О курсі «Елементи теорії Галуа»

О курсі «Елементи теорії Галуа»

Меньшикова Е.А., Шендеровский В.Г.

Всем, хто у неповній середній школі, доводилося вирішувати алгебраїчні рівняння, тобто. рівняння виду.

anxn+an-1xn-1+…+a0=0,.

где an, an-1,…, a0-некоторые числа.

Изучение рівнянь починається у другий клас з вирішення рівнянь першого ступеня (линейных):

ax+b=0.

В восьмому класі переходять до квадратним рівнянням, знайомляться з формулами коренів квадратного рівняння. У шкільному курсі математики не часто трапляються рівняння третьої, четвертої і значно вищих ступенів. Зазвичай, їх вирішують зведенням до лінійним і квадратним рівнянням. Мабуть, багато цікавилися: «Чи є так само прості, як й у квадратного рівняння, або ледь складніші формули обчислення коренів рівняння вищих степеней?».

Уже кілька років на нашому факультеті читається курс «Елементи теорії груп, і теорії Галуа» (розроблений однією з авторів статті), у якого і дають у відповідь цей вопрос.

1. Про доцільності курса Естественно, виникає запитання: «Навіщо вести курс, який входить у програму педагогічного університету?» Ми заведемо ряд аргументів, які доводять, на наш погляд, доцільність читання такого курса.

Преподавание будь-якого предмета (математики особливості) передбачає елементи дослідницької діяльності. У цьому можна вказати такі напрями для досліджень: пошук ефективних приватних методик, створення нових підручників, підготовка школярів до олімпіад. Необхідність приділяти багато уваги виробленні навичок наукового дослідження всередині математики випливає на закон психології про перенос навичок. З’явившись 1905 року спочатку всередині математики, навички дослідницької діяльності буде перенесено на найцікавішу фахову сферу. У дію цієї важливо пробудити у майбутнього вчителя математики інтерес до предмета, прищепити йому навички самостійної творчої праці, розвинути вміння вирішувати нестандартні завдання й проблемы.

В рамках даного курсу розглядається дуже багато як завдань на обчислення, і теоретичних завдань. Студенти мають широкі можливості випробувати власні сили у рішенні теоретичних завдань різного рівня складності: від завдань «визначення» до завдань, вирішення яких вимагає використання комплексу результатів теорем, інші завдання, різноманітних технічних прийомів і чималої частки математичної фантазії. Безумовно, далеко в усіх запропоновані завдання плечу «середньому» і навіть «хорошому» (в загальноприйнятому значенні цього слова) студентові, і є небезпека як не розвинути інтерес до математики, а й дійти протилежного результату.

Избежать цього можна, розумно дозуючи складність завдань, поєднуючи індивідуального підходу, коли студентам різних здібностей пропонуються для самостійного рішення (дослідження) завдання відповідного рівня, з колективним обговоренням досить серйозних проблем, коли вислухуються і обговорюються всі запропоновані ідеї рішення, і коли викладач грає непомітну роль спостерігача і лише інколи питаннями чи зауваженнями намагається інтенсифікувати або змінити хід обговорення. Можна привести конкретні результати, отримані кілька років викладання даного курсу однією з авторів (Шендеровский В. Г.) Тут і розмаїття ідей (найчастіше несподіваних) розв’язання окремих завдань, і розширення списку вправ з допомогою сконструйованих, сформульованих нових завдань у процесі рішення інші проблеми. Було відомі випадки, коли вдалося викликати у до математиці у «закоренілих двієчників», що дозволяло їм успішно завершити курс навчання у університеті (чого вони пізніше зізнавалися). Нарешті, обговорюваний курс для великої кількості студентів став першої сходинкою в самостійної дослідницької роботи, що привів його до визначення дипломних робіт (наприклад, другий автор, Меншикова Е. А., успішно захистила два роботи, пов’язані з тематикою курсу), доповідей, представлених наукові студентські конференції, обласні конференції і конкурси наукових робіт молодих учених, а деяких випадках (Меншикова Є., Казусев А., Масльонніков М., Сидорова Л.) -продовження навчання у аспірантурі ЯГПУ.

Несомненным гідністю курсу є його цілісність. Фактично весь курс присвячений доведенню однієї «шкільної» теореми, яка пояснюватиме, умовно кажучи, чому ми вміємо вирішувати квадратні рівняння і вміємо вирішувати рівняння 5-ой ступеня. Ця теорема (теорема Абеля) є і джерелом, і кінцевою метою дослідження. І у межах невеликого курсу вдається пройти весь шлях: від постановки завдання до отримання гарного кінцевого результата.

