Матрицы і визначники

Матрицы і визначники

Матрицы. Операції над матрицями

Прямоугольной матрицею розміру m x n називається сукупність mn чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, що містить m рядків і n шпальт. Ми будемо записувати матрицю як.

A = (4.1).

или скорочено як A = (aij) (і = ; j = ). Числа aij, складові цю матрицю, називаються її елементами; перший індекс вказує на номер рядки, другий — на номер шпальти. Дві матриці A = (aij) і B = (bij) однакового розміру називаються рівними, якщо попарно рівні їх елементи, які стоять на однакових місцях, тобто A = B, якщо aij = bij.

Матрица, що складається з рядка чи одного шпальти, називається відповідно вектор-строкой чи вектор-столбцом. Вектор-столбцы і вектор-строки називають просто векторами.

Матрица, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом. Матриця розміру m x n, все елементи якої рівні нулю, називаються нульової матрицею і позначається через 0. Елементи матриці з індексами називають елементами головною діагоналі. Якщо рядків матриці одно числу шпальт, тобто m = n, то матрицю називають квадратної порядку n. Квадратні матриці, які мають відмінні від нуля лише елементи головною діагоналі, називаються діагональними матрицями і записуються так:

.

Если все елементи aii діагональної матриці рівні 1, то матриця називається одиничної і позначається буквою Є:

E = .

Квадратная матриця називається трикутною, коли всі елементи, які стоять вище (або нижчий від) головною діагоналі, рівні нулю. Транспонированием називається таке перетворення матриці, у якому рядки — і стовпчики змінюються місцями з збереженням їх номерів. Позначається транспонирование значком Т нагорі.

Пусть дана матриця (4.1). Переставимо рядки зі стовпчиками. Одержимо матрицю.

AT = ,.

которая буде транспонованої стосовно матриці А. Зокрема, при транспонировании вектора-столбца виходить вектор-строка і навпаки.

Произведением матриці На число? називається матриця, елементи якої виходять з відповідних елементів матриці А множенням на число ?: ?A = (?aij).

Суммой двох матриць, А = (aij) і B = (bij) одного розміру називається матриця З = (cij) тієї самої розміру, елементи якої визначаються за такою формулою cij = aij + bij.

Произведение АВ матриці На матрицю У визначається припущенні, що кількість шпальт матриці А одно числу рядків матриці У.

Произведением двох матриць, А = (aij) і B = (bjk), де і = , j= , k= , заданих в певному порядку АВ, називається матриця З = (cik), елементи якої визначаються з такого правилу:

cik = ai1b1k + ai2b2k + … + aimbmk = aisbsk. (4.2).

Иначе кажучи, елементи матрицы-произведения визначаються так: елемент i-го рядки — і k-го шпальти матриці З дорівнює сумі творів елементів i-го рядки матриці На відповідні елементи k-го шпальти матриці В.

2. Визначники

Перестановкой чисел 1, 2,…, n називається будь-яке розташування цих чисел у певному порядку. У елементарної алгебрі доводиться, що кількість всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, одно 12… n = n! Наприклад, із трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3≠6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що за даної перестановці числа і і j становлять інверсію (безладдя), якщо і > j, але і стоїть у цієї перестановці раніше j, тобто якщо більше стоїть лівіше меншого.

Перестановка називається четной (чи нечетной), тоді як ній відповідно четно (нечетно) загальна кількість інверсій. Операція, з якої від однієї перестановки переходять в іншу, складеної з тієї ж n чисел, називається підстановкою n-ой ступеня.

Подстановка, яка переводить одну перестановку до іншої, записується двома рядками у загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця у аналізованих перестановках, називаються відповідними і пишуться одне за іншою. Наприклад, символ позначає підстановку, у якій 3 перетворюється на 4, 1?2, 2?1, 4?3. Підстановка називається четной (чи нечетной), якщо загальна число інверсій на обох рядках підстановки четно (нечетно). Будь-яка підстановка n-ой ступеня то, можливо записана як , тобто. з натуральним розташуванням чисел у верхній рядку.

Пусть нам дана квадратна матриця порядку n.

. (4.3).

Рассмотрим всіх можливих твори по n елементів цієї матриці, узятих за одним і тільки з одного з кожного рядка і кожного шпальти, тобто. творів виду:

, (4.4).

где індекси q1, q2,…, qn становлять деяку перестановку з чисел.

1, 2,…, n. Кількість таких творів одно числу різних перестановок з n символів, тобто. одно n! Знак твори (4.4) дорівнює (- 1) q, де q — число інверсій в перестановці других індексів элементов.

Определителем nго порядку, відповідним матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для записи означника вживається символ A = чи det A= (детермінант, чи визначник, матриці А).

Свойства визначників.

1. Визначник не змінюється при транспонировании.

2. Якщо один з рядків означника складається з нулів, то визначник нульовий.

