формулу Симпсона:

[pic].

Залишковий член формули Сімпсона загалом виде:

[pic].

де (k I (x2к-2,x2к).

1.5. Квадратурная формула Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу вида:

[pic].

функцию f (x) будемо исать як коли f (x) багаточлен виду f (x)=ao+a1x+…+anxn. Проинтегрировав, перетворивши і підставивши значення багаточлена в узлах.

f (x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+…+anx1n.

f (x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+…+anx2n.

f (x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+…+anx3n.

.. .. .. .. .. .. ... .

f (xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+…+anxnn.

получим формулу Чебышева.

[pic].

Значения х1, х2,., хn щодо різноманітних n наведені у таблиці 3.

Таблица 3 — Значення х1, х2,., хn щодо різноманітних n. | n | I | ti | n | і | ti | |2 |1;2 |(0,577 350 | 6 |1;6 |(0,866 247 | |3 |1;3 |(0,707 107 | |2;5 |(0,422 519 | | |2 | 0 | |3;4 |(0,266 635 | |4 |1;4 |(0,794 654 | 7 |1;7 |(0,883 862 | | |2;3 |(0,187 592 | |2;6 |(0,529 657 | |5 |1;5 |(0,832 498 | |3;5 |(0,321 912 | | |2;4 |(0,374 541 | |4 | 0 | | |3 | 0 | | | |.

2. Рішення контрольного примера.

[pic].

где a=0; b= [pic]; при n=5;

f (x) = sin (x);

[pic].

[pic].

| і| xi | yi | |1 | 0,131 489 | 0,131 118 | |2 | 0,490 985 | 0,471 494 | |3 | 0,785 | 0,706 825 | |4 | 0,509 015 |0,487 317 | |5 | 0,868 511 |0,763 367 |.

x1= (/4+(/4*t1=(/4+(/4(-0,832 498)=0,131 489.

x2= (/4+(/4*t2=(/4+(/4(-0,374 341)=0,490 985.

x3= (/4+(/4*t3=(/4+(/4*0=0,785.

x4=1- x2=1−0,490 985 = 0,509 015.

x5=1- x1=1−0,131 489=0,868 511.

y1=sin (x1) = sin (0,131 489)=0,131 118.

y2=sin (x2) = sin (0,490 985)=0,471 494.

y3=sin (x3) = sin (0,785)=0,706 825.

y4=sin (x4) = sin (0,509 015)=0,487 317.

y5=sin (x5) = sin (0,868 511)=0,763 367.

[pic].

I = (/10(0,131 118+0,471 494+0,706 825+0,487 317+0,763 367) =.

=(/10*2,560 121=0,8 038 779.

3. Опис програми Integral. pas. Алгоритм.

Процедура VVOD — заповнює масив, яке у собі аргументи xi.

Процедура FORM — використовуючи масив, у якому аргументи xi заповнює масив yi.

Процедура CHEB — використовуючи масиви xi і yi, вираховує по квадратурной формулі Чебишева близьке значення інтеграла. Процедура TABL — це підпрограма, що здійснює висновок таблиці вузлів (аргумент — функция) При запуску програми слід впровадити кордону інтегрування. Після введення кордонів інтегрування використовується процедура VVOD, та був вираховується і виводитися на екран крок табулирования функції h. Після цього використовуємо процедури FORM і CHEB. Отримавши результат, виводимо таблицю (процедура TABL) і интеграл.

4. Укладання та выводы.

Отже очевидно, що з обчисленні певних з дитинства інтегралів з допомогою квадратурных формул, зокрема за такою формулою Чебишева це не дає нам точного значення, лише приближенное.

Щоб максимально наблизитися до достовірному значенням інтеграла треба вміти правильно вибрати метод і формулу, через яку вестиметься розрахунок. Також дуже важливо, яким буде взятий крок интегрирования.

Хоча чисельні методи лікування й не дають дуже точного значення інтеграла, але вони важливі, бо можна вирішити завдання інтегрування аналітичним способом.

