Логарифм числа, логарифм частки (реферат)

РЕФЕРАТ

на тему:

Логарифм числа, логарифм частки Поняття логарифма. Розглянемо рівність 43 = 64. У ній число З с показником степеня, до якого треба піднести число 4,.

щоб одержати 64. Аналогічно в рівності 5−2 = $$\frac{1}{\text{25}}$$ число -2 є по­казником степеня, до якого треба піднести число 5, щоб одержа­ти $$\frac{1}{\text{25}}$$. У загальному випадку в рівності ах = N число х є пока­зником степеня, до якого треба піднести основу а, щоб отримати.

число N .

Розглянемо рівняння ах = N, де, а і N — деякі числа, при­чому, а > 0 і а $$$$

1. Якщо N.

$$$$

0, то це рівняння не має коренів, бо значення показникової функції у= ах додатні при будь-якому х.

.

Для N > 0 рівняння має корінь, і до того ж єдиний. Справді, областю значень показникової функції у = ах, коли, а $$$$ 1, є множина додатних чисел (отже, корінь рівняння існує). Крім того, кожне своє значення показникова функція набуває тільки при одному значенні аргументу (отже, цей корінь єдиний).

Корінь рівняння ах = N, де, а > 0, а $$$$ 1, називають логариф­мом числа N за основою а.

Логарифмом числа N за основою, а називають показник х степеня, до якого треба піднести а, щоб одержати число N.

Слово «логарифм» позначають символом log, праворуч від якого (трохи нижче) записують те число, яке називають основою логарифма. Так, замість того, щоб писати «логарифм числа 81 за основою 3», скорочено пишуть iog3 81. Те, що число х с логариф­мом числа N за основою а, записують так: loga N — х. Цю рів­ність читають так: «логарифм числа N за основою, а дорівнює х» .

Наприклад, з різностей 53 = 125, 6−2 = $$\frac{1}{\text{36}}$$, 70 = 1, $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-6}$$ =64 випливає, що Iog5125 = 3, log6 $$\frac{1}{\text{36}}$$ = -2, iog7l=0, log $${}_{\frac{1}{2}}$$ 64 = -6.

Зазначимо, то вирази log4 (-64), log, 0 не мають змісту, то­му що рівняння 4х =-64, 3х =0 не мають коренів.

Вираз logа N, де, а > 0 і а $$$$ 1, мас зміст лише при N > 0 .

Логарифмічна logа N = b і показникова ab — N рівності ви­ражають одне і те саме співвідношення між числами а, b і N. За ци­ми рівностями можна знайти одне з трьох чисел, що входять до них, якщо задано два інші. Відповідно до цього можна розв’язати задачі:

1) знайти число N за даним його логарифмом b за основою а;

2) знайти основу, а за даним числом N і його логарифмом 6;

3) знайти логарифм b даного числа N за даною основою а.

Широко вживають так звані десяткові логарифми, тобто лога­рифм за основою 10. Для них застосовують позначення lg (без за­пису основи), наприклад lg 10 = 1, Ig100 = 2, lg1000 = 3, Ig0,1 = -1.

Приклад 1. Записати у вигляді логарифмічних рівностей:

а) 27 =128;

Розв’язання. За означенням логарифма даного числа за даною основою маємо:

a) log2128 = 7.

Теорема 2. Логарифм частки двох додатних чисел (дробу дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника знаменника), тобто.

$${\text{log}}_a\frac{N_1}{N_2}={\text{log}}_a{N}_1-{\text{log}}_a{N}_2$$.

де N1, > О, N2 > 0.

Доведення. Нехай logаN1=x1 і logaN2=x2. Тоді N1=ах1, N2=ах2.

Поділимо почленно першу рівність на другу: $$\frac{N_1}{N_2}=a^{x_1-x_2}$$.

Тутх1-ч2 є показником степеня, до якого треба піднести основу а, щоб одержати число, яке дорівнює частці $$\frac{N_1}{N_2}$$. Отже, $${\text{log}}_a\frac{N_1}{N_2}=x_1-x_2$$. Замінюючи х1 і х2 їхніми виразами через логарифми, остаточно одержуємо.

$${\text{log}}_a\frac{N_1}{N_2}={\text{log}}_a{N}_1-{\text{log}}_a{N}_2$$.

Наслідок. Логарифм дробу, чисельник якого дорівнює оди­ниці, дорівнює логарифму знаменника, взятому з протилежним знаком: log $$\frac{1}{N}$$ = - loga N.