Изучение теорії Галуа у педагогічному університеті забезпечує наступність між шкільним міських і вузівських курсами математики.

Во-первых, як вказувалося вище, однією з основних щодо математики школі є лінія рівнянь. Проте задля рівнянь четвертого ступеня і більшості рівнянь третього ступеня не ясно, чим пояснюється їхній разрешимость в радикалів, та й формули Кардано і Феррарі виводяться досить штучними перетвореннями. Теорія Галуа дозволяє обгрунтувати разрешимость даних рівнянь в радикалів і відсутність загальної формули для коренів рівняння ступеня в п’ять і выше.

Во-вторых, численні приклади полів, аналізовані щодо даного курсу, прямо чи пов’язані із вмістом шкільного курсу математики (так рішення практично всіх квадратних рівнянь з шкільного підручника є елементами квадратичных розширень поля раціональних чисел).

В-третьих, докладний вивчення груп симетрій (самосовмещений) багатогранників і многоугольников дозволяє поглибити знання студентів про властивості геометричних объектов.

В-четвертых, значне місце у шкільному курсі геометрії займають завдання на побудова геометричних постатей з допомогою циркуля і лінійки. Обгрунтування возможности/невозможности таких побудов й проводиться у цьому курсе.

Наконец, питання, аналізовані у цьому курсі, органічно входять у програму курсу «Алгебра і теорія чисел». Тут активно використовують і розвиваються поняття, результати, отримані за іншими розділах: лінійна алгебра, теорія чисел, теорія багаточленів. Наприклад, таке математичне поняття «як група, вперше аналізованих на I курсі розділ «Лінійна алгебра», тут є центральним об'єктом дослідження. За позитивного рішення низки завдань із теорії груп активно використовуються знання, отримані студентами у межах курсу «Теорія чисел» (III семестр). Розділ «Елементи теорії Галуа» є логічним продовженням курсу «Алгебра багаточленів» (IV семестр). Отже, читання обговорюваного курсу дозволяє й закріпити раніше вивчений материал.

2. Про структурі курса Данный курс охоплює такі теми: засадничі поняття теорії груп, і теорії полів, теорія Галуа і разрешимость алгебраїчних рівнянь в радикалах.

Большое увагу приділяється теорії груп як однієї з найбільш розвинених країн і важливих областей алгебри. У розділі формуються поняття, ідеї, й методи, які використовують як у самій математиці, і її межами -в топології, теорії функцій, кристалографії, квантової механіки і інших галузях математики природознавства. У межах даного курсу вивчаються початкові розділи теорії груп, излагаемые з урахуванням загальних понять. Усі поняття ілюструються великою кількістю простих, у частині геометричних прикладів. Розвиваючи поняття групи, розглядаються такі питання, як циклічні групи, підгрупи і нормальні делители, коммутант і разрешимость груп, симметрические группы.

Вторая частина курсу присвячена вивченню теорії Галуа. Студенти знайомляться з основними визначеннями і фактами з теорії полів, розглядається доказ основний теореми Галуа і питання разрешимости алгебраического рівняння в радикалів (показується, що разрешимость рівняння в радикалів еквівалентна разрешимости його групи Галуа; доводиться разрешимость загального алгебраического рівняння ступеня не вище 4 і теорема Абеля). На практичних заняттях студенти будують відповідності Галуа конкретних розширень, обчислюють групи Галуа рівнянь. Особливо докладно розглядаються рівняння 3-ї та 4-ї ступеня: доводиться ряд тверджень, з допомогою яких обчислюються групи Галуа як рівнянь з конкретними числовими коефіцієнтами, і деяких типів уравнений.

В як ілюстрацію вищесказаного наведемо фрагмент курса.

.

Список литературы

Меньшикова Е.А. Збірник завдань із курсу алгебри (V-VI семестри)// Тези конференції молодих учених. — Ярославль: ЯГПИ, 1998.

Шендеровский В. Г. Елементи теорії груп, і теорії Галуа. — Ч.1 — Ярославль: ЯГПИ, 1991.

Шендеровский В. Г. Елементи теорії груп, і теорії Галуа. — Ч.2 — Ярославль: ЯГПИ, 1992.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.