5.

Список литературы

:

1. Ракітін Т.А., Первушин В. А. «Практичне посібник з численным методам із фотографією програм мовою Basic».

2. Крилов В.І. «Наближені обчислення з дитинства інтегралів» — М.: Физмат.

3. Демидович і Марон «Основи обчислювальної математики».

4. Копченова і Марон «Обчислювальна математика в прикладах і задачах».

5. Вольвачев О. Н., Крисевич В. С. Програмування мовою Паскаль для ПЕОМ ЄС. Мінськ.: 1989 р. 6. Зуєв Е. А. Мова програмування Turbo Pascal. М.1992 р. 7. Скляров В. А. Знайомтеся: Паскаль. М. 1988 г.

6. Лістинг программы.

Програма написана мовою Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Нижче наведено її лістинг: program integral;

uses crt;

const n=5; k=-0.832 498; l=-0.374 541; z=0.0;

type aa=array[1.n] of real;

var x, y: aa; a, b, h, ich: real;

{ заповнення х-сов в масив х[5] }.

procedure vvod (var a, b: real;var c: aa); var i: integer; t: aa; Begin t[1]: =k; t[2]: =l; t[3]: =z; t[4]: =l; t[5]: =k;

for i:=1 to n-1 do c[i]: =((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]); for i:=n-1 to n do c[i]: =1 — c[n+1-i]; end;

{ заповнення y-ков в масиві у[5] }.

procedure form (var x: aa; var y: aa); var i: integer; Begin for i:=1 to n do y[i]: =sin (x[i]); {функція} end;

{ процедура до розрахунку інтеграла по квадратурной формулі Чебишева }.

procedure cheb (var y: aa;var ich: real); var i: integer; Begin.

ich:=0; for i:=1 to n do ich:=ich+y[i]*h; end;

{ процедура виведення таблицы}.

procedure tabl; var i: integer; Begin writeln («___________________________________ «); writeln («| і | t | x | y | «); writeln («___________________________________ «); writeln («| 1 | «, k:9:6, «| «, x[1]: 9:6, «| «, y[1]: 9:6, «| «); writeln («| 2 | «, l:9:6, «| «, x[2]: 9:6, «| «, y[2]: 9:6, «| «); writeln («| 3 | «, z:9:6, «| «, x[3]: 9:6, «| «, y[3]: 9:6, «| «); writeln («| 4 | «, l:9:6, «| «, x[4]: 9:6, «| «, y[4]: 9:6, «| «);

writeln («| 5 | «, k:9:6, «| «, x[5]: 9:6, «| «, y[5]: 9:6, «| «); writeln («___________________________________ «); end;

Begin.

clrscr; writeln («П Р Про Р Р, А М М, А Д Л Я У И Ч І З Л Є М І Я »); writeln («Про П Р Є Д Є Л Є М М Про Р Про І М Т Є Р Р, А Л, А »); writeln; writeln («Запровадьте кордону інтегрування a, b: »); readln (a, b); vvod (a, b, x); h:=(b-a)/n; writeln («h= «, h:9:6); form (x, y); cheb (y, ich); tabl; writeln («I= «, ich:8:6);

end.

Вывод результату :

П Р Про Р Р, А М М, А Д Л Я У И Ч І З Л Є М І Я Про П Р Є Д Є Л Є М М Про Р Про І М Т Є Р Р, А Л А.

Запровадьте кордону інтегрування a, b: 0 1.5708 h= 0.314 160.

____________________________ | і | t | x | y |.

____________________________ | 1 |-0.832 498| 0.131 556 | 0.131 177| | 2 |-0.374 541| 0.491 235 | 0.471 716| | 3 | 0.0| 0.785 400 | 0.707 108| | 4 |-0.374 541| 0.508 765 | 0.487 099| | 5 |-0.832 498| 0.868 444 | 0.763 325|.

____________________________.

I=0.804 383.

———————————- y-f (x).

B.

A.