3. Якщо определителе переставити два простих рядки, визначник змінить знак.

4. Визначник, у якому дві однакові рядки, нульовий.

5. Якщо всі елементи деякою рядки означника помножити на певна кількість k, то сам визначник множиться k.

6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, нульовий.

7. Якщо всі елементи i-го рядки означника представлені у вигляді суми двох доданків aij = bj + cj (j = ), то визначник дорівнює сумі визначників, в яких усі рядки, крім i-ой, — таку ж, як і заданому определителе, а i-я рядок у одному з доданків складається з елементів bj, й інші - з елементів cj.

8. Визначник не змінюється, якщо елементам одній з його рядків додаються відповідні елементи інший рядки, помножені одне і те число.

Замечание. Усі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.

Минором Mij елемента aij означника d n-го порядку називається визначник порядку n-1, який з d викреслюванням рядки — і шпальти, містять даний елемент.

Алгебраическим доповненням елемента aij означника d називається його мінор Mij, узятий зі знаком (-1)i+j. Алгебраїчне доповнення елемента aij будемо позначати Aij. Отже, Aij = (-1)i+j + Mij.

Способы практичного обчислення визначників, засновані у тому, що визначник порядку n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.

Теорема (розкладання означника по рядку чи стовпцю).

Определитель дорівнює сумі творів всіх елементів довільній його рядки (чи шпальти) з їхньої алгебраїчні доповнення. Інакше висловлюючись, має місце розкладання d по елементам i-го рядки.

d = ai1Ai1 + ai2Ai2 +… + ainAin (і = ).

или jго шпальти.

d = a1jA1j + a2jA2j +… + anjAnj (j = ).

В частковості, коли всі елементи рядки (чи шпальти), крім однієї, рівні нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому з його алгебраїчне дополнение.

3. Ранг матриці

Рассмотрим прямокутну матрицю (4.1). Якщо у цій матриці виділити довільно k рядків і k шпальт, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і шпальт, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А. Вочевидь, що матриця, А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого із чисел m і n. Серед усіх відмінних нуля миноров матриці А знайдеться по крайнього заходу один мінор, порядок якого «буде найбільшим. Найбільший з порядків миноров даної матриці, відмінних нуля, називається рангом матриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, це означатиме, що у матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, нульовий. Ранг матриці А позначається через r (A). Вочевидь, що виконується співвідношення.

0? r (A)? min (m, n).

Ранг матриці перебуває або методом облямівки миноров, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від миноров нижчих порядків до минорам вищого порядку. Якщо вже знайдено мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k+1)-го порядку, які обмережують мінор D, тобто. містять його як мінору. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k.

Элементарными називаються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (чи шпальт),.

2) множення рядки (чи шпальти) на не на нуля число,.

3) поповнення лише до рядку (чи стовпцю) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.

Две матриці називаються еквівалентними, якщо одне з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.

Эквивалентные матриці є, власне кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і У еквівалентні, це записується так: A ~ B.

Канонической матрицею називається матриця, що має на початку.

главной діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (кількість яких.

может рівнятися нулю), проте інші елементи рівні нулю,.

например, .

При допомоги елементарних перетворень рядків і шпальт будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць їхньому головною диагонали.

4. Зворотний матриця

Рассмотрим квадратну матрицю.

A = .

Обозначим? = det A.

Квадратная матриця, А називається невырожденной, чи неособенной, коли його визначник різниться від нуля, і вырожденной, чи особливою, якщо? = 0.

Квадратная матриця У називається зворотної для квадратної матриці А такого ж порядку, якщо їх твір, А У = У, А = Є, де Є - одинична матриця такого ж порядку, як і матриці Проте й У.

Теорема. А, щоб матриця, А мала зворотний, необхідне й досить, щоб їх визначник був різниться від нуля.

Матрица, зворотна матриці А, позначається через А-1, отже У = А-1. Зворотний матриця обчислюється за такою формулою.

А-1 = 1/? , (4.5).

где Аij — алгебраїчні доповнення елементів aij.

Вычисление зворотної матриці за такою формулою (4.5) для матриць високого порядку дуже занадто багато роботи, на практиці буває зручно знаходити зворотний матрицю з допомогою методу елементарних перетворень (ЭП). Будь-яку неособенную матрицю, А шляхом ЭП лише шпальт (або тільки рядків) можна навести до одиничної матриці Є. Якщо скоєні над матрицею, А ЭП у тому порядку застосувати до одиничної матриці Є, то результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЭП над матрицями Проте й Є одночасно, записуючи обидві матриці поруч через риску. Зазначимо вкотре, що з знаходженні канонічного виду матриці із єдиною метою перебування її рангу можна користуватися перетвореннями рядків і шпальт. Якщо потрібне знайти зворотний матрицю, у процесі перетворень варто використовувати лише рядки чи лише столбцы.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.