Антье і його оточення

Антье і його окружение

Андрєєв А.А., Савін О.Н.

Антье і його властивості

Целой частиною дійсного числа x називається найбільше ціла кількість, не перевершували x. Позначається ціла частина x символом «[x] «. Далі цілу частина x будемо також називати «антьє «(від франц. entire-целый). Наприклад: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.

Наряду із цілою частиною числа існує поняття дробової частини числа, яка позначається «{x} «й так: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Вочевидь, що з будь-якого дійсного числа x виконується подвійне неравенство:0 Ј {x} < 1.

Антье має різні властивості. Перерахуємо окремі.

1. Якщо x й 0, то [x] й 0. Якщо x < 0, то [x] < 0.

2. Якщо pціла кількість, то [x+p] = [x]+p.

Так як подрібнена частина числа x дорівнює дробової частини числа x+p, те з рівності {x+p} = {x} слід x+p-[x+p] = x-[x], звідки отримуємо [x+p] = [x]+p.

3. Для будь-яких двох дійсних чисел a і b справедливо [a+b] й [a]+[b].

Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Отже, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] і [b]- цілі числа, то властивості 2.

[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] й [a]+ [b],.

потому що {a},{b} й 0 і з властивості 1 [{a}+ {b}] й 0.

Свойство 3 поширюється на будь-яке кінцеве число дійсних чисел:

[a+b+…+w] й [a]+[b]+…+ [w].

4. Якщо [x] = [y], то |x-y| < 1.

Так як x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}|.