Використання алгебри матриць (реферат)

1. 1.Використання алгебри матриць.

В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі.

Приклад 1.

Сезонний продаж товарів трьох видів (, дійснюють три магазини (12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином представлено у вигляді матриць.

$$A=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{320}& \text{60}& \text{220}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{200}& \text{60}& \text{240}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{100}& \text{60}& \text{140}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{120}& \text{60}& \text{100}\end{array}\end{array}\right]$$ — В = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{380}& \text{70}& \text{200}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{320}& \text{80}& \text{260}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{180}& \text{80}& \text{220}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{200}& \text{60}& \text{100}\end{array}\end{array}\right]$$ — С = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{220}& \text{20}& \text{80}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{180}& \text{30}& \text{60}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{140}& \text{25}& \text{100}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{90}& \text{30}& \text{120}\end{array}\end{array}\right]$$ ,.

де в рядках вказано суми, отримані кожним магазином за відповідний сезон (зима, весна, літо, осінь), а в стовпчиках — суми, отримані за продаж відповідного товару (, Потрібно: 1) перевірити, що суми реалізації товарів першого і третього магазинів разом більші, ніж другого- 2) записати у вигляді матриці сукупні суми реалізації товарів трьома магазинами.

Розв’язування.

Знаходимо обсяг реалізації товарів кожного виду першим і третім магазинами. Він дорівнює сумі А+С:

А+С = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{320}& \text{60}& \text{220}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{200}& \text{60}& \text{240}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{100}& \text{60}& \text{140}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{120}& \text{60}& \text{100}\end{array}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{220}& \text{20}& \text{80}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{180}& \text{30}& \text{60}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{140}& \text{25}& \text{100}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{90}& \text{30}& \text{120}\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{540}& \text{80}& \text{300}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{380}& \text{90}& \text{300}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{240}& \text{85}& \text{240}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{210}& \text{90}& \text{220}\end{array}\end{array}\right]\text{.}$$.

Порівнюючи елементи матриці А+С з відповідними елементами матриці В, легко пересвідчитися, що у кожному сезоні перший і третій магазини разом продали кожному виду товарів більше, ніж другий магазин. Щоб записати у вигляді матриці дані про сукупний продаж магазинів, знайдемо матрицю А+В+С:

А+В+С = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{540}& \text{80}& \text{300}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{380}& \text{90}& \text{300}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{240}& \text{85}& \text{240}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{210}& \text{90}& \text{220}\end{array}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{380}& \text{70}& \text{200}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{320}& \text{80}& \text{260}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{180}& \text{80}& \text{220}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{200}& \text{60}& \text{100}\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\text{920}& \text{150}& \text{500}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{700}& \text{170}& \text{560}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{420}& \text{165}& \text{460}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\text{410}& \text{150}& \text{320}\end{array}\end{array}\right]\text{.}$$.

Приклад 2.

Випуск готової продукції п’яти підприємств включає чотири види виробів (,). Для їх виробництва використовуються три різні типи сировини (І, ІІ, ІІІ). Дані щоденної продуктивності підприємств з кожного виробу (число виробів за дань) і витрат сировини на одиницю виробу (кг/шт.), а також число днів роботи кожного підприємства і вартість у гривнях 1 кг сировини кожного типу, наведено в таблиці.

Потрібно визначити:

а) сумарну продуктивність кожного підприємства по кожному з виробів за весь виробничий період);

б) потреби кожного підприємства у різних типах сировини;

в) розміри кредитування підприємств для закупівлі сировини.

Розв’язування.

Розглянемо матрицю А, що характеризує продуктивність підприємств, матрицю В — витрат сировини і С — матрицю цін, тоді.

Продуктивність підприємств Вид виробу

1 2 3 4 5 1 2 3 4.

А = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}6& \text{10}& 0& \begin{array}{cc}6& 2\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}4& 3& 0& \begin{array}{cc}4& 5\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& \text{15}& \text{10}& \begin{array}{cc}3& 4\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}3& 5& 8& \begin{array}{cc}7& 6\end{array}\end{array}\end{array}\right]|\begin{array}{c}\\ \\ \\ \end{array}$$ Вид виробу В = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}5& \begin{array}{cc}\text{10}& 2\end{array}& 4\end{array}\\ \begin{array}{cccc}3& 4& 5& 8\end{array}\\ \begin{array}{cccc}4& 6& 5& 6\end{array}\end{array}\right]|\begin{array}{c}І\\ \text{ІІ}\\ \text{ІІІ}\end{array}$$ $$$$ Вид сировини.

С= (30 20 50).

а) Кожний стовпчик матриці А відповідає денній продуктивності окремого підприємства з кожного виду продукції. Щоб отримати річну продуктивність j-го підприємства (j=1,2,3,4,5), потрібно помножити j-тий стовпець матриці А на кількість робочих днів цього підприємства. Час роботи кожного з підприємств запишемо у вигляді діагональної матриці.

Т = $$\left[\begin{array}{ccccc}\text{100}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \text{200}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \text{140}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \text{150}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \text{170}\end{array}\right]$$.

Тоді загальна продуктивність за виробничий період є добуток матриць А. Т:

АТ = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}6& \text{10}& 0& \begin{array}{cc}6& 2\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}4& 3& 0\end{array}& 4& 5\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}0& \text{15}& \text{10}\end{array}& 3& 4\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}3& 5& 8\end{array}& 7& 6\end{array}\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{ccccc}\text{100}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \text{200}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \text{140}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \text{150}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \text{170}\end{array}\right]$$ =.

