Применение потрійних і кратних интегралов

Міністерство загального характеру і професійної освіти Р.Ф.

Іркутський державний технічний университет.

Кафедра вищої математики.

Реферат.

Застосування потрійних чи кратних интегралов.

Виконала: студентка групи ТЭ-97−1.

Мелкоступова С.С.

Перевірив викладач кафедри вищої математики.

Сєдих Е.И.

Іркутськ 1998.

I. Маса неоднорідного тіла. Потрійний интеграл.

II. Обчислення потрійних интегралов.

1. Декартовы координаты.

А) Пример.

2. Циліндричні координаты.

3. Сферичні координаты.

А) Пример.

4. Застосування потрійних интегралов.

I. Маса неоднорідного тіла. Потрійний интеграл.

Розглянемо тіло, що займає просторову область [pic] (рис. 1), і припустимо, що щільність розподілу маси цьому тілі є безупинної функцією координат точок тела:

[pic].

Одиниця виміру щільності - кг/м3. [pic].

Рис. 1. Розіб'ємо тіло довільним чином на n частин; обсяги цих частин позначимо [pic] Виберемо потім у кожній частині по довільній точці [pic] Вважаючи, що у, кожної часткової області щільність постійна і дорівнює її значенням у точці [pic], ми матимемо близьке вираз для маси всього тіла як суммы.

[pic] (*) Межа цієї суми за умови, що [pic] і кожен часткове тіло затягується в точку (т. е. що його діаметр) котиться до нуля), праці й масу М тела.

[pic] Сума (*) називається енну кількість інтегральної сумою, та її межа — потрійним інтегралом від функції [pic] по просторової області [pic]. До вирахування потрійного інтеграла, крім визначення маси тіла, наводять й інші завдання. Тому надалі ми розглядати потрійний интеграл.

[pic] де [pic] - довільна безперервна у сфері [pic]функция. Термінологія для потрійних з дитинства інтегралів збігаються з відповідної термінологією для подвійних з дитинства інтегралів. Так само формулюється і теорема існування потрійного інтеграла. Властивості подвійних з дитинства інтегралів, повністю переносяться на потрійні інтеграли. Зауважимо, що й подынтегральная функція [pic] тотожний дорівнює 1, то потрійний інтеграл висловлює обсяг V області [pic]:

[pic] Тому властивості V і VI треба тепер сформулювати так. V 1. Якщо функція [pic] переважають у всіх точках області інтегрування [pic] задовольняє неравенствам.

[pic] то.

[pic] де V — обсяг області [pic]. VI 1. Потрійний інтеграл дорівнює твору значення подынтегральной функції у певній точці області інтегрування на обсяг області інтегрування, т. е.

[pic].

II. Обчислення потрійних интегралов.

Обчислення потрійного інтеграла [pic] можна у вигляді низки послідовних інтегруванні. Ми обмежимося описом відповідних правил.

1. Декартовы координаты.

Нехай дано потрійний інтеграл від функції [pic].

[pic] причому область [pic] віднесена до системи декартовых координат Oxyz, Розіб'ємо область інтегрування і площинами, паралельними координатным площинам. Тоді частковими областями будуть паралелепіпеди з гранями, паралельними площинам Оху, Охz, Оуz. Елемент обсягу .дорівнюватиме, твору диференціалів змінних інтегрування [pic] Відповідно до цим писать.

[pic] Встановимо тепер правило для обчислення такого інтеграла. Вважатимемо, що область інтегрування [pic] має вигляд, зображений на рис. 1). Наведемо близько і циліндричну поверхню з котра утворює, перпендикулярній до площині Оху. Вона стосується сфери [pic] вздовж деякою лінії L, яка ділить поверхню, обмежує область, на частини: верхню і нижню. Рівнянням нижньої поверхні нехай буде [pic], рівнянням верхньої [pic]. Побудована цилиндрическая поверхню висікає із площини Оху пласку область D, що є ортогональної проекцією просторової області [pic] на площину Оху, у своїй лінія L проектується в кордон області [pic]. Будемо виробляти інтегрування спочатку по Напрямку осі Оz. І тому функція [pic] інтегрується по укладеним в [pic] відтинку прямий, паралельної осі Оz і що проходить через деяку точку Р (х, у) області D (на рис. 1 відрізок [pic]). При даних x і в змінна інтегрування z змінюватиметься від [pic] - аппликаты точки «входу» ([pic]) прямий в область [pic], до [pic] - аппликаты точки «виходу» ([pic]) прямий з області [pic]. Результат інтегрування є величину, яка від точки Р (x, у); позначимо її через F (х, у):

[pic] При інтегруванні x і в розглядаються тут як постійні. Ми одержимо значення шуканого потрійного інтеграла, якщо візьмемо інтеграл від функції F (х, у) за умови, що вищу точку Р (х, у) змінюється областю D, т. е. якщо візьмемо подвійний интеграл.

