Матаналіз

1Натуральные числа — 1,2,3,4, …, рахунок предметів, вказівку порядкового номери. Натуральні числа також називають позитивними цілими числами. Числа -1,-2, -3, …, протилежні натуральним називаються негативними цілими числами. Кількість 0 теж ціле. Раціональні числа — цілі і дробу (+, —) Вигляд М/N, де (N[pic] 0) M і Nвзаємно прості цілі числа. Ірраціональні - ?2 все вышепереч-е + нескінченні непериодич. дробу. Усі ці числа — справжні. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1 2 Z1±Z2=(A1±A2)+i (B1±B2).

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2).

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+ i (b1a2-a1b2)a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2- a1b2/a2І+b2І) 3 Тигонометрическая форма комплексного числа.

Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?) r — модуль;? — аргумент. b — y; a — x. 4 ZЄ=rЄ(cos A?+i*sin A?) 5 Є?Z=Є?r (cos ?+2?k/а +і *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1) Усі коріння А-ой ступеня лежать на окружності r=| Z |№чи є вершинами правильного А-угольника, записаного до цю окружність. 6 Змінна вів. Х, приймаюча послідовно (зі зростанням номери n) значення х1, х2,х3.хN називається числової послідовністю 1,1,1,1,1…1 1,½, 1/3…1/N 1,-1,1,-1…(-1)Є Xn, n? N Кількість, А зв. межею послідовності Хn для будь-якого як завгодно малого покладе. числа E>0 знайдеться такий номер N (E), що тільки n>N (E) то має місце нерівність | Xn — A | < E lim Xn = A n>? Кількість, А межа послідовності Xn для будь-якого? > 0 знайдеться такий номер N, починаючи від якого (при n>N) усіх членів послідовності буде укладено в ?-околиці який би вона вузької була. Поза цієї околиці може лише кінцеве членів цієї послідовності. 7 Якщо послідовність Хn монотонна і обмежена, вона має межа (сходиться). Cвойства меж: якщо Хn=С то lim Xn=C n>? нехай lim Xn=A, a lim Yn=B тоді lim (Xn±Yn)=A±B n>? n>? lim (Xn*Yn)=A*B lim (Xn/Yn)=A/B; B?0.

если Xn? Yn для n? N то lim Xn? lim Yn n>? n>? 8 Eсли Хn сходиться (має межа) то Хn обмежена Послідовність Xn; n? N зв. обмеженою якщо є позитивне число М, що виконується нер-во | Xn |?M; n? N Якщо lim Xn=0, то Xn; n? N зв. БМВ обознач (?n,?n,?n) n>? Св-ва БМВ: lim? n=0 n>? lim (?n±?n)=0 n>? lim (Xn*?n)=0; якщо Xn-ограничена n>? У творі БМВ можна заміняти на еквівалентну БМ. У алгебраїчній сумі заміну можна робити у разі а то й відбувається скорочення БМ однотипні з Х: sin X ~ X eЄ-1 ~ a tg X ~ X (1+x)Є ~ ax 1 — co X ~ XІ/2 arctg X ~ X LOGe (1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx 9 Сума эл-тов числової послідовності зв. числовим поруч. [pic] Сума n членів низки — n часткова сума низки Якщо за n>? lim Sn=S, то ряд сходитися, P. S сума низки. Ряд зв. сходящимся якщо сущ. кінцевий межа послідовності його часткових сум. прим: [pic]при яких q сходиться і розходиться? сходиться від суми S=a/1-q при | q |? то ряд сходиться якщо l1, якщо l=1 то питання збіжності нерешён.

Ознака Коши.

SAn — знакополож. ряд lim Є?An=q n>? q1 — розходиться. 12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An.

An>0.

Ознака Лейбница:

Якщо членів ряду (знакопер) убувають а1>a2>a3>…An і межа Аn при n>? =0 то ряд сходиться приклад 1−½+1/3−¼…+(-1)(n-1)*1/n 13 Наявне функціональна залежність між двома перемінними величинами x і в якщо заданий закон y=f (x), за яким кожному х? Х відповідає значення y? Y. х-аргумент y=kx+b — лінійна ф-ия y=axІ+bx+c — квадратична ф-ия Зворотний ф-ия — ф-ия x=?(y) зв. зворотної ф-ией до прямий ф-ии y=f (x) якщо x=?(f (x)) всім х? Х Графіки взаємно зворотних ф-ий симетричні щодо прямий у=х. y=XЄ і y=LOGxA — приклади 14 Кількість B називається межею ф-ии в f (x) при x, які прагнуть до x0 (чи точці x0) для будь-якого, як завгодно малого позитивного числа ?>0, знайдеться таке позитивне число ?(?)>0 що з всіх x не рівних х0 і які відповідають умові | x-x0 |0 41 Нехай є n змінних величин, і кожному набору їх значень (x1,x2,x3…xn) з деякого мн-ва Х відповідає одне цілком певний значення перемінної величини Z. Тоді говорят, что задана ф-ия кількох змінних Z=f (x1…xn) Якщо сущ-ет lim (?x>0)f (x+?x, y)-f (x, y)/?x=fx`(x, y) він називається приватної похідною по перемінної x. Якщо сущ-ет lim (?y>0)f (x, y+?y)-f (x, y)/?y=fy`(x, y) він називається приватної похідною по перемінної y Розмір dZ=f`x (x;y)dx+f`y (x;y)dy називається диференціалом від ф-ии f (x;y) Z=f (x1+x2+…xn)dZ=f`x1· dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn Диференціалом ф-ии називається сума творів приватних похідних на прирощення відповідних незалежних змінних. 42 Якщо Z=f (x;y) має у точці (х0;у0) екстремум (локальний) і ф-ия дифференцируема (тобто. має приватні произв-ые) то приватні произв-ые у цій т. рівні 0. 43 Формули службовці для аналітичного уявлення досвідчених даних дістали назву емпіричних формул Етапи виведення ЕФ: 1 Встановити вид залежності (лінійна, квадратична, логарифмічна і т.д.) 2 Визначення відомих параметрів цієї ф-ии.

Для лінійної залежності сущ-ет метод найменших квадратів 44 ДУ називають ур-ие, що пов’язує потрібну ф-ию одній або кількох змінних, ці перемінні, і похідні різних порядків даної ф-ии. Рішенням ДУ називається така ф-ия, котю при підстановці їх у це ур-ие звертає їх у тотожність. ДУ першого порядку зв. ур-ие що містить зміну x, невідому ф-ию y=f (x) і її похідну y`=f`(x) ДУ першого порядку зв. ур-ем із перемінними, коли вона м/б представленно як dy/dx=f (x)g (y) Аби вирішити такого ур-ия його треба перетворити до виду, у якому диференціал і ф-ии перемінної x будуть у частині рівності, а перемінної у — на другий. Потім проинтегрировать обидві частини отриманого рарва: dy/g (y)=f (x)· dx >? dy/g (y)=? f (x)· dx.

|f (x) |f`(x)|f (x) |f`(x)| |з |0 |xЄ |axЄ?№| |x |1 |xІ |2x | |?x |2?x |arcco|-1/?1| | | |p.s x |-xІ | | | | ||x|.