підприємства.

$$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{600}& \text{2000}& 0& \begin{array}{cc}\text{900}& \text{340}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\text{400}& \text{600}& 0\end{array}& \text{600}& \text{850}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}0& \text{3000}& \text{1400}\end{array}& \text{450}& \text{680}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\text{300}& \text{1000}& \text{1120}\end{array}& \text{1050}& \text{1020}\end{array}\end{array}\right]$$ вироби.

б) Витрати сировини кожного підприємства є добуток В.(АТ):

В.АТ = $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}5& \begin{array}{cc}\text{10}& 2\end{array}& 4\end{array}\\ \begin{array}{cccc}3& 4& 5& 8\end{array}\\ \begin{array}{cccc}4& 6& 5& 6\end{array}\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{600}& \text{2000}& 0& \begin{array}{cc}\text{900}& \text{340}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\text{400}& \text{600}& 0\end{array}& \text{600}& \text{850}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}0& \text{3000}& \text{1400}\end{array}& \text{450}& \text{680}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\text{300}& \text{1000}& \text{1120}\end{array}& \text{1050}& \text{1020}\end{array}\end{array}\right]$$ =.

$$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{8200}& \text{26\hspace{0.17em}000}& \text{7280}& \begin{array}{cc}\text{15\hspace{0.17em}600}& \text{15\hspace{0.17em}640}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{5800}& \text{31\hspace{0.17em}400}& \text{15\hspace{0.17em}960}& \begin{array}{cc}\text{15\hspace{0.17em}750}& \text{15\hspace{0.17em}980}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{6600}& \text{32\hspace{0.17em}600}& \text{13\hspace{0.17em}720}& \begin{array}{cc}\text{15\hspace{0.17em}750}& \text{15\hspace{0.17em}980}\end{array}\end{array}\end{array}\right]$$.

в) Вартість річного запасу сировини одержуємо як добуток матриці цін С на матрицю витрат В (АТ):

D = C.(B.(AT)) = (30 20 50) $$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{8200}& \text{26\hspace{0.17em}000}& \text{7280}& \begin{array}{cc}\text{15\hspace{0.17em}600}& \text{15\hspace{0.17em}640}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{5800}& \text{31\hspace{0.17em}400}& \text{15\hspace{0.17em}960}& \begin{array}{cc}\text{15\hspace{0.17em}750}& \text{15\hspace{0.17em}980}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{6600}& \text{32\hspace{0.17em}600}& \text{13\hspace{0.17em}720}& \begin{array}{cc}\text{15\hspace{0.17em}750}& \text{15\hspace{0.17em}980}\end{array}\end{array}\end{array}\right]$$ =.

(692 000 3 038 000 1 223 600 157 500 1 587 800).

Отже, величини кредитування j-го підприємства на закупівлю сировини визначаються компонентами матриці D.

1. 2.Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.

Приклад 3.

Для випуску виробів трьох видів (, ідприємство використовує сировину 3-х типів (S1, S2, S3). Норми витрат кожного з типів сировини на один виріб і обсяг витрат сировини за один день задано таблицею:

Знайти щоденний обсяг випуску кожного виду виробів.

Розв’язування.

Припустимо, підприємство щодня виробляє х1 одиниць виробів виду 2 одиниць — виду х3 одиниць виробів виду оді, відповідно з витратами.

Сировини кожного виду, маємо систему: $$\{\begin{array}{c}9x_1+3x_2+4x_3=\text{2700},\\ 7x_1+x_2+6x_3=\text{2700},\\ \text{14}{x}_1+5x_2+6x_3=\text{4200}\text{.}\end{array}$$.

Розв’Язавши цю систему, знайдено х1=100, х2=200, х3=300. Це означає, що підприємство щоденно виробляє 100 виробів виду 0 виробів виду 300 виробів виду >

Приклад 4.

Два заводи виготовляють апарати для двох підприємство. Підприємствам необхідно отримати 120 і 80 апаратів відповідно. Перший завод випустив 150 апаратів, а другий — 50. Витрати на перевезення апаратів із заводів кожного підприємства такі:

Мінімальні витрати на перевезення становлять 2850 грош.од. Знайти оптимальний план перевезення апаратів.

Розв’язування.

Позначимо хij — кількість апаратів, що надходять з і-го заводу до j-го підприємства. Тоді можемо скласти таку систему:

$$\{\begin{array}{ccccc}{x}_{\text{11}}+x_{\text{12}}& & \text{150},& & \\ & x_{\text{12}}+x_{\text{22}}& \text{50},& & \\ x_{\text{11}}& +x_{\text{21}}& \text{120},& & \\ \begin{array}{cc}& x_{\text{12}}\end{array}& \begin{array}{cc}& x_{\text{22}}\end{array}& \text{80},& & \\ \text{10}{x}_{\text{11}}+\text{20}{x}_{\text{12}}+5x_{\text{21}}+\text{25}{x}_{\text{22}}& & \text{2850}& & \end{array}$$.

Розв’язавши систему, наприклад, методом Гаусса, знайдемо х11=100, х12=50, х21=20, х22=30.