[pic] Отже, потрійний інтеграл I то, можливо представлено виде.

[pic] Наводячи, далі, подвійний інтеграл областю D до повторному і інтегруючи спочатку по y, та був по x, получим.

[pic] (*) де [pic]и [pic] - ординати точок «входу» до області D і «виходу» з її прямий [pic] (у площині Оху), а a і b — абсциссы кінцевих точок інтервалу осі Ой, який проектується область D. Ми, що обчислення потрійного інтеграла областю [pic] виробляється, у вигляді трьох послідовних інтегруванні. Формула (*) зберігається для областей, мають циліндричну форму, т. е. обмежених циліндричною поверхнею з утворюючими, паралельними осі Оz, а знизу і згори поверхнями, рівняння яких відповідно [pic] і [pic] (рис. 2).

[pic].

Рис. 2 Якщо областю інтегрування служить внутрішність паралелепіпеда з гранями, паралельними координатным площинам (рис. 3), то межі інтегрування постійні переважають у всіх трьох .інтеграли :

[pic] І тут інтегрування можна робити у кожному порядку, межі інтегрування при цьому зберігатися. Якщо ж у загальному разі змінювати порядок інтегрування (тобто., скажімо, інтегрувати спочатку в напрямі осі Oy, та був областю площині Oxz), це призведе до зміни порядку інтегрування в потрійному интеграле і зміну меж інтегрування з кожної переменной.

Рис. 3 Рис.4 [pic].

А) Пример.

Обчислимо потрійний интеграл.

[pic] де [pic]- область, обмежена координатными плоскостями.

[pic] і площиною [pic] (піраміда, изображённая на рис.4). Інтегрування по z відбувається від z=0 до [pic] Тому, позначаючи проекцію області [pic] на площину Oxy через D, получим.

[pic] Розставимо тепер межі інтегрування областю D — трикутнику, рівняння сторін якого [pic].

[pic].

2. Циліндричні координаты.

Отнесём область [pic] до системи циліндричних координат [pic], у якій становище точки M у просторі визначається полярними координатами [pic] її проекції Р на площину Oxy і його аппликатой (z). Обираючи взаємне розташування осей координат, як на рис. 5, встановимо зв’язок, між декартовыми і циліндричними координатами точки М, саме: [pic] (*).

[pic].

Див. Мал.5 Розіб'ємо область [pic] на часткові області [pic] трьома системами координатних поверхонь: [pic] якими будуть відповідно кругові циліндричні поверхні, віссю якого є вісь Оz, напівплощини, які відбуваються через вісь Оz, і в пласкості, паралельні площині Оху. Частковими областями [pic] служать прямі циліндри MN (рис. 5). Оскільки обсяг циліндра MN дорівнює площі підстави, помноженою на висоту, то тут для елемента обсягу отримуємо выражение.

[pic] Перетворення потрійного інтеграла [pic] до циліндричним координатам виробляється цілком аналогічно перетворенню подвійного інтеграла до полярним. Треба лише у натуральному вираженні подынтегральной функції [pic] перемінні x, y, z замінити по формулам (*) й узяти елемент обсягу рівним [pic] Получим.

[pic] Якщо, зокрема, [pic] то інтеграл висловлює обсяг V області [pic].

[pic].

Обчислення потрійного інтеграла в циліндричних координатах наводиться до интегрированиям по r, по [pic] і з z виходячи з тієї ж принципів, як і у разі декартовых координат. Зокрема, якщо областю інтегрування служить внутрішність циліндра [pic] то межі триразового інтеграла постійні і змінюються при зміні порядку интегрирования:

[pic].

3. Сферичні координаты.

Отнесём тепер область інтегрування [pic] до системи сферичних координат [pic]. У цьому системі координат становище точки M у просторі визначається її відстанню r з початку координат (довжина радиуса-вектора точки), кутом [pic] між радиусом-вектором крапки й віссю Oz і кутом [pic] між проекцією радіуса вектора крапки над площину Oxy і віссю Ox (рис. 6). У цьому [pic] може зміняться то 0 до[pic] а [pic] - від 0 до [pic].

[pic].

Див. Мал.6 Зв’язок між сферичними і декартовыми координатами легко встановлюється. З див. мал.6 имеем.

[pic] Отсюда.

