Закони розподілу ймовірностей випадкових величин

Реферат

" Закони розподілу ймовірностей випадкових величин"

теорія неймовірність закон випадковий

Вступ

Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості і операції над ними.

Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності (випробування, експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Випадковою величиною є будь-яка (не обов’язково числова) змінна, «значення» якої утворюють множину елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини. Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини, називається областю значень цієї величини .

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх імовірностями. Його задають таблично, графічно чи аналітично (у виді формул).

1. Дискретні і неперервні випадкові величини

В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події і ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад, час безвідмовної роботи деякого приладу, число появ герба при трьох підкиданнях монети і т.п.

Назвемо випадковою величину, пов’язану з даним дослідом, яка при кожному здійсненні досліду може приймати те чи інше числове значення, залежно від випадку. Між випадковими подіями і випадковими величинами існує тісний зв’язок. Випадкова подія є якісною характеристикою випадкового результату досліду, а випадкова величина — його кількісною характеристикою. Випадкові величини за своїм характером поділяються на дискретні і неперервні.

Дискретна випадкова величина — це така величина, яка може приймати лишень розрізнені (дискретні, перервні) значення. Іншими словами, вона має таку властивість, що кожне з її можливих значень має окіл, який вже не містить жодного з інших значень цієї ж величини. Всі можливі значення дискретної випадкової величини можуть бути перенумеровані

Випадкова величина називається неперервною, якщо сукупність її можливих значень цілком заповнює деякий проміжок числової осі, який може бути скінченним або нескінченним. Наприклад, випадкова величина — час безвідмовної роботи приладу, — неперервна, оскільки її можливе значення .

2. Закон розподілу випадкової величини

Важливою характеристикою випадкової величини є розподіл ймовірностей цієї величини. Справа в тому, що випадкова величина може приймати ті чи інші числові значення, взагалі кажучи, із різними ймовірностями.

Приклад 1. При трьох підкиданнях монети випадкова величина — число появ герба — може приймати значення із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі

Співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими приймаються ці значення, називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий таблично або графічно. В першому випадку закон розподілу називається рядом розподілу ймовірностей випадкової величини .

Таблиця

В першому рядку таблиці записують всі можливі значення випадкової величини, а в другому — відповідні їм ймовірності.

Оскільки події становлять повну групу несумісних подій, то за теоремою додавання ймовірностей маємо

(1)

тобто сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці.

Графічне зображення закону розподілу називається многокутником розподілу: по осі абсцис відкладаємо можливі значення випадкової величини, а по осі ординат — ймовірності цих значень.

Для розглянутого вище прикладу 1 ряд і многокутник розподілу мають вигляд відповідно

Таблиця

Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично (з допомогою формули). Табличне задання неможливе, оскільки ймовірність отримати будь-яке певне значення неперервної величини дорівнює нулеві, що пов’язане не з неможливістю самої події (попадання в певну точку на числовій осі), а з безмежно великим числом можливих випадків.

Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі. Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначають як ймовірність події і означають

(2)

(ліву межу інтервалу включають, а праву не включають).

3. Функція розподілу

Для кількісної оцінки закону розподілу випадкової величини (дискретної або неперервної) задають функцію розподілу ймовірностей випадкової величини, яку визначають як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше деякого фіксованого числа і позначають

(3)

або.

Функцію розподілу інколи називають інтегральною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини.

Знаючи функцію розподілу, можна обчислити ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал :

.(4)

Дійсно, випадкова подія є об'єднанням двох несумісних подій і .

Отже, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

звідки ,

або, враховуючи позначення (3) .

Встановимо деякі властивості функції розподілу.

1. є неспадною функцією, тобто, якщо .

2. Значення функції розподілу належать відрізку, тобто .

Інакше:

3. Функція розподілу неперервна зліва:

.

Для прикладу 1 побудуємо функцію розподілу випадкової величини Х, заданої рядом розподілу Таблиця

Приклад 2. Нехай функція розподілу деякої неперервної випадкової величини Х задана у вигляді

.

Визначити значення коефіцієнта і побудувати графік функції.

Оскільки функція неперервна зліва, то при маємо, звідки .

4. Щільність розподілу

Закон розподілу ймовірностей неперервних випадкових величин може бути заданий також і щільністю розподілу.

Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу, неперервною і диференційовною. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в деякий інтервал знайдемо на підставі співвідношення (4):

тобто як приріст функції розподілу на цьому інтервалі.

Відношення виражає середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини інтервалу.

Перейшовши до границі при, отримаємо

.

Функція (5)

називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини Х, а її графік — кривою розподілу. Іноді вживають термін — диференціальна функція розподілу .

З означення (5) випливає, що. (6)

Використавши формули (4) і (6), виразимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал через щільність розподілу

.(7)

Дійсно, .

Встановимо деякі властивості щільності розподілу:

1. є невід'ємною функцією, тобто .

Дійсно, оскільки неспадна функція, то .

2. .

Це випливає із формули (6) і властивості 2 для функції розподілу .

Геометричне тлумачення щільності розподілу випливає із формули (7): ймовірність попадання випадкової величини Х обчислюється як площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком кривої, знизу — відрізком осі абсцис, зліва і справа — відрізками прямих, .

Властивість 2 геометрично означає, що вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.

5. Приклади основних законів розподілу

а) дискретних випадкових величин:

1. біномний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за біномним законом, якщо вона приймає значення із ймовірностями

.

Функція розподілу. Очевидно, що =0 при і =1 при .

2. розподіл Пуассона: випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром (пр), якщо вона приймає значення із ймовірностями, причому дуже мале, а дуже велике число.

Функція розподілу.

3. геометричний розподіл:

Нехай проводиться серія незалежних дослідів, в кожному з яких подія А може з’явитися з

деякою ймовірністю р. Досліди продовжуються до першої появи події А, після чого дослід припиняється.

Нехай випадкова величина Х — кількість проведених дослідів до першої появи події А.

Можливі значення величини Х:. Подія означає, що в перших дослідах подія А не наступила, а вму досліді наступила. Ймовірність дорівнює

.

Отже закон розподілу величини Х є таким

Таблиця

Цей розподіл називається геометричним .

Очевидно, що ,

як сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

Функція розподілу. =0 при

б) неперервних випадкових величин.

4. рівномірний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою рівномірно на інтервалі, якщо її щільність розподілу стала на цьому інтервалі

Використовуючи властивість щільності розподілу, знайдемо :

.

Легко бачити, що для .

для, для

5. показниковий розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за показниковим (експоненційним) законом з параметром, якщо її щільність розподілу

Використовуючи формулу (6), отримаємо вираз для функції розподілу

.

6. нормальний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами і, якщо її щільність розподілу

.

Функція розподілу має вигляд .

Якщо зробити заміну

то ,

де — функція Лапласа.

;

якщо то, але

.

Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з інтервалу, обчислюється за формулою

= .

Висновок

В цьому рефераті ми розглянули закони ймовірності дискретних випадкових величин, розглянули також приклад розв’язування таких задач з законами, а також графічне та аналітичне відображення.

Список використаних джерел

1.http://uk.wikipedia.org

2.http://manualsem.com

3.http://ebooktime.net