Вероятность випадкового події

Вероятность випадкового события

Событие називається випадковим, тоді як результаті випробування (досвіду) він може статися, і може і произойти.

Примеры.

Испытание — кидання монети, випадкове подія — випадання герба.

Испытание — що у грі «Російське лото», випадкове подія — выигрыш.

Испытание — стрибок із парашутом, випадкове подія — вдале приземление.

Испытание — народження дитини, випадкове подія — підлогу дитини — мужской.

Испытание — нагляд погодою протягом дня, випадкове подія — протягом було дождь.

Как бачимо наступ випадкового події у результаті випробування, власне кажучи, не можна передбачити у принципі. Це — непередбачуваність наступу — можна деяких випадках вважати головною суттєвою властивістю випадкового події. Проте, є можливість деякі випадкові події піддати аналізу методами математики.

Пусть деяке випробування вироблено разів, і внаслідок цього що з ним випадкове подія (позначимо його через А) сталося раз. Тоді відносної частотою випадкового події А, назвемо ставлення до . Інакше кажучи . Багатьом випадкових подій відносна частота має здатність стійкості, тобто у різних довгих серія випробувань відносні частоти однієї й тієї ж випадкового події мало відрізняються одна від друга. Випадкові події, відносні частоти яких, мають властивістю стійкості, називаються регулярними.

Устойчивость відносної частоти було виявлено й багато разів підтверджено експериментально природознавцями в 17−19 століттях. Найбільш вражаючим є результат До. Пірсона, яка кидала монету 12 000 раз, потім здійснив ще одне серію бросаний — 24 000 раз. У цих серіях він підраховував кількість випадань герба і зрештою отримав значення відносної частоти йому 0,5016 і 0,5005, відмінні друг від друга на 0,0011.

Для випадкових подій які мають властивістю стійкості, відносну частоту наступу події природно вважати ступенем можливість настання випадкового события.

Пример. Баскетболіст, А з деякого становища потрапив у кільце 4 разу при 11 кидках. Баскетболіст У від цього ж становища — 6 раз при 18 кидках. Якому з гравців довірити виконання штрафного удару від цього положения?

Решение. Знайдемо відносні частоти влучення в кільце цими игроками:, . Оскільки , то виконання штрафного краще довірити гравцю А. Якщо відносна частота більше, то більше і упевненість у успехе.

При використанні відносної частоти як можливість настання випадкового події виникають дві труднощі. Перша — у різних серіях випробувань виходять різних значень частоти, незрозуміло який із отриманих значень «більш істинно». Друга — відносну частоту можна знайти після випробувань, причому бажана досить довга серія, оскільки властивість стійкості проявляється то виразніше, що довший серія. Усе це вкупі взяте змушує шукати способи однозначного визначення заходи можливості наступу випадкового події, причому до випробування, до опыта.

Вначале визначимо ймовірність регулярного випадкового події і кількість, близько якого коливається відносна частота в довгих серіях випробувань. Потім введемо поняття равновозможности, равновероятности двох подій. Сенс цієї поняття ясний інтуїтивно, мета запровадження — хочемо визначити математично поняття ймовірності зводячи його до більш простому не визначеного поняттю равновероятности. Наявність равновероятности деяких подій є наслідками деякого випробування встановлюється з «загальних міркувань», не доводиться математично не може бути доведено, вже не потребує доказі як первинне. Наприклад, під час кидання гральною кістки випадання 1, 2, …, 6 очок вважають подіями равновероятными (чи «майже» равновероятными) з гаданої фізичної однорідності матеріалу кістки і геометричну правильність, тобто вважаючи кістку ідеальним кубом. Якщо внаслідок випробування можливо наступ равновозможных подій, ніякі дві з не можуть наступити одночасно, то ймовірність кожного з цих подій окреслюється , не бажаючи події називаються елементарними подіями чи елементарними наслідками.

Если, подія, А ініціюється однією з елементарних фіналів, а самих фіналів як раніше , то ймовірність події А позначена як , окреслюється ставлення до . Інакше: . (Формула класичної вероятности) Пример. Означимо — випадання 1, …, 6 очок під час кидання гральною кістки. . Нехай, А — випадання парного числа очок, тоді і .

Здесь доречно привести коментар характерний фізики: відносні частоти регулярних випадкових подій, отримані в довгих серія випробувань, добре узгоджуються зі значеннями знайденими за такою формулою класичної вероятности.

Примеры рішення задач.

А) Студент, готуючись до іспитів, встиг підготувати 18 квитків з 24. Яка можливість вийняти на іспиті «хороший» билет?

Решение. .

Б) Яка ймовірність, що з киданні двох гральних кубиків сума що випали очок менше пяти?

Решение. Усього два кубики можуть випасти 36 способами: (1;1), (1;2), …(1;6), (2;1), (2;2), …, (2;6), (3;1), …, (6;6). Всі ці результати вважаємо равновозможными, не наступаючими одночасно, отже . Означимо через, А подія: під час кидання двох гральних кісток, сума що випали очок менша за п’ять. Подія, А визначається наслідками (1;1), (1;2), (2;1), (1;3), (3;1), (2;2), тобто . За формулою класичної ймовірності отримуємо .

В) Ліфт в п’ятиповерховому домі вирушає із трьома пасажирами з першого поверху. Знайти ймовірність те, що кожному поверсі вийде трохи більше одного пассажира.

Решение. При рішенні припускаємо, що всілякі засоби розподілу пасажирів по поверхах равновероятны. Вочевидь, кожен пасажир має чотири змогу виходу з ліфта (на 2, 3, 4, 5 поверхах). Тоді обох пасажирів є можливостей, тобто різних варіантів виходу з ліфта, оскільки кожна можливість виходу першого пасажира може поєднуватися з кожним можливістю другого. Для трьох пасажирів 4*4*4=64 варіантів виходу. Отже, , їх кількість всіх можливих равновероятных (по допущенню) способів виходу пасажирів із ліфта, сам і лише з яких реалізований у результаті випробування. Кількість варіантів визначальних цікавить нас подія, тобто одно 4*3*2 фіналів, . Оскільки кожному поверсі має вийти трохи більше одного пасажира, те в першого що виходить є 4 варіанта виходу (будь-якою, крім першого, поверсі), в другого — лише 3 варіанта, оскільки один варіант використовував перший пасажир, у третього — лише 2 способу. Остаточно: ймовірність події А дорівнює .

Зарождение теорії ймовірностей процес формування перших понять їх грона математики відбулося середині 17 століття, коли Паскаль, Ферма, Бернуллі спробували здійснити аналіз завдань що з азартними іграми цією новою методою. Незабаром зрозуміли, що що виникає теорія знайде широке коло застосування на вирішення багатьох завдань що виникають у різноманітних галузях діяльності человека.

Список литературы

В.Е. Гмурман Теорія ймовірностей і математична статистика. М., ВШ, 1977.

Л.В. Тарасов Світ, побудований на ймовірності. М., Ін., 1984.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.