[pic] (**) Розіб'ємо область [pic] на часткові області [pic], трьома системами координатних поверхонь: [pic] якими будуть [pic].

відповідно сфери, з центром на початку координат, напівплощини, які відбуваються, через вісь Оz, і конуси з вершиною на початку координат і з осями, збігаються з однією з полуосей Оz. Частковими областями [pic] служать «шестигранники» (рис. 7). Відкинувши нескінченно малі вищих порядків, будемо розглядати шестигранник MN як прямокутний паралелепіпед з вимірами, рівними: [pic] в напрямі полярного радіуса, [pic] по напрямку меридіана, [pic] в напрямі паралелі. Для елемента обсягу ми матимемо тоді выражение.

[pic] Замінивши в потрійному интеграле [pic] по формулам (**) та взявши елемент обсягу рівним одержаному вираженню, будемо иметь.

[pic] Особливо зручно застосування сферичних координат у разі, коли область інтегрування [pic] - кулю з центром на початку координат чи шаровий кільце. Наприклад, щодо останнього, якщо радіус внутрішнього кулі [pic], а зовнішнього [pic], межі інтегрування варто так:

[pic] Якщо [pic] - кулю, потрібно покласти [pic].

A) Пример.

Обчислимо обсяг кулі радіуса R. І тут подынтегральную функцію треба взяти рівної 1, і ми получим.

[pic].

Застосування потрійних интегралов.

Для обчислення координат центру ваги тіла потрібні статичні моменти щодо координатних площин Оху, Охz, Оуz; позначимо їх відповідно [pic] повторюючи міркування одержимо такі формули для координат [pic] центру ваги неоднорідного тіла, щільність якого задається функцією [pic] що посідає область [pic]:

[pic] Якщо тіло однорідний, т. е. [pic], то формули упрощаются:

[pic] де Vобсяг тела.

Приклад. Знайдемо центр тяжкості однорідної полушара [pic]: [pic] Дві координати центру ваги [pic] рівні нулю, бо полушар симетричний щодо осі Оz (тіло обертання з віссю Оz). Інтеграл [pic] зручно обчислити, перейшовши до сферичним координатам:

[pic] Оскільки обсяг полушара дорівнює [pic] то.

[pic] Перейдём до вирахування моментів інерції тіла щодо координатних осей. Оскільки квадрати відстаней від точки P (x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz відповідно рівні [pic] то вважаючи для простоти [pic] одержимо такі формули :

[pic] Аналогічно плескатому випадку интегралы.

[pic] називаються відцентровими моментами інерції. Для полярного моменту інерції формула має вид.

[pic] Якщо тіло неоднорідне, то кожної формулі під знаком інтеграла буде перебувати додатковий множник [pic] - щільність тіла у точці P. Приклад. Обчислимо полярний момент інерції однорідної кулі радіуса R. У цьому дуже зручно можливість перейти до сферичним координатам. Будемо иметь.

[pic] де М—масса кулі. Оскільки у сфері моменти інерції щодо осей координат, очевидно, рівні між собою, то, враховуючи, що [pic] получим.

[pic] Моменти інерції тіла щодо осі відіграють істотне значення при обчисленні кінетичною енергії тіла за його обертанні близько відповідної осі. Нехай тіло [pic] обертається близько осі Оz із постійною кутовий швидкістю [pic]. Знайдемо кінетичну енергію [pic] тіла. Як відомо, кінетична енергія точки вимірюється величиною [pic], де т — маса точки, а [pic] - величина її швидкості. Кінетична енергія системи точок окреслюється сума кінетичних енергій окремих точок, а кінетична енергія тіла — як сума кінетичних енергій всіх частин, куди воно розбите. Це обставина дозволяє застосувати для обчислення .кінетичної енергії інтеграл. Візьмемо якусь околиця [pic] точки Р (х, у, z) тіла [pic]. Розмір лінійної швидкості [pic] точки Р під час обертання близько осі Оz дорівнює [pic] і отже, кінетична енергія частини [pic] тіла [pic] виявиться так :

[pic].

де [pic] - щільність тіла у точці Р. Для кінетичної енергії всього тіла [pic] получаем.

[pic].

т.е.

[pic] Кінетична енергія тіла, обертового близько деякою осі із постійною кутовий швидкістю, дорівнює половині квадрата кутовий швидкості, помноженою на момент інерції тіла щодо осі вращения.

Список використаної литературы.

1. А. Ф. Бермант ,І.Г. Араманович.

Короткий курс математичного аналізу для втузів: Навчальний посібник для втузів: — М.: Наука, Головна редакція фізико-математичній літератури, 1971 г., 736с.